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3.1.3 概率的基本性质

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问题情境 经调查统计得到，星空乐园的急速飞翔游乐项目处， 经调查统计得到，星空乐园的急速飞翔游乐项目处， 排队等候游玩的人数及其概率如下： 排队等候游玩的人数及其概率如下：排队人数 0 1 2 3 4 5人及以上 0.11 0.15 0.30 0.28 0.10 概率 0.06

求：(1)至多2人排队等候的概率； :(1 至多2人排队等候的概率； 至少2人排队等候的概率。 (2)至少2人排队等候的概率。

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我们知道，一个事件可能包含试验的多个结果。 我们知道，一个事件可能包含试验的多个结果。 比如在掷骰子这个试验中： 比如在掷骰子这个试验中：“出现的点数小于或 等于3”这个事件中包含了哪些结果呢？ 等于 ”这个事件中包含了哪些结果呢？ ①“出现的点数为 ” ②“出现的点数为 ” 出现的点数为2” ①“出现的点数为1” ②“出现的点数为 出现的点数为 ③“出现的点数为 ” ③“出现的点数为3”这三个结果 出现的点数为 这样我们把每一个结果可看作元素， 这样我们把每一个结果可看作元素，而每一个事件可 看作一个集合。 看作一个集合。 因此。 因此。事件之间的关系及运算几乎等价于集合之间的 关系与运算。 关系与运算。

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思考:在掷骰子试验中,可以定义许多事件，例如: 思考:在掷骰子试验中,可以定义许多事件，例如: ={出现 出现1 ={出现 出现2 ={出现 出现3 C1={出现1点}; C2={出现2点}; C3={出现3点}; ={出现 出现4 ={出现 出现5 ={出现 出现6 C4={出现4点}; C5={出现5点}; C6={出现6点}; ={出现的点数不大于 出现的点数不大于1}; D1={出现的点数不大于1}; ={出现的点数大于 出现的点数大于3}; D2={出现的点数大于3}; ={出现的点数小于 出现的点数小于5}; D3={出现的点数小于5}; E={出现的点数小于 出现的点数小于7}; F={出现的点数大于 出现的点数大于6}; E={出现的点数小于7}; F={出现的点数大于6}; G={出现的点数为偶数 H={出现的点数为奇数 出现的点数为偶数}; 出现的点数为奇数}; G={出现的点数为偶数}; H={出现的点数为奇数}; …… 类比集合与集合的关系、运算， 类比集合与集合的关系、运算，你能发现事 件之间的关系与运算吗？ 件之间的关系与运算吗？

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(一)、事件的关系与运算 )、事件的关系与运算={出现 出现1 ={出现的点数小于 出现的点数小于5}; 例: C1={出现1点}; D3={出现的点数小于5};

1.包含关系 1.包含关系对于事件A与事件B 如果事件A发生，则事件B 对于事件A与事件B,如果事件A发生，则事件B一 定发生，这时称事件B包含事件A 或称事件A 定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含 于事件B 于事件B). 记作:B A(或A B) 记作:BB

如:D3 C1

或 C1 D3注:(1)图形表示： 图形表示：

A

(2)不可能事件记作φ,任何事件都包含 不可能事件记作φ 不可能事件。 不可能事件。如: C1 φ

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={出现 出现1 ={出现的点数不大于 出现的点数不大于1}; 例: C1={出现1点}; D1={出现的点数不大于1};

2.相等事件 2.相等事件一般地， 那么称事件A 一般地，若B A,且A B ,那么称事件A与事 记作:A=B. 记作:A=B. 件B相等。 相等。

如: C1=D1注： 1)图形表示： 图形表示： ( B(A)

(2)两个相等的事件总是同时发生或同时不 发生。 发生。

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={出现 出现1 ={出现 出现5 例: C1={出现1点}; C5={出现5点}; J={出现1点或5 J={出现1点或5点}. 出现

3.并 3.并(和)事件若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生， 若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生，则称 此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) 此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件). 记作： A+B) 记作：A∪B(或A+B)

如:C1 ∪ C5=JA

图形表示： 图形表示：

B

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={出现的点数大于3};D ={出现的点数小于 出现的点数大于3}; 出现的点数小于5}; 例:D2={出现的点数大于3};D3={出现的点数小于5}; ={出现 出现4 C4={出现4点};

4.交 4.交(积)事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发 则称此事件为事件A与事件B 生，则称此事件为事件A与事件B的交事件 AB) 或积事件) 记作： (或积事件). 记作：A∩B(或AB) 如： C 3 ∩ D 3= C 4 图形表示： 图形表示：A B

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={出现 出现1 例: C1={出现1点};

={出现 出现3 C3={出现3点};

5.互斥事件 5.互斥事件 为不可能事件( 那么称事件A 若A∩B为不可能事件( A∩B =φ)那么称事件A与事件B互斥. 与事件B互斥. 如:C1 ∩ C3 = φ 注：事件A与事件B互斥时 事件A与事件B 事件A与事件B (1)事件A与事件B在任何一次试验中不 会同时发生。 会同时发生。 两事件同时发生的概率为0 (2)两事件同时发生的概率为0。 图形表示： 图形表示：A B

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G={出现的点数为偶数 出现的点数为偶数}; 例: G={出现的点数为偶数}; H={出现的点数为奇数 出现的点数为奇数}; H={出现的点数为奇数};

6.对立事件 6.对立事件 为不可能事件， 为必然事件， 若A∩B为不可能事件， A∪B为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件。 与事件B互为对立事件。 如:事件G与事件H互为对立事件 事件G与事件H 事件A与事件B 注：(1)事件A与事件B在任何一次试验中有且 仅有一个发生。 仅有一个发生。 (2)对立事件一定是互斥事件，但互斥 对立事件一定是互斥事件， 互斥事件 事件不一定是对立事件。 事件不一定是对立事件。

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探索：一个射手进行一次射击,

探索：一个射手进行一次射击,试判断下列事件

哪些是互斥事件?哪些是对立事件? 哪些是互斥事件?哪些是对立事件?事件A:命中环数大于7环； 事件A 命中环数大于7 事件B 命中环数为10 10环 事件B:命中环数为10环； 事件C 命中环数小于6 事件C:命中环数小于6环； 事件D 命中环数为6 事件D:命中环数为6、7、8、9、10环. 10环互斥( ),B与 互斥 互斥， 解：A与C互斥(不可能同时发生), 与C互斥， 与 互斥 不可能同时发生), C与D互斥，C与D是对立事件(至少一个发生) 与 互斥， 与 是对立事件(至少一个发生) 互斥 是对立事件

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(二)、概率的几个基本性质1.概率 1.概率P(A)的取值范围 概率 的取值范围 (1)0≤P(A)≤1. ) (2)必然事件的概率是1. 必然事件的概率是1. (3)不可能事件的概率是0. 不可能事件的概率是0. (4)若A B, 则 p(A) ≤P(B)

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思考：掷一枚骰子,事件C ={出现 出现1 思考：掷一枚骰子,事件C1={出现1点},事件 ={出现 出现3 则事件C C3={出现3点}则事件C1 ∪ C3 发生的频率 与事件C 和事件C 与事件C1和事件C3发生的频率之间有什 么关系? 么关系?

结论：当事件A与事件B 结论：当事件A与事件B互斥时

f (A U B) = f (A) + f (B)n n n

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2.概率的加法公式： 2.概率的加法公式： 概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥， 如果事件A与事件B互斥，则 事件 P(A ∪ B)= P(A) + P(B) ( ( ( 3.对立事件的概率公式 3.对立事件的概率公式 若事件A,B为对立事件,则 事件A 为对立事件, P(B)=1-P(A) ( =1- (

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如果从不包括大小王的52 52张扑克牌中随 例 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随 机抽取一张，那么取到红心(事件A 机抽取一张，那么取到红心(事件A)的概率 取到方片(事件B 是 1 ,取到方片(事件B)的概率是 1 。问: 4 4 取到红色牌(事件C 的概率是多少？ (1)取到红色牌(事件C)的概率是多少？ 取到黑色牌(事件D 的概率是多少？ (2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少？解(1)因为 不会同时发生， )因为C= A∪B,且A与B不会同时发生，所以 与B是互 ∪ , 与 不会同时发生 所以A与 是互 斥事件。根据概率的加法公式， 斥事件。根据概率的加法公式，得： P(C)=P(A)+P(B)=1/2 ( ) ( ) ( ) (2)C与D也是互斥事件，又由于 C∪D为必然事件，所以 ) 与 也是互斥事件， ∪ 为必然事件， 也是互斥事件 为必然事件 C与D互为对立事件，所以 与 互为对立事件 互为对立事件， P(D)=1-P(C)=1/2 ( ) - ( )

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例 某地区的年降水量在下列范围内的概率如下所示： 某地区的年降水量在下列范围内的概率如下所示：年降水量( 年降水量(单 [100,150) [150,200)

位:mm) 概率 0.12 0.25 [200,250) 0.16 [250,300) 0.14

1.求年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率； 1.求年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率； )(mm 求年降水量在 2.求年降水量在 150,300)(mm)范围内的概率 求年降水量在[ )(mm)范围内的概率。 2.求年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率。解:(1)记这个地区的年降水量在[100,150),[150,200),[200,250), (1)记这个地区的年降水量在[100,150),[150,200),[200,250), 记这个地区的年降水量在[100,150) [250,300)(mm)范围内分别为事件为 范围内分别为事件为A [250,300)(mm)范围内分别为事件为A、B、C、D。 个事件是彼此互斥的。根据互斥事件的概率加法公式， 这4个事件是彼此互斥的。根据互斥事件的概率加法公式，有 (1)年降水量在 100,200)(mm)范围内的概率是 年降水量在[ (1)年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率是 P(A+B)=P(A)+P(B)=0.12+0.25=0.37 (2)年降水量在 150,300)(mm)内的概率是 年降水量在[ (2)年降水量在[150,300)(mm)内的概率是 P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.25+0.16+0.14=0.55.