数字信号处理实验五 离散时间LTI系统的z域分析

实验五 离散时间LTI系统的z域分析

一、 实验目的：学会运用MATLAB分析离散时间系统的系统函数的零极点；学会运用MATLAB分析系统函数的零极点分布与其时域特性的关系；学会运用MATLAB进行离散时间系统的频率特性分析。

二、 实验仪器：电脑一台，MATLAB6.5或更高级版本软件一套。 三、 实验内容：

（一） 实验原理及实例分析 1. 系统函数的零极点分析

离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z变换与激励的z变换之比，即

H(z)

如果系统函数H(z)的有理函数表示式为

Y(z)

（5-1） X(z)

b1zm b2zm 1 bmz bm 1

（5-2） H(z) nn 1

a1z a2z anz an 1

那么，在MATLAB中系统函数的零极点就可通过函数roots得到，也可借助函数tf2zp得到，tf2zp的语句格式为

[Z,P,K]=tf2zp(B,A) 其中，B与A分别表示H(z)的分子与分母多项式的系数向量。它的作用是将H(z)的有理分式表示式转换为零极点增益形式，即

H(z) k

(z z1)(z z2) (z zm)

（5-3）

(z p1)(z p2) (z pn)

z 0.32

2

z z 0.16

【实例5-1】 已知一离散因果LTI系统的系统函数为

H(z)

试用MATLAB命令求该系统的零极点。

解：用tf2zp函数求系统的零极点，MATLAB源程序为

>>B=[1,0.32]; >>A=[1,1,0.16]; >>[R,P,K]=tf2zp(B,A) R= -0.3200 P= -0.8000 -0.2000 K= 1

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因此，零点为z 0.32，极点为p1 0.8与p2 0.2。

若要获得系统函数H(z)的零极点分布图，可直接应用zplane函数，其语句格式为

zplane(B,A)

其中，B与A分别表示H(z)的分子和分母多项式的系数向量。它的作用是在Z平面上画出单位圆、零点与极点。

【实例5-2】 已知一离散因果LTI系统的系统函数为

z2 0.36

H(z) 2

z 1.52z 0.68

试用MATLAB命令绘出该系统的零极点分布图。

解：用zplane函数求系统的零极点，MATLAB源程序为

>>B=[1,0,-0.36]; >>A=[1,-1.52,0.68]; >>zplane(B,A),grid on >>legend('零点','极点') >>title('零极点分布图')

程序运行结果如图5-1所示。可见，该因果系统的极点全部在单位圆内，故系统是稳定的。

2. 系统函数的零极点分布与其时域特性的关系

图5-1 零极点分布图

与拉氏变换在连续系统中的作用类似，在离散系统中，z变换建立了时域函数h(n)与z域函数H(z)之间的对应关系。因此，z变换的函数H(z)从形式可以反映h(n)的部分内在性质。我们仍旧通过讨论H(z)的一阶极点情况，来说明系统函数的零极点分布与系统时域特性的关系。

【实例5-3】 试用MATLAB命令画出现下列系统函数的零极点分布图、以及对应的时域单位取样响应h(n)的波形，并分析系统函数的极点对时域波形的影响。

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（1）H1(z)

zzz

（2）H2(z) （3）H3(z) 2

z 0.8z 0.8z 1.2z 0.72zzz

（4）H4(z) （5）H5(z) 2 （6）H6(s)

z 1z 1.2z 1.6z 1

z

（7）H7(z) 2

z 2z 1.36

解：MATLAB源程序为

>>b1=[1,0]; >>a1=[1,-0.8]; >>subplot(121) >>zplane(b1,a1)

>>title('极点在单位圆内的正实数') >>subplot(122)

>>impz(b1,a1,30);grid on; >>figure >>b2=[1,0]; >>a2=[1,0.8]; >>subplot(121) >>zplane(b2,a2)

>>title('极点在单位圆内的负实数') >>subplot(122)

>>impz(b2,a2,30);grid on; >>figure >>b3=[1,0]; >>a3=[1,-1.2,0.72]; >>subplot(121) >>zplane(b3,a3)

>>title('极点在单位圆内的共轭复数') >>subplot(122)

>>impz(b3,a3,30);grid on; >>figure >>b4=[1,0]; >>a4=[1,-1]; >>subplot(121) >>zplane(b4,a4)

>>title('极点在单位圆上为实数1') >>subplot(122) >>impz(b4,a4);grid on; >>figure >>b5=[1,0]; >>a5=[1,-1.6,1]; >>subplot(121) >>zplane(b5,a5)

>>title('极点在单位圆上的共轭复数')

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>>subplot(122)

>>impz(b5,a5,30);grid on; >>figure >>b6=[1,0]; >>a6=[1,-1.2]; >>subplot(121) >>zplane(b6,a6)

>>title('极点在单位圆外的正实数') >>subplot(122)

>>impz(b6,a6,30);grid on; >>figure >>b7=[1,0]; >>a7=[1,-2,1.36]; >>subplot(121) >>zplane(b7,a7)

>>title('极点在单位圆外的共轭复数') >>subplot(122)

>>impz(b7,a7,30);grid on;

程序运行结果分别如图14-2的（a）、（b）、（c）、（d）、（e）、（f）、（g）所示。

(a)

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(b)

(c)

(d)

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(e)

(f)

(g)

图5-2 系统函数的零极点分布与其时域特性的关系

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从图5-2可知，当极点位于单位圆内时，h(n)为衰减序列；当极点位于单位圆上时，

h(n)为等幅序列；当极点位于单位圆外时，h(n)为增幅序列。若h(n)有一阶实数极点，

则h(n)为指数序列；若h(n)有一阶共轭极点，则h(n)为指数振荡序列；若h(n)的极点位于虚轴左边，则h(n)序列按一正一负的规律交替变化。

3. 离散时间LTI系统的频率特性分析

对于因果稳定的离散时间系统，如果激励序列为正弦序列x(n) Asin(n )u(n)，则系统的稳态响应为yss(n) A|H(ej )|sin[n ( )]u(n)。其中，H(ej )通常是复数。离散时间系统的频率响应定义为

H(ej ) |H(ej )|ej ( ) （5-4）

其中，|H(e

j

)|称为离散时间系统的幅频特性； ( )称为离散时间系统的相频特性；

2

，若零T 1， s 2 ）为周期的周期函数。因此，只要分T

H(ej )是以 s（ s

析H(ej )在| | 范围内的情况，便可分析出系统的整个频率特性。

MATLAB提供了求离散时间系统频响特性的函数freqz，调用freqz的格式主要有两种。一种形式为

[H,w]=freqz(B,A,N) 其中，B与A分别表示H(z)的分子和分母多项式的系数向量；N为正整数，默认值为512；返回值w包含[0, ]范围内的N个频率等分点；返回值H则是离散时间系统频率响应

H(ej )在0~ 范围内N个频率处的值。另一种形式为

[H,w]=freqz(B,A,N,’whole’)

与第一种方式不同之处在于角频率的范围由[0, ]扩展到[0,2 ]。

z2 0.96z 0.9028

【实例5-4】 用MATLAB命令绘制系统H(z) 2的频率响应曲线。

z 1.56z 0.8109

解：利用函数freqz计算出H(e

j

)，然后利用函数abs和angle分别求出幅频特性与相

频特性，最后利用plot命令绘出曲线。MATLAB源程序为

>>b=[1 -0.96 0.9028]; >>a=[1 -1.56 0.8109];

>>[H,w]=freqz(b,a,400,'whole'); >>Hm=abs(H);

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>>Hp=angle(H); >>subplot(211) >>plot(w,Hm),grid on

>>xlabel('\omega(rad/s)'),ylabel('Magnitude') >>title('离散系统幅频特性曲线') >>subplot(212) >>plot(w,Hp),grid on

>>xlabel('\omega(rad/s)'),ylabel('Phase') >>title('离散系统相频特性曲线')

程序运行结果如图5-3所示。

图5-3 离散系统频响特性曲线

（二） 编程练习 1.

2z4 16z3 44z2 56z 32

试用MATLAB的residuez函数，求出X(z) 的部分分

3z4 3z3 15z2 18z 12

式展开和。

试用MATLAB画出下列因果系统的系统函数零极点分布图，并判断系统的稳定性。

2.

2z2 1.6z 0.9

（1）H(z) 3 2

z 2.5z 1.96z 0.48

（2）H(z)

z 1

432

z 0.9z 0.65z 0.873z

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3.

z2

试用MATLAB绘制系统H(z) 的频率响应曲线。

31z2 z

48