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第2课时 正方形的判定

1．掌握正方形的判定条件；(重点) 2．能熟练运用正方形的性质和判定进行有关的证明和计算．(难点)

一、情境导入

老师给学生一个任务：从一张彩色纸中剪出一个正方形．

小明剪完后，这样检验它：比较了边的长度，发现4条边是相等的，小明就判定他完成了这个任务．这种检验可信吗？

小兵用另一种方法检验：量对角线，发现对角线是相等的，小兵就认为他正确地剪出了正方形．这种检验对吗？

小英剪完后，比较了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的．按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形．你的意见怎样？

你认为应该如何检验，才能又快又准确呢？

二、合作探究

探究点一：正方形的判定

【类型一】 利用“一组邻边相等的矩形是正方形”

证明四边形是正方形

如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝

90°，CD 为∠ACB 的平分线，DE ⊥BC 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：四边形CEDF 是正方形．

解析：要证四边形CEDF 是正方形，则

要先证明四边形CEDF 是矩形，再证明一组邻边相等即可．

证明：∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∠DFC ＝90°，∠DEC

＝90°.又∵∠ACB ＝90°，∴四边形CEDF 是矩形．∵DE ＝DF ，∴矩形CEDF 是正方形．

方法总结：要注意判定一个四边形是正

方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．

【类型二】 利用“有一个角是直角的菱形是正方形”

证明四边形是正方形

如图，在四边形ABFC 中，∠ACB

＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且CF ＝AE .

(1)试判断四边形BECF 是什么四边形？并说明理由；

(2)当∠A 的大小满足什么条件时，四边形

BECF 是正方形？请回答并证明你的结论．

解析：(1)根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE ＝EC ，BF ＝FC .又∵CF ＝AE ，∴可证BE ＝EC ＝BF ＝FC .根据“四边相等的四边形是菱

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形”，∴四边形BECF 是菱形；

(2)菱形对角线平分一组对角，即当∠ABC ＝45°时，∠EBF ＝90°，有菱形为正方形．根据“直角三角形中两个角锐角互余”得∠A ＝45°.

解：(1)四边形BECF 是菱形．理由如下：∵EF 垂直平分BC ，∴BF ＝FC ，BE ＝EC ，∴∠3＝∠1.∵∠ACB ＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°，∴∠2＝∠4，∴EC ＝AE ，∴BE ＝AE .∵CF ＝AE ，∴BE ＝EC ＝CF ＝BF ，∴四边形BECF 是菱形；

(2)当∠A ＝45°时，菱形BECF 是正方形．证明如下：∵∠A ＝45°，∠ACB ＝90°，∴∠3＝45°，∴∠EBF ＝2∠3＝90°，∴菱形BECF 是正方形．

方法总结：正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用判定定理1或判定定理2进行判定．

探究点二：正方形的判定的应用

【类型一】 正方形的性质和判定的综合应用

如图，点E ，F ，P ，Q 分别是正

方形ABCD 的四条边上的点，并且AF ＝BP ＝CQ ＝DE .求证：

(1)EF ＝FP ＝PQ ＝QE ；

(2)四边形EFPQ 是正方形． 解

析

：

(1)

证

明

△APF ≌△DFE ≌△CEQ ≌△BQP ，即可证得EF ＝FP ＝PQ ＝QE ；(2)由EF ＝FP ＝PQ ＝QE ，可判定四边形EFPQ 是菱形，又由△APF ≌△BQP ，易得∠FPQ ＝90°，即可证得四边形EFPQ 是正方形．

证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝AD .∵AF ＝BP ＝CQ ＝DE ，∴DF ＝CE ＝BQ ＝AP .在△APF 和△DFE 和△CEQ 和△BQP 中，⎩⎪⎨⎪

⎧AF ＝DE ＝CQ ＝BP ，∠A ＝∠D ＝∠C ＝∠B ，AP ＝DF ＝CE ＝BQ ，

∴△APF ≌△DFE ≌△CEQ ≌△BQP (S

AS)，∴EF ＝FP ＝PQ ＝QE ；

(2)∵EF ＝FP ＝PQ ＝QE ，∴四边形EFPQ 是菱形．∵△APF ≌△BQP ，∴∠AFP ＝∠BPQ .∵∠AFP ＋∠APF ＝90°，∴∠APF ＋∠BPQ ＝90°，∴∠FPQ ＝90°，∴四边形EFPQ 是正方形．

方法总结：此题考查了正方形的判定与

性质以及全等三角形的判定与性质．注意解题

的

关

键

是

证

得

△APF ≌△DFE ≌△CEQ ≌△BQP .

【类型二】 与正方形的判定有关的综合应用题

如图，△ABC 中，点O 是AC 上

的一动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平

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分线于点E ，交∠BCA 的外角∠ACG 的平分线于点F ，连接AE 、AF .

(1)求证：∠ECF ＝90°； (2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？请说明理由；

(3)在(2)的条件下，要使四边形AECF 为正方形，△ABC 应该满足条件：______________________(直接添加条件，无需证明)．

解析：(1)由CE 、CF 分别平分∠BCO 和∠GCO ，可推出∠BCE ＝∠OCE ，∠GCF ＝∠OCF ，则∠ECF ＝1

2×180°＝90°；(2)由

MN ∥BC ，可得∠BCE ＝∠OEC ，∠GCF ＝∠OFC ，可推出∠OEC ＝∠OCE ，∠OFC ＝∠OCF ，得出EO ＝CO ＝FO ，点O 运动到AC 的中点时，则EO ＝CO ＝FO ＝AO ，这时四边形AECF 是矩形；(3)由已知和(2)得到的结论，点O 运动到AC 的中点时，且△ABC 满足∠ACB 为直角时，则推出四边形AECF 是矩形且对角线垂直，因而四边形AECF 是正方形．

(1)证明：∵CE 平分∠BCO ，CF 平分∠GCO ，∴∠OCE ＝∠BCE ，∠OCF ＝∠GCF ，∴∠ECF ＝1

2×180°＝90°；

(2)解：当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下：∵MN ∥BC ，∴∠OEC ＝∠BCE ，∠OFC ＝∠GCF .又

∵∠OCE ＝∠BCE ，∠OCF ＝∠GCF ，∴∠OCE ＝∠OEC ，∠OCF ＝∠OFC ，∴EO ＝CO ，FO ＝CO ，∴OE ＝OF .又∵当点O 运动到AC 的中点时，AO ＝CO ，∴四边形AECF 是平行四边形．∵∠ECF ＝90°，∴四边形AECF 是矩形．

(3)∠ACB ＝90°.

方法总结：在解决正方形的判定问题时，可从与其判定有关的其他知识点入手，例如等腰三角形，平行线和角平分线．从中发现与正方形有关联的条件求解．

三、板书设计

1．正方形的判定方法

一组邻边相等的矩形是正方形； 有一个角是直角的菱形是正方形． 2．正方形性质和判定的应用

本节课采用探究式教学，让学生产生学习兴趣，通过实践活动调动学生的积极性，给学生动手操作的机会，变被动为主动学习，引导通过感官的思维去观察、探究、分析知识形成的过程，以此深化知识、更深刻理解知识、主动获取知识，养成良好的学习习惯．