关于计量的非线性回归分析,很实用

第四章

回归方程的其他函数形式

一、模型的类型与变换 二、对变量为非线性的回归实例

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说 明 在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接表现为对变量为线性关系的情况并不多见。 如著名的恩格尔曲线 恩格尔曲线(Engle curves)表现为幂函数曲线 恩格尔曲线 幂函数曲线 形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线 菲利普斯曲线(Pillips cuves) 菲利普斯曲线 双曲线形式等。 表现为双曲线 双曲线 但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学 处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线 性回归模型的理论方法。

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一、模型的类型与变换1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法 倒数模型、 例如， 拉弗曲线：抛物线 例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线 拉弗曲线 s = a + b r + c r2 c<0 s:税收； r:税率 设X1 = r,X2 = r2, 则原方程变换为 s = a + b X1 + c X2 c<0

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多项式函数模型Y = b0 + b1 X + b2 X 2 + L + bk X k + µ* X 1* = X , X 2 = X 2 , L ,X

* k

= Xk

适用范围： 边际量非 单调的函 数，比如 生产函数， 成本函数。

* Y = b0 + b1 X 1* + b2 X 2 + L + bk X * + µ k

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倒数变换模型(双曲函数模型)

Y = β1 + β 2 ( 1 ) + u X表示随着X的递增，1/X将越来越接近零，Y非线 性递减(第二项系数为负时，递增),但最终以 截距项为渐近线。比如菲利普斯曲线就可以使用 这种模型。

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双曲函数模型(倒数模型)1 Y = b0 + b1 + µ X1 X

举例：菲利普斯曲线曲线 菲利普斯曲线

X* =

Y = b0 + b1 X * + µ

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2、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法 、幂函数模型、 例如，Cobb-Dauglas生产函数：幂函数 例如 Q = AKαLβ Q:产出量，K:投入的资本；L:投入的劳动 方程两边取对数： ln Q = ln A + α ln K + β ln L

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半对数模型基本形式： 或者

ln Y = α 1 + α 2 X + u

Y = β1 + β 2 ln X + u

α 2 等于X的绝对量发生一定变动时，引发Y

此模型称不变百分率增长模型。

的不变的相对变动率。β 2 等于X发生一定相对变动变动时，引发Y 的平均值或期望值绝对量的变动。

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指数函数模型Y = Aeb1 X + µ

ln Y = ln A + b1 X + µ

这种形式称为 对数线性模型 或半对数模型

Y * = ln Y , b0 = ln A

Y * = b0 + b1 X + µ

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幂函数模型Y = AX eb1 µ

ln Y = ln A + b1 ln X + µY * = ln Y , X * = ln X , b0 = ln A

这种形式称为对 数对数模型或双 对数模型 举例：柯布-道格 拉斯生产函数

Y = b0 + b1 X + µ* *

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3、复杂函数模型与级数展开法 (较难，不作要 、 较难， 求) 例如，常替代弹性CES生产函数 例如

Q = A (δ 1 K

ρ

+ δ 2L

ρ

)

1 ρ

eµ

(δ1+δ2=1)

Q:产出量，K:资本投入，L:劳动投入 ρ:替代参数， δ1、δ2:分配参数 方程两边取对数后，得

到：

LnQ= LnA ρ Ln(δ1K +δ2 L ) + µ1

ρ

ρ

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将式中ln(δ1K-ρ + δ2L-ρ)在ρ=0处展开泰勒级 数,取关于ρ的线性项，即得到一个线性近似式。 如取0阶、1阶、2阶项，可得: K 1 ln Y = ln A + δ 1 m ln K + δ 2 m ln L ρ mδ 1δ 2 ln 2 L 2

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复杂函数模型与直接优化法 复杂函数模型与Y = f ( X , B) + µ ) = ∑e2 = ∑(Y f ( X , B))2 Q(B i i Q )] f = 0 = 2[Y f ( X , B bj bj

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二、非线性回归实例例1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。

根据需求理论，居民对食品的消费需求函 数大致为: Q = f ( X , P1 , P0 ) (*) Q:居民对食品的需求量，X:消费者的消费支出 总额 P1:食品价格指数，P0:居民消费价格总指数。