数学

第八章 总结

计算机与数学基础教学部 杨淑辉

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数学

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第十章 总结

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数学

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数学

第十一章 总结

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数学

所有类型的积分：

1定义：四步法——分割、代替、求和、取极限； ○

2性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性； ○

3对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。 ○

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数学

第十二章 总结

1 若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛 ○

2两个收敛级数的和差仍收敛 ○

用收敛定义，limsn存在

n

注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.

3去掉、加上或改变级数有限项 不改变其收敛性 ○

4若级数收敛 则对这级数的项任意加括号后所成○

一

般项级

数

的级数仍收敛，且其和不变。

常数项级数的基本性质

推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散 注：收敛级数去括号后未必收敛.

常数项级数的基本性质

5（必要条件） 如果级数收敛 则limu 0 ○n

n 0

常

数项级数

交错 级数

莱布尼茨判别法

若un

un 1且limun 0，则 ( 1)n 1un

n

n 1

收敛

比较判别法

un和 vn都是正项级数，且un vn.若 vn收敛，则 un也收敛；若 un发散，则 vn也发散.

1若 un和 vn都是正项级数，且limun l，则○

n

正

项级数

比较判别法的极限形式

vn

2若l 0, v收0 l , un与 vn同敛或同散;○n3如果l敛, un也收敛；○

比值判别法

根值判别法

， vn发散， un也发散。

u

un是正项级数，limn 1 ,limnn ,则 1时收

n

n

un

敛； 1( )时发散； 1时可能收敛也可能发散.

收敛性

a

n 0

n

1

, 0;R , 0;R 0, . xn,liman 1 ,R

n

an

缺项级数用比值审敛法求收敛半径

1在收敛域I上连续;○2在收敛域( R,R)内可导，3且可逐项求导;○s(x)的性质○

无

穷级数

幂级数

和函数

和函数s(x)在收敛域I上可积分，且可逐项积分.(R不变,收敛域可能变化).

展成幂级数

直接展开:泰勒级数 间接展开:六个常用展开式

11nx

x( 1 x 1) e xn ( x ) 1 xn 1n 1n!

T 2

T 2l

1a0

f(x) (ancosnx bnsinnx) a0

2n 1

f(x)dx

傅

立叶级数

an

1

f(x)cosnxdx bn

1

f(x)sinnxdx 收敛定理

x是连续点,收敛于f(x);x是间断点,收敛于1[f(x ) f(x )]

2

周期 延拓

f(x)为奇函数，正弦级数，奇延拓；f(x)为偶函数，余弦级数、偶延拓.

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