材料力学习题解答(应力状态分析和强度理论)
发布时间：2024-11-12
很好!!!
8.2. 已知应力状态如图所示，应力单位为MPa。试用解析法和应力圆分别求：(1)主应力大
小，主平面位置；(2)在单元体上绘出主平面位置及主应力方向；(3)最大切应力。
解：(e)
(1) 应力分量
x
(e)
(f
)
0
y
80MPa xy 20MPa
主平面位置和主应力大小
tg2 0
2 xy
x
o
0.5
y
o
o
0 13.3 0 90
76.7
max
min
x
2
y
802
4.7MPa 84.7MPa
1 4.7MPa 2 0 3 84.7MPa
(2) 画主平面位置及主应力方向： x> y， 0面对应 max。
(3) 最大剪应力
1
max
(4) 应力圆
1 3
2
4.7 84.7
2
44.7MPa
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(f)
(1) 应力分量
x
20MPa
y
30MPa xy 20MPa
主平面位置和主应力大小
tg2 0
2 xy
0.8
y
o
o
x
o
0 19.3 0 90
109.3
max
min
x
2
y
37MPa
27MPa
20 30
2
1 37MPa 2 0 3 27MPa
(2) 画主平面位置及主应力方向： x< y， 0面对应 min。
(3) 最大剪应力
max
1 3
2
37 27
2
32MPa
(4) 应力圆
8.3. 在图示应力状态应力单位为中MPa，试用解析法计算和应力圆求出指定斜截面上的应
力。
(e)
(f)
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解：(d)
(1) 应力分量
x 70MPa
(2) 用解析法求斜截面上的应力
y
o
70MPa xy 0 30
x
2
y
x
270 702
y
cos2 xysin2
70 702
cos60 35MPa
x
2
y
sin2 xycos2 sin60 60.6MPa
70 702
(3) 应力圆
(e)
(1) 应力分量
σ
x
70MPa σ
y
70MPa τ
xy
o
0 α 30
(2) 用解析法求斜截面上的应力
σα
τ
σ
x
σ2
y
σ
x
σ2
y
cos2α τ
x
sin2α
70 702σ
x
70MPasin2α τ
cos2α 0
σ2
y
αx
(3) 应力圆：为一点圆
(f)
(1) 应力分量
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x 100MPa
(2) 用解析法求斜截面上的应力
y
o
50MPa xy 0 60
x
2
y
x
2
y
cos2 xysin2 cos120 62.5MPa
100 50
2
100 50
2
x
2
y
sin2 xycos2 sin120 21.7MPa
100 50
2
(3) 应力圆
8.5. 图示锅炉直径D=1 m，壁厚t=10 mm，锅炉蒸汽压力p=3 MPa。试求：(1)壁内主应力
1、 2及最大切应力 max；(2)斜截面ab上的正应力及切应力。
解：(1) 求主应力
1 2
pD2tpD4t
3 10 12 0.01
6
150 MPa
12
75 MPa
3 0
最大切应力
max
1 3
2
150 0
2
75 MPa
(2) 斜截面ab上的正应力及切应力：
x 2 y 1 xy 0 60
x
2
y
o
x
2
y
cos2
75 150
2
o
75 150
2
cos120 131.3 MPa
o
x
2
y
sin2
75 150
2
sin120
32.5 MPa
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8.6. 图示矩形截面梁某截面上的弯矩和剪力分别为M=10 kN.m，Q=120 kN。试绘出截面上1、
2、3、4各点的应力状态单元体，并求其主应力。
解：(1) 截面上1点的应力：
(1)
M16bh
2
10 1016
3
120 MPa (1) 0
2
0.05 0.1
应力状态单元：
主应力：
1 2 0 3 120 MPa
(2) 截面上2点的应力：
(2) 0 (2)
应力状态单元：
主应力：
3Q2bh
32
120 10
3
0.05 0.1
36 MPa
36MPa
1 36 MPa 2 0 3 36 MPa
(3) 截面上3点的应力：
(3) (3)
(1)2
*
60 MPa
120 10 0.025 0.05 0.0375
0.05
0.05 0.1
12
60MPa
3
3
QSzbIz
27 MPa
应力状态单元：
主应力：
很好!!!
max min
(4) 截面上4点的应力：
2
60
70.4 MPa 10.4 MPa
1 70.4 MPa 2 0 3 10.4 MPa
(4) (1) 120 MPa (4) 0
应力状态单元：
主应力：
1 120 MPa 2 3 0
8.8. 图为薄壁圆筒的扭转-拉伸示意图。若P=20 kN，T=600 NN·m，且d=50 mm， =2 mm。
试求：(1)A点在指定斜截面上的应力。(2)A点主应力的大小及方向，并用单元体表示。
解：(1) A点的应力状态
属二向应力状态，应力分量是
x
y
PA
20000
50 2 10
6
63.7 10Pa 63.7MPa
6
0
T2 rt
2
600
2 26 2 10
2
9
xy
70.6 10Pa 70.6MPa
6
(2) 斜截面的应力：
120
o
x
2
y
x
2
y
cos2 xysin2
63.72
x
63.72
y
cos240 70.6sin240 45.2MPa
sin2 xycos2
2
63.72
sin240 70.6cos240 7.7MPa
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(3) 主方向
tg2 0
2 xy
y
o
2 ( 70.6)
63.7
o
x
o
2.22
0 32.9 0 90 122.9
(4) 主应力
σ σ
max
σ
x
σ2
y
(
σ
x
σ2
y
) τ
22xy
min
63.72
(
63.7
109.3MPa22
) ( 70.6) 2 45.6MPa
2
σ1 109.3MPa σ
(5) 主单元体： x> y， 0面对应 max。
0 σ
3
45.6MPa
8.9. 图示简支梁为36a工字梁，P=140 kN，l=4 m。A点所在截面在P的左侧，且无限接近
于P。试求：(1)通过A点在与水平线成30o的斜面上的应力；(2)A点的主应力及主平面
位置。
解：(1) A截面上的剪力和弯矩
P140Pl140 4Q 70 kN M 140 kNm
2244
(2) A点的应力状态
(3) 截面几何性质
W 875cm Iz 15800cm
3
4
x
h 360mm B 136mm b 10mm t 15.8mm
（4）应力分量
很好!!!
M
h
140 10
3
0.36 8
x
0
Iz
15800 10
79.75MPa
y
xy
22 h 2t Q Bbh 2 2
h h 2t 2Izb 8416
70 1015800 10
8
3
0.01
{
0.1368
0.362 0.36 2 0.0158 2
22
0.01 0.36 2 0.0158 0.36 }
2 416
20.56MPa
（5）斜截面上的应力
60
o
x
2
y
x
2
y
cos2 xysin2
o
o
79.752
79.752
cos120 20.56 sin120
2.13MPa
x
2
y
sin2 xycos2
o
o
79.752
sin120 20.56 cos120
24.25MPa
（6）主方向
tg2 0
2 xy
x
o
y
2 20.5679.75
o
0.516
o
0 13.6 0 90 76.4
（7）主应力
max min
x
2
y
79.752
84.7MPa
5.0MPa
1 84.7MPa 2 0 3 5.0MPa
8.12. 图示二向应力状态的应力单位为MPa。试作应力圆，并求主应力。
很好!!!
解：(1) 用水平面截得
其中
o
x 80MPa xy 0 50MPa 60
(2) 求应力分量
50
x
2
y
x
2
y
cos2 xysin2
o
80 2
y
y
80 2
y
cos(120) 0
40MPa
(3) 主应力
1
x
80MPa 2
y
40MPa 3 0
(4) 应力圆
8.15. 试求图示各应力状态的主应力及最大切应力，应力单位为MPa。
y
x
z
(b)
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解：(1) z面为一主平面，其上面的正应力为一主应力；
(2) 分析xy平面的应力分量
σ
x
30MPa σ
y
20MPa τ
xy
40MPa
(3) 求主应力大小
max
min
x
2
y
30 202
52.2MPa
42.2MPa
1 52.2MPa 2 50MPa 3 42.2MPa
(4) 最大剪应力
max
1 3
2
47.2MPa
8.16. 列车通过钢桥时，用变形仪测得钢桥横梁A点的应变为 x=0.0004， y= -0.00012。试求
A点在x和y方向的正应力。设E=200 GPa，μ=0.3。
解：根据广义虎克定义：
1E
1E
x
解得
E1 E1
22
(
x
y) y
(
y
x)
x
( x y) ( y x)
200 101 0.3
2
9
(0.0004 0.3 0.00012) 80MPa
9
y
200 101 0.3
2
( 0.00012 0.3 0.0004) 0
7-8. 边长为10 mm的立方铝块紧密无隙地置于刚性模内，如图所示，模的变形不计。铝的
E=70 GPa， =0.33。若P=6 kN，试求铝块的三个主应力和主应变。
x z
y
很好!!!
解：(1) z方向的应力
σ
PA
600010 10 10
6
6
60 10Pa 60MPa
z
(2) x方向和y方向的线应变为零
x y
1E1E
[ [
x
(
y
z)] 0
y
( z x)] 0
x
1
1
2
y
z
0.33 1 0.33 1 0.33
2
60 10 29.6 MPa
6
(3) x 、y、z三个方向是主方向，主应力是
1 2 29.6 MPa 3 60MPa
(4) x 、y、z三个方向的主应变
1 2 0 3
1E
[ 3 ( 2 1)]170 10
9
6
4
[ 60 0.33 2 29.6 ] 10 5.78 10
8.18. 从钢构件内某一点的周围取出一部分如图所示。根据理论计算已经求得 =30 MPa，
=15 MPa。材料E=200 GPa。 =0.30。试求对角线AC的长度改变 l。
解：(1) 应力分量
σ
x 30MPa
(2) 求30o和-60o斜截面上的正应力：
y
0 xy 15MPa
30
x
2302
y
x
2
y
cos2 xysin2
302
y
cos60 15sin60 35.5MPa
60
x
2302
x
2
y
cos2 xysin2
302
cos( 120 ) 15sin( 120 ) 5.5MPa
(3) 求30方向的线应变
o
很好!!!
30
1E
( 30 60 )1
9
200 10
(35.49 0.3 5.49) 10 1.86 10
6 4
(4) 求AC的长度变化
l 30 AC 1.86 10
4
25sin30
10
3
9.3 10mm
3
8.24. 某厚壁筒横截面如图所示。在危险点处， t=500 MPa， r=-350 MPa，第三个主应力垂
直于图面是拉应力。且其数值为420 MPa。试按第三和第四强度理论计算其相当应力。
解：(1) 危险点处的主应力为：
1 500MPa 2 420MPa 3 350MPa
(2) 按第三强度理论计算其相当应力
r3 1 3 500 350 850MPa
(3) 按第四强度理论计算其相当应力
r4
813 MPa
8.25. 铸铁薄壁圆管如图所示。若管的外径为200 mm，厚度 =15 mm，管内压力p=4 MPa，
P=200 kN。铸铁的抗拉许用压力[ t]=30 MPa， =0.25。试用第一和第二强度理论校核薄管的强度。
解：(1) 应力状态
很好!!!
(2) 计算应力
D 200 30 170mm
σ’
'
pD4
P
D
6
4 10 0.174 0.015pD2
6
200 10
3
0.17 0.015
22.7 MPa
13.64 MPa
''
4 10 0.172 0.015
1 22.7 MPa 2 0 3 13.64 MPa
(3) 用第一强度理论校核
σ
r1
σ1 22.7MPa [σt]
(4) 用第二强度理论校核
r2 1 ( 2 3) 22.7 0.25(0 13.64) 26.1 MPa ] t] (5) 结论：强度足够。
材料力学习题解答(应力状态分析和强度理论).doc
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