理力B第12章达朗贝尔原理

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第十二 章 达朗贝尔原理(动静法) 达朗贝尔原理(动静法)

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§ 12-1 惯性力 质点的达朗贝尔原理 惯性力质点的达朗贝尔原理ma = F + FNF + FN ma = 0令 有

FI = ma

惯性力

F + FN + FI = 0质点的达朗贝尔原理:作用在质点的主动力, 质点的达朗贝尔原理:作用在质点的主动力,

约束力和虚加的惯性在形式上组成平衡力系. 约束力和虚加的惯性在形式上组成平衡力系.

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用达朗贝尔原理求解例9-3 例12-1 用达朗贝尔原理求解例 已知: 已知: 求:

m = 0.1kg, l = 0.3m, θ = 60o

v, FT .

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v2 解: Fn = ma = m I n l sin θmg + F + FI = 0 T

∑F = 0,b

F cosθ mg = 0 1

∑F = 0,n

F sin θ F = 0 Tn I

解得

mg F = =1.96N T cosθF l sin 2 θ v= T = 2.1m s m

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§ 12-2 质点系的达朗贝尔原理Fi + FNi + FIi = 0 i = 1,2,L, n质点系的达朗贝尔原理:质点系中每个质点上作 质点系的达朗贝尔原理: 用的主动力, 用的主动力,约束和它的惯性力在形式上组成平衡力 系. 记 F (e) 为作用于第 个质点上外力的合力. 为作用于第i个质点上外力的合力 个质点上外力的合力.i

Fi (i) 为作用于第 个质点上内力的合力. 为作用于第i个质点上内力的合力. 个质点上内力的合力则有F (e) + ∑F (i ) + ∑FIi = 0 ∑i i M0 F (e) + ∑M0 F (i ) ∑ i i + ∑M0 (FIi ) = 0

( )

( )

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因 有

F (i ) = 0, ∑i

M0 F (i ) = 0, ∑ i

( )

F (e) + ∑FIi = 0 ∑i M0 F (e) + ∑M0 (FIi ) = 0 ∑ i

( )

也称为质点系的达朗贝尔原理: 也称为质点系的达朗贝尔原理:作用在质点 系上的外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式 上组成平衡力系. 上组成平衡力系.

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例12-2 如图所示,定滑轮的半径为 ,质量为 如图所示,定滑轮的半径为r, m均匀分布在轮缘上,绕水平轴O转动.垮过滑轮的 均匀分布在轮缘上, 转动. 均匀分布在轮缘上 无重绳的两端挂有质量为m 的重物( 无重绳的两端挂有质量为 1和m2的重物(m1>m2), , 绳与轮间不打滑,轴承摩擦忽略不计, 绳与轮间不打滑,轴承摩擦忽略不计,求重物的加 速度. 速度.

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解:t Ii

FI1 = m1a, FI 2 = m2a

F = mi rα = mi a ,

∑M由

O

= 0,i

(m1g m1a m2g m2a)r ∑miar = 0i

v F = mi rn Ii

2

∑m ar = (∑m )ar = mar

m m2 1 a= g 解得 m + m2 + m 1

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飞轮质量为m, 例12-3飞轮质量为 ,半径为R,以匀角速度 飞轮质量为 定轴转动,设轮辐质量不计,质量均布在较薄的轮 定轴转动,设轮辐质量不计, ω 缘上,不考虑重力的影响. 缘上,不考虑重力的影响. 求:轮缘横载面的张力. 轮缘横载面的张力.

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m F Rθi Rω2 解: Ii = m a = 2πRn i i

∑F = 0, ∑F cosθ Fx Ii

A

=0B

∑F令

y

= 0,

∑F sin θ FIi

=0

θi →0,π

m mRω2 2 2 FA = ∫ Rω cosθ dθ = 0 2 π 2πm mRω2 FB = ∫ 2 Rω2 sin θ dθ = 0 2 π 2ππ

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§ 12-3

刚体惯性力系的简化

FIR = ∑F (e) = maC i

1 刚体平

动 惯性力系向质心简化. 惯性力系向质心简化. d 由 MIC = LC = 0 dt 只简化为一个力

FIR = maC2 刚体定轴转动 大小为: 大小为

MIx = ∑Mx (FIi ) = ∑Mx FIii + ∑Mx FIin

FIit = mi ait = mi riα FIin = mi ain = mi riω2

( )

( )

= ∑mi riα cosθi zi + ∑(mi riω2 sin θi zi )

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由 有

xi yi cos θi = , sin θi = ri riMI x =α∑mi x i z iω ∑mi y i z i2

记 Jyz =

∑m

i

y i z i, Jx z = ∑m i x i z i

轴的惯性积. 为对于 z 轴的惯性积.

MIx = Jxzα J yzω同理 MIy = J yzα + Jxzω2

2

M Iz= ∑Mz FIti + ∑Mz FIn i

( )

( )

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Mz FIin = 0, 有 因 ∑ MIz = ∑Mz F t = ∑ m rαr = ∑m r2 α Ii i i i i i

( )

( )

(

)

MIO = MIxi + MIy j + Mizk 如果刚体有质量对称面且该面与转动轴垂直, 如果刚体有质量对称面且该面与转动轴垂直 简化中心取此平面与转轴的交点, 简化中心取此平面与转轴的交点,则

= Jzα

Jxz = ∑mi xi zi = 0, J yz = ∑mi yi zi = 0有 M = M = J α IO Iz z 3 刚体作平面运动 平行于质量对称面) (平行于质量对称面)

MIc = JCα FIR = maC

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如图所示均质杆的质量为m,长为l, 例12-4 如图所示均质杆的质量为 ,长为 , 绕定轴O转动的角速度为 绕定轴 转动的角速度为 ω,角加速度为α . 求:惯性力系向点O简化的结果 方向在图上画出). (方向在图上画出).

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解: F t = m l α IO

2

l 2 F =m ω 2n IO

1 2 MIO = ml α 3

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例12-5如图所示,电动机定子及其外壳总质量为 如图所示, 如图所示 m1,质心位于 处.转子的质量为 2,质心位于C处, 质心位于O处 转子的质量为m 图示平面为转子的质量对称面. 偏心矩OC=e,图示平面为转子的质量对称面.电动 图示平面为转子的质量对称面 机用地角螺钉固定于水平基础上, 机用地角螺钉固定于水平基础上,转O与水平基础间 与水平基础间 的距离为h.运动开始时, 位于最低位置, 的距离为 .运动开始时,转子质心C位于最低位置, 转动. 转子以匀角速度 转动.

ω

求:基础与地角螺钉给电动机总的约束力. 基础与地角螺钉给电动机总的约束力.