2012中考数学压轴题及答案40例（1）

1.如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式.

（2）已知AD = AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；

（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 （注：抛物线y ax2 bx c的对称轴为x

b2a

）

解：设抛物线的解析式为y ax2 bx c(a 0)，

1 a 9a 3b 4 0 3

依题意得：c=4且 解得

16a 4b 4 01 b

3

所以 所求的抛物线的解析式为y

13

x

2

13

x 4

（2）连接DQ，在Rt△AOB

中，AB

5

所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2 因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB 因为AD=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB 所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB，所以△CDQ∽ △CAB

DQAB

CDCA

即

DQ5

27

,DQ

107

所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –

257

107

=

257

，t

257

1

257

所以t的值是

（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小 理由：因为抛物线的对称轴为x 直线x

12

b2a12

12

所以A（- 3，0），C（4，0）两点关于

对称连接AQ交直线x 于点M，则MQ+MC的值最小过点Q作QE⊥x

10

轴，于E，所以∠QED=∠BOA=90 DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE， △DQE ∽△ABO

QEBO

DQ

DEAO

OD + DE=2+=

7

AB

620

7

即

QE420

7

75

87

DE3

所以QE=

87

，DE=，所以OE =

7

6

，所以Q（，）

8

k 41

24 m 41

8 20

k m

设直线AQ的解析式为y kx m(k 0)则 77 由此得

3k m 0

1 x 824 2

x 所以直线AQ的解析式为y 联立 4141 y 8x 24

4141

1

x

由此得 2

y 8x 24 4141

所以M(

12

,

2841

)则：在对称轴上存在点M(

12

,

2841

)，使MQ+MC

的值最小。

2.如图9，在平面直角坐标系中，二次函数y ax2 bx c(a 0)的图象的顶点为D点，

与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），

OB＝OC ，tan∠ACO＝．

31

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，

使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积

.

（1）由已知得：C（0，－3），A（－1，0） …1分

a b c 0

将A、B、C三点的坐标代入得 9a 3b c 0 ……………………2分

c 3

a 1

解得： b 2 ……………………3

c 3

分

所以这个二次函数的表达式为：y x2 2x 3 ……………………3分 （2）存在，F点的坐标为（2，－3） ……………………4分 理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：y x 3

∴E点的坐标为（－3，0） ……………………4分

由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF ∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F，坐标为（2，－3） ……………………5分

（3）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，

易得G（2，－3），直线AG为y x 1．……………8分

设P（x，x2 2x 3），则Q（x，－x－1），PQ x2 x 2．

S APG S APQ S GPQ

12

( x x 2) 3 ……………………9

2

分

当x

12

时，△APG的面积最大

1 2

15

，S APG的最大值为4

278

此时P点的坐标为 分

,

． ……………………10

3.如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。

⑴求抛物线的解析式；

⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;

⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。

⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3），

∴设抛物线解析式为y ax2 bx 3(a 0)………1分

a b 3 0, a 1,

根据题意，得 ，解得

9a 3b 3 0,b 2.

∴抛物线的解析式为y x2 2x 3………………………………………2分 ⑵存在。…………………………………………………………………………3分 由y x2 2x 3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1。…………4分 ①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理，

得x2 (3 y)2 (x 1)2 (4 y)2，即y＝4－x。…………………………5分 又P点(x,y)在抛物线上，∴4 x x2 2x 3，即x2 3x 1 0…………6分 解得x

3 25

，

3 25

5

1，应舍去。∴x

3 2

5

。……………………7分

∴y 4 x

5 2

，即点P坐标为

3 55 5

。……………………8分 ,

22

②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点

C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3）。 ∴符合条件的点P坐标为

3 55 5

或（2，3）。……………………9分 ,

22

⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理,

得CB＝32,CD＝2,BD＝25,………………………………………………10分 ∴CB2 CD

2

BD

2

20,

∴∠BCD＝90°,………………………………………………………………………11分 设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中， ∵CF＝DF＝1, ∴∠CDF＝45°,

由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为（2，3）， ∴DM∥BC,

∴四边形BCDM为直角梯形, ………………12分 由∠BCD＝90°及题意可知，

以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况; 以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。 综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）。……………13分

4.已知：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．

（1）求A、B、C三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式； （3）求△ABC的面积；

（4）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（5）在（4）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8

∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC ∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）

又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）

∴A、B、C三点的坐标分别是A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8） （2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上

∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式y＝ax2＋bx＋8，得

0＝36a－6b＋8 解得 0＝4a＋2b＋8

2a＝－ 38b＝－ 3

28

∴所求抛物线的表达式为y＝－2－＋8

33（3）∵AB＝8，OC＝8

1

∴S△ABC ＝8×8=32

2

（4）依题意，AE＝m，则BE＝8－m， ∵OA＝6，OC＝8， ∴AC＝10 ∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC ∴

EFBEEF8－m40－5m 即 ∴EF＝ACAB1084

4过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝

5

FG4440－5m＝ ∴FG＝＝8－m EF554

11∴S＝S△BCE－S△BFE8－m）×8－8－m）（8－m）

22111

＝（8－m）（8－8＋m（8－m）mm2＋4m 222自变量m的取值范围是0＜m＜8 （5）存在． 理由：

111∵S＝－2＋4m＝－m－4）2＋8 0，

222∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8 ∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0） ∴△BCE为等腰三角形．

5.已知抛物线y ax2 2ax b与x轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C．

⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； ⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；

⑶坐标平面内是否存在点M，使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：⑴对称轴是直线：x 1，点B的坐标是(3,0)． ……2分 说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分．

⑵如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0)， ∴AB＝4．∴PC

12AB

12

4 2．

在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，

∴OC

PC

2

PO

2

2 1

22

．

∴b＝3． ………………………………3分 当x 1，y 0时， a 2a 3 0， ∴a

33

． ………………………………4分

∴y

33x

2

233

x

3． …………5分

⑶存在．……………………………6分

理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为M(x,y)．

①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM＝AB． 由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，y OC

3．

∴x＝±4．∴点M的坐标为M(4,3)或( 4,3)．…9分

说明：少求一个点的坐标扣1分． ②当以AB为对角线时，点M在x轴下方． 过M作MN⊥AB于N，则∠MNB＝∠AOC＝90°． ∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC＝MB，且AC∥MB．

∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO

． ∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．

∴点M

的坐标为M(2,． ……………………………12分

说明：求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，

然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分．

综上所述，坐标平面内存在点M，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平

行四边形．其坐标为M1M2( M3(2,．

2012中考数学压轴题及答案40例（2）

5.如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数y

14

x在第一象限内的图象上的任一点，

2

点A的坐标为(0，直线l过B(0，过P作y轴的平行线分别交x轴，1)， 1)且与x轴平行，

l于C，Q，连结AQ交x轴于H，直线PH交y轴于R． （1）求证：H点为线段AQ的中点； （2）求证：①四边形APQR为平行四边形；

②平行四边形APQR为菱形；

（3）除P点外，直线PH与抛物线y

14

x有无其它公共点？并说明理由．

2

（08江苏镇江28题解析）（1）法一：由题可知AO CQ 1．

AOH QCH 90， AHO QHC，

·······················································································（1分） △AOH≌△QCH． ·

OH CH，即H为AQ的中点． ···································································（2分）

法二： A(0，·······················································（1分） 1)，B(0， 1)， OA OB． ·又BQ∥x轴， HA HQ． ·············································································（2分）

（2）①由（1）可知AH QH， AHR QHP，

AR∥PQ， RAH PQH，

························································································（3分） △RAH≌△PQH． ·

AR PQ，

又AR∥PQ， 四边形APQR为平行四边形． ·················································（4分）

2

②设P mm2 ， PQ∥y轴，则Q(m， 1)，则PQ 1 m．

44

1

1

过P作PG y轴，垂足为G，在Rt△APG中，

AP

12 m 1 PQ． 4············································································（6分） 平行四边形APQR为菱形． ·

（3）设直线PR为y kx b，由OH CH，得H

m

12 ，2 ，P mm 代入得：

4 2

m m

k b 0，k ， m12 2 2

y x m． · 直线为······················（7分） PR

24 km b 1m2. b 1m2.

4 4

设直线PR与抛物线的公共点为 xx2 ，代入直线PR关系式得：

4

14

2

1

x

m2

x

14

m 0，

2

1

1 2

(x m) 0，解得x m．得公共点为 mm2 ． 44 14

x只有一个公共点P．··········································（8分）

2

所以直线PH与抛物线y

6.如图13，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴交于点C，

直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E. （1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB=CE ；② D是BE的中点；

（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

（1）∵ 点B(-2,m)在直线y=-2x-1上，

∴ m=-2×(-2)-1=3. ………………………………（2分） ∴ B(-2,3)

∵ 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2， ∴ 点A的坐标为(4,0) .

设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4). ……………………（3分） 将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴ ∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为y

14

a

14

.

14

2

x(x 4)，即y

x x

. （6分）

（2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5). 过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线

则BG⊥直线x=2，BG=4.

在Rt△BGC中，BC=CG2 BG2 5.

∵ CE=5，

∴ CB=CE=5. ……………………（9分） ②过点E作EH∥x轴，交y轴于H， 则点H的坐标为H(0,-5).

又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)， ∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD ∴ △DFB≌△DHE （SAS），

∴ BD=DE.

即D是BE的中点. ………………………………（11分）

（3） 存在. ………………………………（12分） 由于PB=PE，∴ 点P在直线CD上，

∴ 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.

设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b. 将D(0,-1) C(2,0)代入，得

b 1

2k b 0

. 解得

k

12

,

b 1.

∴ 直线CD对应的函数关系式为y=x-1.

2

1

∵ 动点P的坐标为(x，1

4

x x

2

)，

∴

12

x-1=1

4

x x

2

. ………………………………（13分）

. ∴ y1 1 5，y1 1 5.

2

2

解得

x1 3

5

，x2

3 5

∴ 符合条件的点P的坐标为(3

5

1 5)或(3

2

，1 5).…（14分）

2

(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)

7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=－0）、 C（x2，0）三点，且x2-x1=5． （1）求b、c的值；（4分）

（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对 角线的菱形；（3分）

（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）

23

x

2

+bx+c经过A（0，－4）、B（x1，

解： （解析）解：（1）解法一： ∵抛物线y=－

23

x

2

+bx+c经过点A（0，－4），

∴c=－4 ……1分

又由题意可知，x1、x2是方程－∴x1+x2=

32

23

x

2

+bx+c=0的两个根，

b， x

1

x

=－2

32

c=6·································································· 2分

由已知得（x2-x1）2=25 又（x2-x∴

94

）2=（x2+x1）2－4x1

1

x

2

=

94

b

2

－24

b

2

－24=25

143

解得b=±

143

········································································································· 3分

当b=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去．

143

∴b=－

． ········································································································ 4分

解法二：∵x1、x2是方程－

23

x

2

+bx+c=0的两个根，

即方程2x2－3bx+12=0的两个根． ∴x=

3b

9b4

2

96

，·········································································· 2分

∴x2－x

=1

143

9b

2

96

2

=5，

解得 b=± ····························································································· 3分

（以下与解法一相同．）

（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线

的对称轴上， ···························································································· 5分 又∵y=－

23

x

2

－

143

x－4=－

72

256

23

（x+

72

）2+

256

······························ 6分

∴抛物线的顶点（－

，）即为所求的点D． ·································· 7分

（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（－6，0），

根据菱形的性质，点P必是直线x=-3与 抛物线y=－

23

x

2

-

143

x-4的交点， ························································· 8分

23

143

∴当x=－3时，y=－×（－3）2－×（－3）－4=4，

∴在抛物线上存在一点P（－3，4），使得四边形BPOH为菱形． ·········· 9分 四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上． ·········································· 10分

8.已知：如图14，抛物线y 交于点B，点C，直线y

3434

x 3与x轴交于点A，点B，与直线y

2

34

x b相

x b与y轴交于点E．

（1）写出直线BC的解析式． （2）求△ABC的面积．

（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A，B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？

（解析）解：（1）在y

34

34

x 3中，令y 0

2

x 3 0 x1 2，x2 2

2

············································· 1分 A( 2，0)，B(2，0) ·又 点B在y

32

3432

x b上

0 bb

34

32

BC的解析式为y

x

············································································ 2分

32

y x 3 x1 1 x2 2 4

（2）由 ，得 ·················································· 4分 9

y2 0 y1 y 3x 3

4

42

9

C 14

0) ，B(2，

9494

AB 4，CD ······························································································ 5分

92

S△ABC

12

4

························································································ 6分

（3）过点N作NP MB于点P

EO MB