计算方法期末复习

考试范围 课堂中重点讲述内容 课堂例题 作业习题

第一章 绪论 关于有效数字的位数问题定义 若近似值x 的误差限是某一数位的半个单位，该位到 x 的第一位非零数字共有n位，则 称x 有n 位有效数字

例

3.1415926535897932 ;

* 3.1415问： *有几位有效数字？请证明你的结论。证明：

π* 0.31415 101 ,

| π * π | 0.0000926...... 0.0005 0.5*10 3 0. 5 101 4

* 有4 位有效数字，精确到小数点后第 3 位。类似题目： 作业中习题一的一、二 题。

第二章 插值与拟合 拉格朗日插值– N次拉格朗日插值多项式公式 – 余项

牛顿插值 Hermit 插值 二次曲线拟合

一、 n次拉格朗日插值

已知: f(xi)=yi (i=0,1,…,n)n 求 n 次插值多项式 Ln ( x) a0 a1x an x 使得

L n ( x i ) yi ,

i 0, ... , n

结论:

n次拉格朗日插值多项式

Ln ( x ) lk(x )

lk 0

n

lk ( x ) j 0 j k

n

(x xj ) ( xk x j )

k

( x) yk

(x x 0 ) (x x k 1 ) (x x k 1 ) (x x n ) (x k x 0 ) (x k x k 1 ) (x k x k 1 ) (x k x n )

n次拉格朗日插值基函数

k = 0, 1 , , n .

Lagrange插值余项定理设节点 a x0 x1 xn b , f(x) 在 [a,b] 上具有 n+1阶导数，Ln(x)是其n次Lagrange插值多项式，使得 则对 x [a, b], 存在 (a, b),f ( n 1) ( ) Rn ( x) f ( x) Ln ( x) n 1 ( x), (a, b) (n 1)!

其中

n 1 ( x ) ( x xi )i 0

n

例1:已知 插值法计算

100 10,

121 11,

144 12

115

,并估计误差。

解 利用三点二次Lagrange插值.记f ( x) x , x0 100, x1 121, x2 144, y0 10, y1 11, y2 12

则f(x)的二次Lagrange插值多项式为

L2 ( x) y0

( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x x1 )( x x2 ) y1 y2 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )

f (115) 155 L2 (115) (115 121)(115 144) (115 100)(115 144) 10 11 (100 121)(100 144) (121 100)(121 144)

(115 100)(115 121) 12 10.722 756 (144 100)(144 121)

误差估计1 ( 3) R2 ( x) f ( )(x x0 )(x x1 )(x x2 ) 6 1 5 R2 ( x) x 2 ( x 100)(x 121)(x 144) 16 1 R2 (115) (115 100)(115 121)(115 144) 10 5 0.00163125 16

3 2 ∵ f ( x) x 8

5

二、 牛顿插值多项式差商的计算-差商表xi f ( xi ) 一阶差商 二阶差商 x0 f ( x0 ) x1 f ( x1 )三阶差商 四阶差商

f [ x0 , x1 ]

x 2 f ( x2 ) f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x3 f ( x3 ) x 4 f ( x4 )

f [ x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x , x , x , x ] 0 1 2 3 f [ x3 , x

4 ] f [ x2 , x3 , x4 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 ] f [ x0 , x1, x2 , x3 , x4 ]

f ( x) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ](x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ](x x0 )(x x1 ) ... f [ x0 , x1 ,...xn ](x x0 )(x x1 )...(x xn 1 ) f [ x, x0 , x1 ,...xn ](x x0 )(x x1 )...(x xn 1 )(x xn ) N n ( x ) En ( x )

例 已知x=0, 2, 3, 5对应的函数值为y=1, 3, 2, 5,作三次 Newton插值多项式.如再增加x=6时的函数数值为6,作四 次Newton插值多项式. 解 首先构造差商表xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 三次Newton插值多项式为 三阶差商

3/10

2 3 N3 ( x) 1 x x( x 2) x( x 2)( x 3) 3 10

增加x4=6,f(x4)=6作差商表 xi f(xi) 一阶差商 二阶差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 6 6 1 -1/6 四次Newton插值多项为

三阶差商

四阶差商

3/10 -1/4

-11/120

2 3 11 N4 ( x) 1 x x( x 2) x( x 2)( x 3) x( x 2)( x 3)( x 5) 3 10 120

三、 Hermit插值已知：

x x 0 x1 y y 0 y1 y y0 y1

构造一个次数 3的多项式H3(x) ,满足插值条件：

H3 ( xi ) yi , H3 ( xi ) yi i 0,1(*)

两点三次Hermit插值已知：

x x 0 x1 y y 0 y1 y y0 y1

构造一个次数 3的多项式H3(x) ,满足插值条件：

H3 ( xi ) yi , H3 ( xi ) yi i 0,1(*)