拉伸法测弹性模量

时间：2025-03-11

拉伸法测弹性模量

§2.2 拉伸法测弹性模量

实验目的：

1.测钢的弹性模量，并验证虎克定律。

2.掌握用光杠杆测微小长度变化的原理和方法。 3.学会用逐差法处理数据。 4.学习不确定度分析的应用。

实验原理：

一、固体材料的弹性模量

弹性模量(Modulus of elasticity)是描述固体材料抵抗形变能力的重要物理量，是选定机械构件的依据之一，是工程技术中常用的参数。

由胡克定律，在弹性限度内，弹簧的弹力F的大小和弹簧伸长(缩短)的长度X成正比，即

F kX (2.2.1)

式中常数k称为劲度系数，它不仅与物体的材料有关，还和物体的几何形状有关，它是具体物体的一个常数。

事实上，虎克定律不仅适用于弹簧体，一般固体受拉(压)伸长(缩短)产生的弹力都遵从(2.2.1)式所表示的关系。为了不使物体的几何形状对材料弹性的研究产生影响，我们取棒状物体作为样品，折算成单位长度和单位横截面积来确定表征材料弹性的系数。

设长为L、横截面积为A的一个棒状物体，两端受拉力F后，伸长量为X，则比值F/A是单位横截面上的作用力叫做应力，它决定了物体的形变；比值X/L是单位长度的伸长，叫做应变，它表示物体形变的大小。这时虎克定律可表达为：

F/AX/L

(2.2.2)

式中常数Y称为弹性模量，也叫杨氏模量，它只决定于构成物体的材料的性质，不再与几何形状有关。弹性模量Y的国际单位制单位名称是帕〔斯卡〕，单位符号是Pa，1Pa=1N/m2。

二、弹性模量的测定

本实验要测定钢的弹性模量，由(2.2.2)式知，需要进行力和长度两方面的测量。由于物理实验室不能提供很大的力，所以取一段粗细均匀的钢丝作为待测样品。把钢丝的上端固定，下端加砝码，使之受拉力作用而伸长。则(2.2.2)式中弹力F等于砝码所受的重力，即

F mg (2.2.3) 钢丝的截面积A，通过测量钢丝的直径d可得到

(2.2.4)

钢丝长L可用米尺测出。

上述量弹力F、横截面积A和钢丝长L都可用一般方法测出，但是微小长度X很小，约1mm左右，要用我们迄今了解的测长仪器如千分尺测量，在技术上还难以实现。为此，本实验采用了光杠杆放大的原理，进行间接测量，得测X的公式如下：

拉伸法测弹性模量

Rn2D

(2.2.5)

式中的R、n、D分别用卡尺和米尺测出。这样，把测X转化为可用一般方法测量的量。解决了测量上的难题。把(2.2.3)、(2.2.4)、(2.2.5)式代入(2.2.2)式，则得本实验的数学模型为

8mgLD

dRn

(2.2.6)

式中D、R、n的意义在下面介绍。

三、光杠杆测微小伸长的原理

图2.2.1(a)是不等臂杠杆绕支点O转动的情况，当两端点分别产生位移AA′= X，BB′= n 时，若OB＞＞OA，n便是X的放大结果，其放大倍数为

OB(长臂)OA(短臂)

光杠杆是以一段光线为长臂的放大系统。由T型支架平面镜(也称为光杠杆)、望远镜及标尺而组成。T型支架的落地点，是脚T3和T1T2边。T3与T1T2边距离为R，是光杠杆的短臂，长短可调，望远镜和标尺安装在同一支架上。

在测量微小伸长时，如图2.2.1(c)所示，将T型支架平面镜的T1T2边放入平台的沟槽内，T3脚被放在待测钢丝的下端能随长度改变的夹具上。观察用的望远镜和标尺被放在距离平面镜架为D处。调整好的光杠杆装置，应该从望远镜中能看清楚由光杠杆平面镜反射的标尺的像，并由望远镜叉丝得到标尺的读数。

设钢丝在未加砝码时，平面镜架如图2.2.1(c)虚线位置，此时在望远镜中测量准线处的标尺读数为n0；当加砝码后，钢丝长度L发生X改变时，T3脚也随之变动，并以T1T2边为轴转过角，如图2.2.1(c)实线位置，因而使平面镜的法线转过角，则平面镜的入射光线与反射光线之间的夹角为2 角，此时在望远镜中准线处的标尺读数变成为n1。令n n1 n0，根据三角关系有 sin

和 tg2

，

由于钢丝的伸长很小，R＞＞X，角也是一个微小量，近似地有

sin

， tg2

Rn2D

2 ，

由此可得 X ，

式中n是标尺读数的改变量，D是标尺到平面镜架支轴T1T2边的距离，可由卷尺测出，R是光杠杆的长度，可由米尺测出。这样就把不易测量的微小伸长量X转换成了用一般方法可测量的量，而且把微小伸长X放大为n。定义光杠杆的放大倍数为

nX 2DR

。

在一般实验中，R为4～8厘米，D为1～2米，放大倍数可达到25～100倍。与图1.2.1(a)的杠杆相比，光杠杆的长臂是入射光与反射光的全程2D，短臂是R。