拉伸法测弹性模量

§2.2 拉伸法测弹性模量

实验目的：

1.测钢的弹性模量，并验证虎克定律。

2.掌握用光杠杆测微小长度变化的原理和方法。 3.学会用逐差法处理数据。 4.学习不确定度分析的应用。

实验原理：

一、固体材料的弹性模量

弹性模量(Modulus of elasticity)是描述固体材料抵抗形变能力的重要物理量，是选定机械构件的依据之一，是工程技术中常用的参数。

由胡克定律，在弹性限度内，弹簧的弹力F的大小和弹簧伸长(缩短)的长度X成正比，即

F kX (2.2.1)

式中常数k称为劲度系数，它不仅与物体的材料有关，还和物体的几何形状有关，它是具体物体的一个常数。

事实上，虎克定律不仅适用于弹簧体，一般固体受拉(压)伸长(缩短)产生的弹力都遵从(2.2.1)式所表示的关系。为了不使物体的几何形状对材料弹性的研究产生影响，我们取棒状物体作为样品，折算成单位长度和单位横截面积来确定表征材料弹性的系数。

设长为L、横截面积为A的一个棒状物体，两端受拉力F后，伸长量为X，则比值F/A是单位横截面上的作用力叫做应力，它决定了物体的形变；比值X/L是单位长度的伸长，叫做应变，它表示物体形变的大小。这时虎克定律可表达为：

Y

F/AX/L

(2.2.2)

式中常数Y称为弹性模量，也叫杨氏模量，它只决定于构成物体的材料的性质，不再与几何形状有关。弹性模量Y的国际单位制单位名称是帕〔斯卡〕，单位符号是Pa，1Pa=1N/m2。

二、弹性模量的测定

本实验要测定钢的弹性模量，由(2.2.2)式知，需要进行力和长度两方面的测量。由于物理实验室不能提供很大的力，所以取一段粗细均匀的钢丝作为待测样品。把钢丝的上端固定，下端加砝码，使之受拉力作用而伸长。则(2.2.2)式中弹力F等于砝码所受的重力，即

F mg (2.2.3) 钢丝的截面积A，通过测量钢丝的直径d可得到

A

d4

2

(2.2.4)

钢丝长L可用米尺测出。

上述量弹力F、横截面积A和钢丝长L都可用一般方法测出，但是微小长度X很小，约1mm左右，要用我们迄今了解的测长仪器如千分尺测量，在技术上还难以实现。为此，本实验采用了光杠杆放大的原理，进行间接测量，得测X的公式如下：

1

拉伸法测弹性模量

X

Rn2D

(2.2.5)

式中的R、n、D分别用卡尺和米尺测出。这样，把测X转化为可用一般方法测量的量。解决了测量上的难题。把(2.2.3)、(2.2.4)、(2.2.5)式代入(2.2.2)式，则得本实验的数学模型为

Y

8mgLD

dRn

2

(2.2.6)

式中D、R、n的意义在下面介绍。

三、光杠杆测微小伸长的原理

图2.2.1(a)是不等臂杠杆绕支点O转动的情况，当两端点分别产生位移AA′= X，BB′= n 时，若OB＞＞OA，n便是X的放大结果，其放大倍数为

nX

OB(长臂)OA(短臂)

光杠杆是以一段光线为长臂的放大系统。由T型支架平面镜(也称为光杠杆)、望远镜及标尺而组成。T型支架的落地点，是脚T3和T1T2边。T3与T1T2边距离为R，是光杠杆的短臂，长短可调，望远镜和标尺安装在同一支架上。

在测量微小伸长时，如图2.2.1(c)所示，将T型支架平面镜的T1T2边放入平台的沟槽内，T3脚被放在待测钢丝的下端能随长度改变的夹具上。观察用的望远镜和标尺被放在距离平面镜架为D处。调整好的光杠杆装置，应该从望远镜中能看清楚由光杠杆平面镜反射的标尺的像，并由望远镜叉丝得到标尺的读数。

设钢丝在未加砝码时，平面镜架如图2.2.1(c)虚线位置，此时在望远镜中测量准线处的标尺读数为n0；当加砝码后，钢丝长度L发生X改变时，T3脚也随之变动，并以T1T2边为轴转过 角，如图2.2.1(c)实线位置，因而使平面镜的法线转过 角，则平面镜的入射光线与反射光线之间的夹角为2 角，此时在望远镜中准线处的标尺读数变成为n1。令n n1 n0，根据三角关系有 sin

XR

和 tg2

nD

，

由于钢丝的伸长很小，R＞＞X， 角也是一个微小量，近似地有

sin

XR

， tg2

Rn2D

nD

2 ，

由此可得 X ，

式中n是标尺读数的改变量，D是标尺到平面镜架支轴T1T2边的距离，可由卷尺测出，R是光杠杆的长度，可由米尺测出。这样就把不易测量的微小伸长量X转换成了用一般方法可测量的量，而且把微小伸长X放大为n。定义光杠杆的放大倍数为

nX 2DR

。

在一般实验中，R为4～8厘米，D为1～2米，放大倍数可达到25～100倍。与图1.2.1(a)的杠杆相比，光杠杆的长臂是入射光与反射光的全程2D，短臂是R。

2

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(a)不等臂杠杆

(b)T型架平面镜

(c)光杠杆装置

图2.2.1 光杠杆放大原理

拉伸法测弹性模量

实验仪器

一、仪器

弹性模量测定仪，砝码(0.5kg×9个)，光杠杆装置(光杠杆、望远镜、标尺)，千分尺（用法见§2.1节实验仪器介绍），卷尺，米尺。

二、仪器安装和调整

1. 如图2.2.2所示，将光杠杆镜架的T1T2边放在平台的沟槽内，调节R长短使脚T3架在夹钢丝的圆柱夹具上面，使望远镜与标尺刻线向着光杠杆镜面。

2.粗调光杠杆系统。用眼睛观察调整光杠杆平面镜镜面竖直和标尺竖直，调整望远镜水平且与镜面中心等高，沿着望远镜筒的上方(有缺口和准星)能在镜中看到标尺的反射像。

3.细调光杠杆系统。主要是调试望远镜，望远镜的光路如图2.2.3。物理实验使用的望远镜和显微镜一般都具有测量的功能，所以它们除了目镜、物镜之外，还有叉丝这一组成部分。望远镜的调节方法如下：

（1）调节目镜。旋转目镜筒，改变目镜和叉丝之间的距离，使在视场中见到清晰的叉丝。由于各人的视力不同，所以要适应实验者的视力，另外叉丝是测量的准线，使用前要调清晰。

（2）调焦。旋转望远镜筒中部侧面的调焦钮，改变叉丝所在平面与物镜之间的距离(像距)，使由目镜观察到的标尺像清晰，并旋转目镜筒，使横叉丝与标尺刻线平行，作为读数时的准线。

（3）视差的消除。经调焦后，叉丝和标尺像都已看清晰，但在目镜前有一小段距离，只要叉丝和物像都在这一段距离内，人眼都能看清晰，然而叉丝与物像并不一定重合，如图2.2.4(a)所示，如果二者有 距离的差别，就造成了视差。如图2.2.4(b)，当眼睛在目镜前与准线垂直的方向来回移动时，就产生了叉丝和物像之间有相对位置的变化，这种现象就是视差。消除的办法就是继续细心地调焦，直至这一现象消失，如图2.2.4(c)所示，叉丝K和物像B处于同一平面。

图2.2.4 视差与消除图

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拉伸法测弹性模量

实验内容

一、用拉伸法测钢的弹性模量

1.用千分尺测量钢丝直径d，在不同位置处测5次，数据填入表2.2.2。 千分尺零值偏移ε仪=

2.放光杠杆镜架于弹性模量测定仪的平台和圆柱夹具上，细调望远镜，读出望远镜准线

并记录在表2.2.3。 在标尺上的初始位置n0

3.在砝码盘上逐次给钢丝增加0.5kg砝码，同时从望远镜中读记钢丝伸长后在标尺上对应的读数ni 记入表2.2.3，并观察ni 是否呈线性变化。砝码加到4.5kg为止(i=1、2、3、…9)，然后每次减去1个砝码，在表2.2.3中记录相应的读数，直到所加的9个砝码全部减去为

止。

4.用卷尺测量钢丝长L；取下光杠杆，用卷尺测出平台沟槽到标尺的距离D；卸下钢尺测量光杠杆短臂R。测R时，可用脚T3和底边T1T2在铺平的纸上压出记印，量出T3到T1T2的距离作为R的测量值。L、D、R只测1次，数据填入表2.2.4。

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拉伸法测弹性模量

二、数据处理

1.按多次测量求出d，并估算d的不确定度。

2.按逐差法求出，并估算的不确定度。表2.2.3第七列是逐差法对数据的处理，相当于用2.5kg砝码在相同条件下，重复测量了5次所得的测量值。逐差法是先将数据组i按自变量等量增加的次序排列后（如表2.2.3第6列i=0～9），分为前后相等的两组（即分为i=0～4和i=5～9两组），然后用前后两组对应序号的测量值求差，即表2.2.3中第七列ni 5 ni。这种处理方法，充分利用了每一个测量数据，可视为是在2.5kg砝码作用下，对钢丝伸长量做的5次重复测量。故求出5次逐差数后，按处理多次测量数据的方法，求最佳值等来处理即可。

3.把已知有关数据代入(2.2.6)式求出钢丝的弹性模量。把有关数据代入(2.2.7)式求出u(Y)/Y和u(Y)，表示实验结果。

4.用表2.2.3第二列和第六列的数据，以m为纵轴，n为横轴，作图线以验证虎克定律。

注意事项

用逐差法处理数据时应注意

1.测量关系式应属y a bx线性函数形式；

2.自变量x视为准确量(相对于y)，且为等间隔变化。

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