教学过程

一、复习预习

教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容

二、知识讲解

考点/易错点1 函数的单调性 (1)单调函数的定义

若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间． 考点/易错点2 函 数的最值

三、例题精析

【例题1】

2

y log(x 3x 2)的单调区间； 0.7 【题干】（1）求函数

22

f(x) 8 2x x,g(x) f(2 x)试确定g(x)的单调区间和单调性．（2）已知若

【解析】（1）单调增区间为：(2, ),单调减区间为( ,1)，

222

g(x) 8 2(2 x) (2 x) x4 2x2 8， （2）

g (x) 4x3 4x，

令 g (x) 0，得x 1或0 x 1， 令 g (x) 0，x 1或 1 x 0

∴单调增区间为( , 1),(0,1)；单调减区间为(1, ),( 1,0)． 【例题2】

a

f(x) log9(x 8 )

x在[1, )上是增函数，求a的取值范围． 【题干】函数

a

f(x) log9(x 8 )

x在[1, )上是增函数， 【解析】∵函数

∴对任意的1 x1 x2,有f(x1) f(x2)，

log9(x1 8

aa) log9(x2 8 )x1x2，得

即

x1 8

aaa x2 8 (x1 x2)(1 ) 0x1x2，即x1x2

，

1

aa 0, 1,x1x2

x1x2 a x1x2，

∵x1 x2 0，∴

∵x2 x1 1，∴要使a x1x2恒成立，只要a 1；

a

f(x) log9(x 8 )

x在[1, )上是增函数，∴1 8 a 0， 又∵函数

即a 9，综上a的取值范围为[ 1,9)． 另解：（用导数求解） 令

g(x) x 8

aaf(x) log9(x 8 )

x，函数x在[1, )上是增函数， aa

g (x) 1 2

x在[1, )上是增函数，x， 1

a

0x2在[1, )上恒成立，得 1 a 9．

∴

g(x) x 8

∴1 8 a 0，且【例题3】

【题干】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0

2

时，f(x)＜0，f(1)＝－3.

(1)求证：f(x)在R上是减函数；

(2)求f (x)在[－3,3]上的最大值和最小值．

【解析】(1)证明 法一 ∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有

f(x)＋f(y)＝f(x＋y)， ∴令x＝y＝0，得f(0)＝0. 再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)． 在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，

f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)． 又∵x＞0时，f(x)＜0，

而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． 因此f(x)在R上是减函数． 法二 设x1＞x2，

则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2) ＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)． 又∵x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0， ∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， ∴f(x)在R上为减函数． (2)∵f(x)在R上是减函数， ∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，

∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)． 而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2. ∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.

四、课堂运用

【基础】

1．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( )．

A．(－1,1) C．(－∞，－1)

B．(－1，＋∞) D．(－∞，＋∞)

解析 法一 由x∈R，f(－1)＝2，f′(x)＞2，可设f(x)＝4x＋6，则由4x＋6＞2x＋4，得x＞－1，选B.

法二 设g(x)＝f(x)－2x－4，则g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，g′(x)＝f′(x)－2＞0，g(x)在R上为增函数．

由g(x)＞0，即g(x)＞g(－1)． ∴x＞－1，选B. 答案 B

12．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f(2x－1)＜f 的x的取值范

3

围是( )．

12 A. ， 33 12 C. ， 23

112 1 ＜f |2x－1|＜x.故选A. 333 3

答案 A

12B.

33 12D. 23

解析 f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，又f(x)在[0，＋∞)上递增，∴f(2x－1)

3．函数f(x)＝ln(4＋3x－x)的单调递减区间是( ) 3

A．(－∞，23

C．(－1，2

2

2

3

B．，＋∞)

23

D．，4)

2

2

解析： 由4＋3x－x>0得，函数f(x)的定义域是(－1，4)，u(x)＝－x＋3x＋4＝－322533

(x－)＋的减区间为[4)，∵e>1，∴函数f(x)的单调减区间为4)．

2422

答案： D

[点评] 可用筛选法求解，显然x＝±100时，f(x)无意义，排除A、B；f(0)＝ln4，

f(1)＝ln6，f(0)<f(1)，排除C，故选D.

【巩固】

1.已知偶函数y＝f(x)对任意实数x都有f(x＋1)＝－f(x)，且在[0,1]上单调递减，则( )

7 7 7 A．f <f <f

2 3 5 7 7 7 B．f <f <f 5 2 3 7 7 7 C．f <f <f 3 2 5 7 7 7 D．f <f <f 5 3 2

解析：由条件知f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)， ∴f(x)是周期为2的周期函数，∵f(x)为偶函数，

7 7 1 1∴f ＝f 4 ＝f －＝f ， 2 2 2 2

f ＝f 2 ＝f， 333

7 7

1

f ＝f 2 ＝f －＝f ， 5 5 5 5

7 7

3 3

1 1 3 ∵f(x)在[0,1]上单调递减，∴f >f >f ， 3 2 5 7 7 7 ∴f >f>f . 3 2 5

答案：B

2．如果函数f(x)＝ax＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________．

解析：(1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增；

1

(2)当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为直线x＝－f(x)在(－∞，4)上单调

2

a

11

递增，所以a<0，且－≤a<0.

a4

1

答案：[－0]

4

3．已知函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y＝2某两个交点的横坐标分别为x1、x2，若|x2－x1|的最小值为π，则该函数的增区间为________．