本文档介绍了线性方程组的最速下降法与共轭梯度法的原理和方法,并编程实现最速下降法与共轭梯度法等方法求解非线性方程组。

西京学院数学软件实验任务书

本文档介绍了线性方程组的最速下降法与共轭梯度法的原理和方法,并编程实现最速下降法与共轭梯度法等方法求解非线性方程组。

实验五实验报告

一、实验名称：最速下降法与共轭梯度法解线性方程组。 二、实验目的：进一步熟悉理解掌握最速下降法与共轭梯度法解法思路，提高matlab编程能力。

三、实验要求：已知线性方程矩阵，应用最速下降与共轭梯度法在相关软件编程求解线性方程组的解。 四、实验原理：

1．最速下降法：

从某个初始点X(0) 出发，沿f(X)在点X(0)处的负梯度方向

r(0) f(X(0)) b AX(0)

求得f(X)的极小值点X(1), 即

minf(X(0) r(0))

0

然后从X(1)出发，重复上面的过程得到X(2)。如此下去，得到序列{X(k)}

f(X(0)) f(X(1)) ... f(X(k))

可以证明，从任一初始点X(0) 出发， 用最速下降法所得到的序列{X(k)}均收敛于问题使X最小化f(X)的解，也就是方程组AX b的解。其收敛速度取决于

n 1

，其中 1 , n分别 n 1

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为A的最小,最大特征值。最速下降法迭代格式：给定初值X(0)，

X(k)按如下方法决定：

r k f(X(k)) b AX(k)

r(k)T,r(k) (k 1)(k)(k)

k (k)TX X kr

r,Ar(k)

2．共轭梯度法

其基本步骤是在点X(k) 处选取搜索方向d(k), 使其与前一次的搜索方向d(k 1) 关于A共轭，即

d(k 1) d(k),Ad(k 1) 0

然后从点X(k) 出发，沿方向d(k)求得f(X)的极小值点

X(k 1) , 即

f(X(k 1)) minf(X(k) d)

0

(k)

如此下去, 得到序列{X(k)}。不难求得 d(k),Ad(k 1) 0的解为

b AX(k),d(k) (k)

d (k 1)(k 1)

d,Ad

X

(k 1)

X

(k)

注意到d(k)的选取不唯一，我们可取

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d(k) f(X(k)) k 1d(k 1)

由共轭的定义 d(k),Ad(k 1) 0可得：

r(k),Ad(k 1)

k 1 (k 1)(k 1)

d,Ad

共轭梯度法的计算过程如下： 第一步：取初始向量X(0), 计算

d(0) r(0) f(X(0)) b AX(0)

r(0),Ad(0)

0 (0)(0)

d,Ad

X(1) X(0) d(0)

0

第k 1步：计算

r(k) f(X(k)) b AX(k)

(k)(k 1)

r,Ad

k 1 d(k 1),Ad(k 1)

d(k) r(k) k 1d(k 1) (k)(k)

r,Ad k

d(k),Ad(k) (k 1)(k)(k)X X d 0

五、实验内容：

%最速下降法

function [x,k]=fastest(A,b,eps);

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x0=zeros(size(b),1); x=x0; k=0; m=1000; tol=1; while tol>=eps r=b-A*x0;

q=dot(r,r)/dot(A*r,r); x=x0+q*r; k=k+1; tol=norm(x-x0); x0=x; if k>=m

disp('迭代次数太多，可能不收敛！'); return; end end x k

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%共轭梯度法

function [k,x]=gong_e(A,b) esp=input('请输入允许误差esp='); x0=input('请输入初始值x0='); k = 0 ;

r0 = b-A*x0; %求出dangqian梯度 while norm(r0)>esp r0 = b -A*x0; k = k + 1 ; if k==1 p0 = r0 ; else

lamda=(r0'*r0)/(p0'*A*p0); r1 = r0 - lamda*A*p0 ; p0=r0+(r0'*r0)/(r1'*r1)*p0; x1 = x0 + lamda*p0; x0=x1; r0=r1;

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end end x=r0; k; end 六、实验结果：

A=[5 2 0;6 4 1;1 2 5]; b=[10 18 -14]'; eps=1.0e-6; x =

-0.8750 7.1875 -5.5000 k = 60