《数值计算方法》

课后题答案详解

吉 林 大 学

第一章 习 题 答 案

1. 已知f( 1)=2,f(1)=1,f(2)=1，求f(x)的Lagrange插值多项式。

解：由题意知：

x0= 1,x1=1,x2=2;y0=2,y1=1,y2=1l0=l1=l2=

(x x1)(x x2)(x 1)(x 2)

=

(x0 x1)(x0 x2)6(x x0)(x x2)(x+1)(x 2)

=

(x1 x0)(x1 x2) 2(x x0)(x x1)(x+1)(x 1)

=

(x2 x0)(x2 x1)3

n

2

jjj=0

∴L(x)=∑yl(x)=(x 1)(x 2)×2+(x+1)(x 2)×1+(x+1)(x 1)×1

36 2

=

12

x 3x+8)(6

1

2. 取节点x0=0,x1=1,x2=,对y=e x建立Lagrange型二次插值函数，并估计差。

2

解1)由题意知：

1

1

1

x0=0,x1=1,x2=;y0=1,y1=e,y2=e2

2

则根据二次Lagrange插值公式得：

(x x0)(x x2)(x x0)(x x1)(x x1)(x x2)

L2(x)=y0+y1+y2

(x0 x1)(x0 x2)(x1

x0)(x1 x2)(x2 x0)(x2 x1)

=2(x 1)(x 0.5)+2x(x

0.5)e 1 4x(x 1)e

0.5

=(2+2e 1 4e 0.5)x2+(4e 0.5 e 1 3)x+1

2)根据Lagrange余项定理，其误差为

f(3)(ξ)1

|R2(x)|=|ω2+1(

x)|=|e ξx(x 1)(x 0.5)|

3!6

1

≤max|x(x 1)(x 0.5)|,ξ∈(0,1)60≤x≤1

取 t(x)=x(x 1)(x 0.5),并令 t′(x)=3x2 3x+0.5=0可知当x=

3 =0.2113时，t(x)有极大值6

∴R2(x)≤1×0.2113×(0.2113 1)×(0.2113 0.5)=0.00802

6

3. 已知函数y=在x=4,x=6.25,x=9处的函数值，试通过一个二次插值函数求

的近似值，并估计其误差。

解：由题意y=x0=4,x1=6.25,x2=9;y0=2,y1=2.5,y2=3 （1） 采用Lagrange插值多项式y=≈L2(x)=∑lj(x)yj

j=0

2

y=≈L2(x)|x=7

(x x0)(x x2)(x x0)(x x1)(x x1)(x x2)

y0+y1+y2

(x0 x1)(x0 x2)(x1 x0)(x1 x2)(x2 x0)(x2 x1) (7 6.25)(7 9)(7 4)(7 9)(7 4)(7 6.25)=×2+×2.5+×3

2.25×5 2.25×2.752.75×5=2.6484848=

其误差为

f(3)(ξ)

(7 4)(7 6.25)(7 9)R2(7)=

3!

5 3

又f(3)(x)=x2

8

53

则max|f(3)(x)|=42<0.01172[4,9]8

1

∴|R2(7)|<(4.5)(0.01172)=0.00879

6

（2）采用Newton

插值多项式y=≈N2(x)

)×(7 4)×(7 6.25)≈2.6484848 N2(7)=2+×(7 4)+( 4. 设f(x)=xk(k=0,1,...,n)，试列出f(x)关于互异节点xi(i=0,1,...,n)的Lagrange插值多项式。

注意到：若n+1个节点xi(i=0,1,...,n)互异，则对任意次数≤n的多项式f(x)，它关于节点

xi(i=0,1,...,n)满足条件P(xi)=yi,i=0,1,...,n的插值多项式P(x)就是它本身。可见，当k≤n时

幂函数f(x)=x(k=0,1,...,n)关于n+1个节点xi(i=0,1,...,n)的插值多项式就是它本身，故依

k

Lagrange公式有

∑xl(x)=∑(∏

kjjj=0

j=0

i=0i≠j

nnn

x xik

)xj≡xk,k=0,1,...,n xj xi

特别地，当k=0时，有

∑lj(x)=∑∏

j=0

j=0i=0

i≠j

n

n

nnn

x xi

≡1

xj xi

而当k=1时有

n

xxi xj≡x ∑xjlj(x)=∑ ∏ j=0j=0 i=0xj xi i≠j

5. 依据下列函数表分别建立次数不超过3的Lagrange插值多项式和Newton插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。

解：

3

x f(x)

（1） Lagrange 插值多项式

L3(x)=∑lj(x)yj lj(x)=∏

j=0

x xi

x xi=0,ji

3

i≠j

x x1x x2x x3x 1x 2x 4x3 7x2+14x 8

l0(x)= = =

8x0 x1x0 x2x0 x30 10 20 4x x0x x2x x3x 0x 2x 4x3 6x2+8x

l1(x)= = =

3x1 x0x1 x2x1 x31 01 21 4x x0x x1x x3x 0x 1x 4x3 5x2+4x

l2(x)= = =

4x2 x0x2 x1x2 x32 02 12 4x x0x x1x x2x 0x 1x 2x3 3x2+2x

l3(x)= = =

24x3 x0x3 x1x3 x24 04 14 2

(x 0)(x 2)(x 4)(x 1)(x 2)(x 4)

L3(x)=×1+×9+

0 10 20 41 01 21 4(x 0)(x 1)(x 4)(x 0)(x 1)(x 2) ×23+×3

2 02 12 44 04 14 212231x 3x+2)(x 4)+3x(x2 6x+8) x(x2 5x+4)+x(x2 3x+2)(848114521

x x+1 = x3+

442 =

（2） Newton 插值多项式

二阶差商

3 -8

N3(x)=f(x0)+f(x0,x1)(x x0)+f(x0,x1,x2)(x x0)(x x1)

k

xkf(xk)

一阶差商

8 14 -10 三阶差商

+f(x0,x1,x2,x3)(x x0)(x x1)(x x2)

=1+8(x 0)+3(x 0)(x 1) (x 0)(x 1)(x 2)

11451

= x3+x2 x+1

442

由求解结果可知：L3(x)=N3(x)

说明插值问题的解存在且唯一。

6. 已知由数据(0,0),(0.5,y1),(1,3)和(2,2)构造出的Lagrange插值多项式L3(x)的最高次项系数是6，试确定y1。

x x1x x2x x3x 0.5x 1x 27273

××=×× 解：l0(x)== x+x x+1

x0 x1x0 x2x0 x30 0.50 10 222x x0x x2x x3x 0x 1x 2832

l1(x)=××=×× =(x 3x+2x)

x1 x0x1 x2x1 x30.5 00.5 10.5 23

x x0x x1x x3x 0x 0.5x 232

××=××= 2x+5x 2x

x2 x0x2 x1x2 x31 01 0.51 2

x x0x x1x x2x 0x 0.5x 113121

l3(x)=××=××=x x+x

x3 x0x3 x1x3 x22 02 0.52 1326

8117

L3(x)中最高次项系数为：0×( 1)+y1+( 2)×3+×2=6 y1=

334

7. 设f(x)=x4，试利用Lagrange余项定理给出f(x)以 1,0,1,2为节点的插值多项式

L3(x)。

l2(x)=

解：由Lagrange余项定理

f(n+1)(ξ)

Rn(x)=f(x) Ln(x)=n+1(x) ξ∈[a,b]

(n+1)!

可知：当n=3时，

f(n+1)(ξ)=f(4)(x)

x=ξ

=4!

L3(x)=f(x)

4!

(x x0)(x x1)(x x2)(x x3)

(3+1)!

=x4 (x+1)(x 0)(x 1)(x 2) =2x3+x2 2x

8. 设f(x)∈C2[a,b]且f(a)=f(b)=0，求证

1

maxf(x)≤(b a)2maxf′′(x)

a≤x≤ba≤x≤b8

证明：以a,b为节点进行线性插值，得

x bx a

L1(x)=f(a)+f(b)

a bb a

由于f(a)=f(b)=0,故L1(x)=0。于是由

f''(ξ)

f(x) L1(x)=(x a)(x b), a<ξ<b

2!

f''(ξ)

有f(x)=( …… 此处隐藏：11013字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……