2009年江苏省高三数学期末试题分类汇总——导数及其应用

《导 数 及 其 应 用》

一、填空题

1．【江苏·扬州】14．若函数f x

13

x a2x满足：对于任意的x1,x2 0,1 都有3

|f x1 f x2 | 1恒成立，则a的取值范围是

．

2【江苏·启东中学】3．若曲线f(x) x4 x在点P处的切线平行于直线3x-y＝0，则点P的坐标为 ▲（1，0） ． 3．【江苏·苏北四市】8．曲线y 值是

a

a

和y x2在它们的交点处的两条切线互相垂直，则a的x

. 4

4．【江苏·苏北四市】13．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1) 0，

xf (x) f(x)

0（xx2

0），则不等式xf(x) 0的解集是( 1,0) (1, ).

2

5．【江苏·泰州实验】9．函数f(x) x lnx的单调减区间为________（0,1）_________． 6．【江苏·盐城】8.设P为曲线C:y x2 x 1上一点,曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[ 1,3],则点P纵坐标的取值范围是____▲[,3]____.

3

4

二、计算题

1．【江苏·无锡】19．（本小题满分16分）

已知函数f(x)

12

，其中为常数．如果x－2x,g(x )laog（xa＞0，且a≠1）

2

h(x) f(x) g(x) 是增函数，且h (x)存在零点（h (x)为h(x)的导函数）．

y2 y1

x2 x1

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1<x2）是函数y＝g（x）的图象上两点，g (x0)

（g'(x) 为g(x)的导函数），证明：x1 x0 x2． 解：（Ⅰ）因为h(x)

12

x 2x logax(x 0)， 2

1x2lna 2xlna 1

所以h (x) x 2 ． …………………………3分

xlnaxlna

因为h（x）在区间(0, )上是增函数，

x2lna 2xlna 1所以≥0在区间(0, )上恒成立．

xlna

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若0<a<1，则lna<0，于是x2lna 2xlna 1≤0恒成立．

又h (x)存在正零点，故△＝（－2lna）2－4lna＝0，lna＝0，或lna＝1与lna<0

矛盾．

所以a>1．

由x2lna 2xlna 1 0恒成立，又h (x)存在正零点，故△＝（－2lna）2－4lna

＝0，

所以lna＝1，即a＝e． ………………………………………………7分

x2 x111y y1

（Ⅱ）由（Ⅰ），g (x0) ，于是 2，x0 ．…………9分

lnx2 lnx1x0x0x2 x1

以下证明x1

x2 x1

． （※）

lnx2 lnx1

（※）等价于x1lnx2 x1lnx1 x2 x1 0． ………………………11分 令r（x）＝xlnx2－xlnx－x2＋x，…………………………………13分 r ′（x）＝lnx2－lnx，在（0，x2］上，r′（x）>0，所以r（x）在（0，x2］上为

增函数．

当x1<x2时，r（x1）< r（x2）＝0，即x1lnx2 x1lnx1 x2 x1 0， 从而x0 x1得到证明．……………………………………………15分 对于x2

x2 x1

同理可证………………………………………16分

lnx2 lnx1

所以x1 x0 x2．

2．【江苏·淮、徐、宿、连】 19.(本题满分16分)

已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数).

(1)若a=－2，求证：函数f(x)在(1，+．∞)上是增函数； (2)求函数f(x)在[1，e]上的最小值及相应的x值；

(3)若存在x∈[1，e]，使得f(x)≤(a+2)x成立，求实数a的取值范围.

2(x2 1)

0， 【解】（1）当a 2时，f(x) x 2lnx，当x (1, )，f (x)

x

2

故函数f(x)在(1, )上是增函数．………………………………………………4分

2x2 a

(x 0)，当x [1,e]，2x2 a [a 2,a 2e2]． （2）f (x)

x

若a 2，f (x)在[1,e]上非负（仅当a 2，x=1时，f (x) 0），故函数f(x)在[1,e]上是增函数，此时[f(x)]min f(1) 1． ……………………………………6分

若 2e2 a 2，当x

a a

时，f (x) 0；当1 x 时，f (x) 0，此时f(x) 22

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是减函数； 当

a a

x e时，f (x) 0，此时f(x)是增函数．故[f(x)]min f() 22

aaa

ln( ) ． 222

若a 2e2，f (x)在[1,e]上非正（仅当a 2e2，x=e时，f (x) 0），故函数f(x)在

[1,e]上是减函数，此时[f(x)]min f(e) a e2．…………………………………8分

综上可知，当a 2时，f(x)的最小值为1，相应的x值为1；当 2e2 a 2时，f(x)

的最小值为

aaaa

；当a 2e2时，f(x)的最小值为a e2， ln( ) ，相应的x值为2222

相应的x值为．…………………………………………………………………10分 （3）不等式f(x) (a 2)x， 可化为a(x lnx) x2 2x．

∵x [1,e], ∴lnx 1 x且等号不能同时取，所以lnx x，即x lnx 0，

x2 2x

因而a （x [1,e]）…………………………………………………………12分

x lnx

(x 1)(x 2 2lnx)x2 2x

令g(x) （x [1,e]），又g (x) ，………………14分

x lnx(x lnx)2

当x [1,e]时，x 1 0,lnx 1，x 2 2lnx 0，

从而g (x) 0（仅当x=1时取等号），所以g(x)在[1,e]上为增函数，

故g(x)的最小值为g(1) 1，所以a的取值范围是[ 1, )． ……………………16分 3．【江苏·启东中学】

20．（本题满分16分，第1问4分，第2问6分，第3问6分）

已知函数f(x) x 为M,N．

（1）当t 2时，求函数f(x)的单调递增区间； （2）设|MN|=g(t)，试求函数g(t)的表达式；

（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n，在区间[2,n

t

(x 0),过点P(1,0)作曲线y f(x)的两条切线PM,PN,切点分别x

64

]内，总存在m＋1个数n

a1,a2, ,am,am 1,使得不等式g(a1) g(a2) g(am) g(am 1)成立，求m的

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最大值．

2x2 22

0 --------2分 【解】（1）当t 2时,f(x) x , f (x) 1 2 2

xxx

解得x 2,或x 2.则函数f(x)有单调递增区间为( , ),(2, )-- 4分

（2）设M、N两点的横坐标分别为x1、x2，

f (x) 1

ttt, 切线PM的方程为:y (x ) (1 )(x x1).1

x1x2x12

tt

) (1 2)(1 x1).x1x1

又 切线过点P(1,0), 有0 (x1 即x12 2tx1 t 0.

(1)

2

同理，由切线PN也过点（1，0），得x2 2tx2 t 0. （2）---------------6分

由（1）、（2），可得x1,x2是方程x2 2tx t 0的两根，

x1 x2 2t

x1 x2 t.

(*) ------------------------------------------------------8分

ttt2 x2 )2 (x1 x2)2[1 (1 )]x1x2x1x2

|MN| (x1 x2)2 (x1

[(x1 x2)2 4x1x2][1 (1

把（*）式代入，得|MN|

t2

)] x1x2

20t2 20t,

20t2 20t(t 0) ----------------10分

因此，函数g(t)的表达式为g(t)

（3）易知g(t)在区间[2,n

64

]上为增函数， n

g(2) g(ai)(i 1,2, ,m 1).

则m g(2) g(a1) g(a2) g(am).

g(a1) g(a2) g(am) g(am 1)对一切正整数n成立,

不等式m g(2) g(n

64

)对一切的正整数n恒成立------------12分 n

m20 22 20 2 20(n

64264) 20(n ), nn

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即m

16464

[(n )2 (n )]对一切的正整数n恒成立6nn

12

[16 16] .63

n m

6416464

16, [(n )2 (n )] n6nn.3

由于m为正整数， m 6. --------------------------------------------------14 分 又当m 6时,存在a1 a2 am 2,am 1 16,对所有的n满足条件. 因此，m的最大值为6. ----------------------------------------------16分

4．20．【江苏·苏州】（本小题满分16分）

已知函数f x alnx bx2图象上一点P（2，f(2)）处的切线方程为

y 3x 2ln2 2．

（Ⅰ）求a,b的值；

1

（Ⅱ）若方程f x m 0在[,e]内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为

e

自然对数的底，e 2.7）；

（Ⅲ）令g x f x nx，如果g x 图象与x轴交于A x1,0 ,B x2,0 x1 x2 ，AB中点为C x0,0 ，求证：g x0 0．

【解】Ⅰ）f x

∴

aa

2bx，f 2 4b，f 2 aln2 4b． x2

a

4b 3，且aln2 4b 6 2ln2 2． …………………… 2分 2

解得a＝2，b＝1． …………………… 4分 （Ⅱ）f x 2lnx x2，令h x f(x) m 2lnx x2 m，

22(1 x2)

则h x 2x ，令h x 0，得x＝1（x＝－1舍去）．

xx11

在[,e]内，当x∈[,1)时，h x 0，∴h(x)是增函数；

ee

当x∈(1,e]时，h x 0，∴h(x)是减函数． …………………… 7分

1

h(e)≤0,

1

则方程h x 0在[,e]内有两个不等实根的充要条件是 ……10分

h(1) 0,e

h(e)≤0.

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即1 m≤e2 2．

2

…………………… 12分

（Ⅲ）g x 2lnx x nx，g x

2

2x n． x

①②③ ④

2lnx1 x12 nx1 0, 2

2lnx2 x2 nx2 0,

假设结论成立，则有 x x 2x,

120

2 2x n 0.

x0

①－②，得2ln

x1

(x12 x22) n(x1 x2) 0． x2

x1x2

∴n 2 2x0．

x1 x2

2

由④得n 2x0，

x0

ln

xx1

ln1

x2x221

∴． ．即

x1 x2x1 x2x1 x2x0

ln

x1

2

x1x2

即ln ．⑤

x1x2

1x2

2

…………………… 14分

令t

x12t 2，u(t) lnt （0＜t＜1)， x2t 1

(t 1)2

则u (t) ＞0．∴u(t)在0＜t＜1上增函数． 2

t(t 1)u(t) u(1) 0，∴⑤式不成立，与假设矛盾．

∴g x0 0． ………………………………… 16分

5．【江苏·泰州】

19、已知数列{an}，{bn}中，a1 t(t 0且t 1),a2 t2，且x

是函数

1

f(x) (an 1 an)x3 (an an 1)x的一个极值点.

3

（1）求数列{an}的通项公式；

（2） 若点Pn的坐标为（1，（n N*)，过函数g(x) ln(bn）1 x2)图像上的点(an,g(an))

的切线始终与OP，求证：当n平行（O 为原点）

1

t 2,且t 1 时，不等式 2

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111n

... 2 22对任意n N*都成立. b1b2bn

n

【解】（1）由f() 0得(an 1 an) t(an an 1)(n 2)

/

an 1 an

t, {an 1 an}是首项为t2 t，公比为t的等比数列

an an 1

当t 1时，an 1 an tn 1 tn， an tn(t 1)

所以 an tn(t 1)

2an2tn11n1

（2）由bn g(an)得：bn , (t n) 2

bn21 an1 t2nt

/

11n1

(2 n)(作差证明) bn22

1111111

... [(2 22 ... 2n) ( 2 ... n)]b1b2bn222211

2n (1 2 n) 2n 2n 2

22

n

2

1111

综上所述当 t 2 时，不等式 ... 2n 22对任意n N*都成立.

2b1b2bn

n

6．【江苏·泰州】20、已知f x ax ln x ,x ( e,0),g(x) 常数，a R.

（1）讨论a 1时, f(x)的单调性、极值; （2）求证：在（1）的条件下，|f(x)| g(x)

ln( x)

其中e是自然x

1. 2

（3）是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由。

【解】（1） f x x ln x f' x 1

1x 1

xx

当 e x 1时，f' x 0，此时f x 为单调递减 当 1 x 0时，f' x 0，此时f x 为单调递增

f x 的极小值为f 1 1 （2） f x 的极小值，即f x 在 e,0 的最小值为1

1ln x 1

f xmin 1 令h x g x

2x2

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ln x 1 当 e x 0时h' x 0 2

x

h x 在 e,0 上单调递减

1111

h x max h e 1 f x min

e222

1

当x e,0 时，f x g x

2

（3）假设存在实数a，使f x ax ln x 有最小值3，x e,0

1

f' x a

x11

①当a 时，由于x e,0 ，则f' x a 0

ex

函数f x ax ln x 是 e,0 上的增函数 f x min f e ae 1 3

41

解得a （舍去）

ee111

②当a 时，则当 e x 时，f' x a 0

eax

此时f x ax ln x 是减函数 11

当 x 0时，f' x a 0，此时f x ax ln x 是增函数 ax

1 1

f x min f 1 ln 3

a a

解得a e2

又 h' x

7．【江苏·泰州】2、已知二次函数f(x) ax2 bx c,直线l1:y t2 8t(其中0 t 2.t为常数）；l2:x 2.若直线l1、l2与函数f（x）的图象以及l1，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示. （1）求、b、c的值

（2）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；

【解】（1）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且f(x)的最大值为16

c 0 a 1 2

则 a 8 b 8 c 0解之得： b 8， 2

c 0 4ac b 16, 4a

∴函数f（x）的解析式为f(x) x2 8x

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2

y t 8t

（2）由 得x2 8x t(t 8) 0, x1 t,x2 8 t,

2

y x 8x

∵0≤t≤2，∴直线l1与f（x）的图象的交点坐标为（t, t2 8t) 由定积分的几何意义知：

S(t) [( t2 8t) ( x2 8x)]dx [( x2 8x) ( t2 8t]dx

t

t2

x3x322t

[( t 8t)x ( 4x)]0 [( 4x2) ( t2 8t) x]

33t

2

440

t3 10t2 16t

33

8．【江苏·盐城】19. (本小题满分16分)

已知函数f(x) (x2 3x 3) ex定义域为 2,t (t 2),设f( 2) m,f(t) n.

(Ⅰ)试确定t的取值范围,使得函数f(x)在 2,t 上为单调函数； (Ⅱ)求证:n m；

f'(x0)2

(t 1)2,并确定这样的(Ⅲ)求证:对于任意的t 2,总存在x0 ( 2,t),满足x0

e3

x0的个数.

【解】 (Ⅰ)解:因为f (x) (x2 3x 3) ex (2x 3) ex x(x 1) ex…………………………(2分)

由f (x) 0 x 1或x 0；由f (x) 0 0 x 1,所以f(x)在( ,0),(1, )上递增,

在(0,1)上递减 …………………………………………………………………(4分)

欲f(x)在 2,t 上为单调函数,则 2 t 0……………………………(5分)

(Ⅱ)证:因为f(x)在( ,0),(1, )上递增,在(0,1)上递减,所以f(x)在x 1处取得极小值e(7分)

13

e,所以f(x)在 2, 上的最小值为f( 2) …………………………(9分) e2

从而当t 2时,f( 2) f(t),即m n………………………(10分)

又f( 2)

f'(x0)f'(x0)222222

x x (t 1) (t 1) x x(Ⅲ)证:因为,所以即为, 0000x0x0

3e3e

222222

令g(x) x x (t 1),从而问题转化为证明方程g(x) x x (t 1)=0

33

在( 2,t)上有解,并讨论解的个数…………………………………………(12分)

因为

2221

g( 2) 6 (t 1)2 (t 2)(t 4),g(t) t(t 1) (t 1)2 (t 2)(t 1),所

3333

以

①当t 4或 2 t 1时,g( 2) g(t) 0,所以g(x) 0在( 2,t)上有解,且只有一解 …(13分)

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②当1 t 4时,g( 2) 0且g(t) 0,但由于g(0)

2

(t 1)2 0, 3

所以g(x) 0在( 2,t)上有解,且有两解 …………………………………(14分)

③当t 1时,g(x) x2 x 0 x 0或x 1,所以g(x) 0在( 2,t)上有且只有一解；

当t 4时,g(x) x2 x 6 0 x 2或x 3,

所以g(x) 0在( 2,4)上也有且只有一解………………………………(15分)

f'(x0)22

(t 1)综上所述, 对于任意的t 2,总存在x0 ( 2,t),满足, x0

e3

且当t 4或 2 t 1时,有唯一的x0适合题意；当1 t 4时,有两个x0适合题

意……(16分)

(说明:第(Ⅱ)题也可以令 (x) x2 x,x ( 2,t),然后分情况证明并讨论直线y

2

(t 1)2在其值域内,3

2

(t 1)2与函数 (x)的图象的交点个数即可得到相应的x0的个数) 3

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