2009年江苏省高三数学期末试题分类汇总——导数及其应用

2009年江苏省高三数学期末试题分类汇总——导数及其应用

《导 数 及 其 应 用》

一、填空题

1．【江苏·扬州】14．若函数f x

13

x a2x满足：对于任意的x1,x2 0,1 都有3

|f x1 f x2 | 1恒成立，则a的取值范围是

．

2【江苏·启东中学】3．若曲线f(x) x4 x在点P处的切线平行于直线3x-y＝0，则点P的坐标为 ▲（1，0） ． 3．【江苏·苏北四市】8．曲线y 值是

a

a

和y x2在它们的交点处的两条切线互相垂直，则a的x

. 4

4．【江苏·苏北四市】13．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1) 0，

xf (x) f(x)

0（xx2

0），则不等式xf(x) 0的解集是( 1,0) (1, ).

2

5．【江苏·泰州实验】9．函数f(x) x lnx的单调减区间为________（0,1）_________． 6．【江苏·盐城】8.设P为曲线C:y x2 x 1上一点,曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[ 1,3],则点P纵坐标的取值范围是____▲[,3]____.

3

4

二、计算题

1．【江苏·无锡】19．（本小题满分16分）

已知函数f(x)

12

，其中为常数．如果x－2x,g(x )laog（xa＞0，且a≠1）

2

h(x) f(x) g(x) 是增函数，且h (x)存在零点（h (x)为h(x)的导函数）．

y2 y1

x2 x1

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1<x2）是函数y＝g（x）的图象上两点，g (x0)

（g'(x) 为g(x)的导函数），证明：x1 x0 x2． 解：（Ⅰ）因为h(x)

12

x 2x logax(x 0)， 2

1x2lna 2xlna 1

所以h (x) x 2 ． …………………………3分

xlnaxlna

因为h（x）在区间(0, )上是增函数，

x2lna 2xlna 1所以≥0在区间(0, )上恒成立．

xlna

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若0<a<1，则lna<0，于是x2lna 2xlna 1≤0恒成立．

又h (x)存在正零点，故△＝（－2lna）2－4lna＝0，lna＝0，或lna＝1与lna<0

矛盾．

所以a>1．

由x2lna 2xlna 1 0恒成立，又h (x)存在正零点，故△＝（－2lna）2－4lna

＝0，

所以lna＝1，即a＝e． ………………………………………………7分

x2 x111y y1

（Ⅱ）由（Ⅰ），g (x0) ，于是 2，x0 ．…………9分

lnx2 lnx1x0x0x2 x1

以下证明x1

x2 x1

． （※）

lnx2 lnx1

（※）等价于x1lnx2 x1lnx1 x2 x1 0． ………………………11分 令r（x）＝xlnx2－xlnx－x2＋x，…………………………………13分 r ′（x）＝lnx2－lnx，在（0，x2］上，r′（x）>0，所以r（x）在（0，x2］上为

增函数．

当x1<x2时，r（x1）< r（x2）＝0，即x1lnx2 x1lnx1 x2 x1 0， 从而x0 x1得到证明．……………………………………………15分 对于x2

x2 x1

同理可证………………………………………16分

lnx2 lnx1

所以x1 x0 x2．

2．【江苏·淮、徐、宿、连】 19.(本题满分16分)

已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数).

(1)若a=－2，求证：函数f(x)在(1，+．∞)上是增函数； (2)求函数f(x)在[1，e]上的最小值及相应的x值；

(3)若存在x∈[1，e]，使得f(x)≤(a+2)x成立，求实数a的取值范围.

2(x2 1)

0， 【解】（1）当a 2时，f(x) x 2lnx，当x (1, )，f (x)

x

2

故函数f(x)在(1, )上是增函数．………………………………………………4分

2x2 a

(x 0)，当x [1,e]，2x2 a [a 2,a 2e2]． （2）f (x)

x

若a 2，f (x)在[1,e]上非负（仅当a 2，x=1时，f (x) 0），故函数f(x)在[1,e]上是增函数，此时[f(x)]min f(1) 1． ……………………………………6分

若 2e2 a 2，当x

a a

时，f (x) 0；当1 x 时，f (x) 0，此时f(x) 22

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是减函数； 当

a a

x e时，f (x) 0，此时f(x)是增函数．故[f(x)]min f() 22

aaa

ln( ) ． 222

若a 2e2，f (x)在[1,e]上非正（仅当a 2e2，x=e时，f (x) 0），故函数f(x)在

[1,e]上是减函数，此时[f(x)]min f(e) a e2．…………………………………8分

综上可知，当a 2时，f(x)的最小值为1，相应的x值为1；当 2e2 a 2时，f(x)

的最小值为

aaaa

；当a 2e2时，f(x)的最小值为a e2， ln( ) ，相应的x值为2222

相应的x值为．…………………………………………………………………10分 （3）不等式f(x) (a 2)x， 可化为a(x lnx) x2 2x．

∵x [1,e], ∴lnx 1 x且等号不能同时取，所以lnx x，即x lnx 0，

x2 2x

因而a （x [1,e]）…………………………………………………………12分

x lnx

(x 1)(x 2 2lnx)x2 2x

令g(x) （x [1,e]），又g (x) ，………………14分

x lnx(x lnx)2

当x [1,e]时，x 1 0,lnx 1，x 2 2lnx 0，

从而g (x) 0（仅当x=1时取等号），所以g(x)在[1,e]上为增函数，

故g(x)的最小值为g(1) 1，所以a的取值范围是[ 1, )． ……………………16分 3．【江苏·启东中学】

20．（本题满分16分，第1问4分，第2问6分，第3问6分）

已知函数f(x) x 为M,N．

（1）当t 2时，求函数f(x)的单调递增区间； （2）设|MN|=g(t)，试求函数g(t)的表达式；

（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n，在区间[2,n

t

(x 0),过点P(1,0)作曲线y f(x)的两条切线PM,PN,切点分别x

64

]内，总存在m＋1个数n

a1,a2, ,am …… 此处隐藏：5998字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……