2012中考北师版数学复习专题训练(3)二次函数

二次函数基础知识点

二次函数知识点

一、二次函数概念：

b，c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。 1．二次函数的概念：一般地，形如y ax2 bx c（a，

c可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0，而b，

2. 二次函数y ax2 bx c的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．练习 ⑵ a，3、练习巩固

（1）已知函数y=(k+2)xk

2

k 4

是关于x的二次函数,则k=________.

（2）已知正方形的周长是ccm,面积为Scm2,则S与c之间的函数关系式为_____.

（3）填表:

（4）在边长为4m的正方形中间挖去一个长为xm的小正方形, 剩下的四方框形的面积为y,则y与x间的

函数关系式为_________. （5）用一根长为8m的木条,做一个长方形的窗框,若宽为xm,则该窗户的面积y(m2)与x(m)之间的函数关系

式为________.

二、二次函数的基本形式

2.二次函数y ax的性质

2

y ax（a 0）(1)抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. 2y ax(2)函数的图像与a的符号关系.

2

①当a 0时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；②当a 0时 抛物线开口向下 顶点为其最高点

2

y ax bx c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线. 3.二次函数

4.二次函数y ax bx c用配方法可化成：y a x h

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

2

2

b4ac b2

h ，k

k的形式，2a4a其中.

2

222

①y ax；②y ax k；③y a x h ；④y a x h k；⑤y ax bx c.

2

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a决定抛物线的开口方向：

a

当a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴(或重合)的直线记作x h.特别地，y轴记作直线x 0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

b 4ac b2 b4ac b2b2

y ax bx c a x （ ）x

4a，∴顶点是2a2a. 4a 2a (1)公式法：，对称轴是直线

2

二次函数基础知识点

(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为y a x h k的形式，顶点为(h,k)，对称轴是x h.

2

(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★

2

y ax bx c中，a,b,c的作用 9.抛物线

(1)a决定开口方向及开口大小，这与y ax中的a完全一样.

(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax bx c的对称轴是直线①b

b

0

0时，对称轴为y轴；②a(即a、b同号)时,对称轴在

2

2

x

b

2a,故：

y轴左侧；

b 0③a(即a、b异号)时,对称轴在

y轴右侧.

2

y ax bx c与y轴交点的位置. c(3)的大小决定抛物线

2

y ax bx c与y轴有且只有一个交点(0，c)： y cx 0当时，，∴抛物线

①c 0，抛物线经过原点; ②c 0,与y轴交于正半轴；③c 0,与y轴交于负半轴.

b 0

ya以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则

巩固练习：

2

1、抛物线y=ax+bx+c，当a＞0时图象有最 点，此时函数有最 值 ；当a＜0时图象有最 点，此时函数有最 值

2、已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，试判断下面各式的符号： (1)abc (2)b-4ac (

2

2

3)2a+b (4)a+b+c

（上题主要考查学生对二次函数的图象、性质的掌握情况：b-4ac的符号看抛

物线与x轴的交点情况；2a+b看对称轴的位置；而a+b+c的符号要看x= 1时y的值）

3、如图，抛物线的对称轴是x 1，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是(3,0)，则A点的坐标是________________.

2

二次函数基础知识点

11.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式：y ax bx c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. (2)顶点式：y a x h k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y a x x1 x x2 .

2

2

12.直线与抛物线的交点

2

y ax bx c得交点为(0,c) y (1)轴与抛物线

22y ax bx cyhx hah bh c). (2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,

(3)抛物线与x轴的交点

2

y ax bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程 二次函数

ax2 bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点 0 抛物线与x轴相交；

②有一个交点(顶点在x轴上) 0 抛物线与x轴相切； ③没有交点 0 抛物线与x轴相离.

(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，

2

则横坐标是ax bx c k的两个实数根.

2

y kx nk 0y ax bx c a 0 的图 …… 此处隐藏：4331字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……