二次函数基础知识点

二次函数知识点

一、二次函数概念：

b，c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。 1．二次函数的概念：一般地，形如y ax2 bx c（a，

c可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0，而b，

2. 二次函数y ax2 bx c的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．

b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．练习 ⑵ a，3、练习巩固

（1）已知函数y=(k+2)xk

2

k 4

是关于x的二次函数,则k=________.

（2）已知正方形的周长是ccm,面积为Scm2,则S与c之间的函数关系式为_____.

（3）填表:

（4）在边长为4m的正方形中间挖去一个长为xm的小正方形, 剩下的四方框形的面积为y,则y与x间的

函数关系式为_________. （5）用一根长为8m的木条,做一个长方形的窗框,若宽为xm,则该窗户的面积y(m2)与x(m)之间的函数关系

式为________.

二、二次函数的基本形式

2.二次函数y ax的性质

2

y ax（a 0）(1)抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. 2y ax(2)函数的图像与a的符号关系.

2

①当a 0时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；②当a 0时 抛物线开口向下 顶点为其最高点

2

y ax bx c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线. 3.二次函数

4.二次函数y ax bx c用配方法可化成：y a x h

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

2

2

b4ac b2

h ，k

k的形式，2a4a其中.

2

222

①y ax；②y ax k；③y a x h ；④y a x h k；⑤y ax bx c.

2

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a决定抛物线的开口方向：

a

当a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴(或重合)的直线记作x h.特别地，y轴记作直线x 0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

b 4ac b2 b4ac b2b2

y ax bx c a x （ ）x

4a，∴顶点是2a2a. 4a 2a (1)公式法：，对称轴是直线

2

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(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为y a x h k的形式，顶点为(h,k)，对称轴是x h.

2

(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★

2

y ax bx c中，a,b,c的作用 9.抛物线

(1)a决定开口方向及开口大小，这与y ax中的a完全一样.

(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax bx c的对称轴是直线①b

b

0

0时，对称轴为y轴；②a(即a、b同号)时,对称轴在

2

2

x

b

2a,故：

y轴左侧；

b 0③a(即a、b异号)时,对称轴在

y轴右侧.

2

y ax bx c与y轴交点的位置. c(3)的大小决定抛物线

2

y ax bx c与y轴有且只有一个交点(0，c)： y cx 0当时，，∴抛物线

①c 0，抛物线经过原点; ②c 0,与y轴交于正半轴；③c 0,与y轴交于负半轴.

b 0

ya以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则

巩固练习：

2

1、抛物线y=ax+bx+c，当a＞0时图象有最 点，此时函数有最 值 ；当a＜0时图象有最 点，此时函数有最 值

2、已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，试判断下面各式的符号： (1)abc (2)b-4ac (

2

2

3)2a+b (4)a+b+c

（上题主要考查学生对二次函数的图象、性质的掌握情况：b-4ac的符号看抛

物线与x轴的交点情况；2a+b看对称轴的位置；而a+b+c的符号要看x= 1时y的值）

3、如图，抛物线的对称轴是x 1，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是(3,0)，则A点的坐标是________________.

2

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11.用待定系数法求二次函数的解析式

(1)一般式：y ax bx c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. (2)顶点式：y a x h k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y a x x1 x x2 .

2

2

12.直线与抛物线的交点

2

y ax bx c得交点为(0,c) y (1)轴与抛物线

22y ax bx cyhx hah bh c). (2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,

(3)抛物线与x轴的交点

2

y ax bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程 二次函数

ax2 bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点 0 抛物线与x轴相交；

②有一个交点(顶点在x轴上) 0 抛物线与x轴相切； ③没有交点 0 抛物线与x轴相离.

(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点

同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，

2

则横坐标是ax bx c k的两个实数根.

2

y kx nk 0y ax bx c a 0 的图像G的交点，由方程组 l(5)一次函数的图像与二次函数

y kx n

2

y ax bx c的解的数目来确定：

①方程组有两组不同的解时 l与G有两个交点;

②方程组只有一组解时 l与G只有一个交点；③方程组无解时 l与G没有交点.

2

0 ，B x2，0 ，由于y ax bx c与x轴两交点为A x1，x(6)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线

bc

x x ,x x 12

x1、x2是方程ax2 bx c 0的两个根，故 12aa

AB x1 x2

x1 x22

x1 x22

2 4ac b 4c

4x1x2

aaa a

2

13．二次函数与一元二次方程的关系：

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22

y ax bx cy ax bx c当函数y的值为0时的情况． (1)一元二次方程就是二次函数

(2)二次函数y ax bx c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当

2

y ax bx c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y 0时自变量x的值，即一元二二次函数

2

次方程ax bx c 0的根．

(3)当二次函数y ax bx c的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程y ax bx c有两个不

2

y ax bx c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程相等的实数根；当二次函数

2

ax2 bx c 0有两个相等的实数根；当二次函数y ax bx c的图象与x轴没有交点时，则一元二

2

2

2

次方程ax bx c 0没有实数根

【例题经典】

由抛物线的位置确定系数的符号

例1 （1）二次函数y ax2 bx c的图像如图1，则点M(

b,)

在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示， 则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2

ca

(1) (2)

【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．

例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1<x1<2，与y轴的正半轴的交

点在点(O，2)的下方．下列结论：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+c<O；④2a-b+1>O，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D．4个 答案：D 会用待定系数法求二次函数解析式

例3.已知：关于x的一元二次方程ax+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax+bx+c的对称轴是直线

2

2

x=2，则抛物线的顶点坐标为( )

A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2) 答案：C

用二次函数解决最值问题

例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．

例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元） 与产品的日销售量y（件）之间的关系

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如下表：

若日销售量y是销售价x （1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？ 此时每日销售利润是多少元？ 【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则

15k b 25,

解得k=-1，b=40， 即一次函数表达

2k b 20

式为y=-x+40．

（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225．

产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中， “某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2） 问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

综合复习： 一、选择题：

1. 抛物线y (x 2)2 3的对称轴是（ ）

A. 直线x 3

B. 直线x 3

C. 直线x 2

D. 直线

在（ ）

2. 二次函数y ax

2 bx c的图象如右图，则点M(b,

A. 第一象限 C. 第三象限

B. 第二象限 D. 第四象限

c)a

3. 已知二次函数y ax2 bx c，且a 0，a b c 0，则一定有（ ）

A. b2 4ac 0

B. b2 4ac 0

C. b2 4ac 0

D. b2 4ac≤0

4. 把抛物线y x2 bx c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的

解析式是y x2 3x 5，则有（ ） A. b 3，c 7

C. b 3，c 3 5. 已知反比例函数y

B. b 9，c 15 D. b 9，c 21

k

的图象如右图所示，则二次函数y 2kx2 x k2的图象大致为（ ） x

x

6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数y ax2 (a c)x c与一次函数y ax c的大致图

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象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）

D

7. 抛物线y x2 2x 3的对称轴是直线（ ）

A. x 2

B. x 2

C. x 1

D. x 1

8. 二次函数y (x 1)2 2的最小值是（ ）

A. 2

B. 2

C. 1

D. 1

9. 二次函数y ax2 bx c的图象如图所示，若M 4a 2b cN a b c，

P 4a b，则（ ）A. M 0，N 0，P 0 B. M 0，N 0，P 0

C. M 0，N 0，P 0 D. M 0，N 0，P 0 二、填空题：

10. 将二次函数y x2 2x 3配方成y (x h)2 k的形式，则y=______________________.

11. 已知抛物线y ax2 bx c与x轴有两个交点，那么一元二次方程ax2 bx c 0的根的情况是

______________________.

12. 已知抛物线y ax2 x c与x轴交点的横坐标为 1，则a c=_________. 13. 请你写出函数y (x 1)2与y x2 1具有的一个共同性质：_______________.

14. 已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，写出一满足条件的二次函数解析式：

_____________________. 15.

15、已知函数y x2 bx 1的图象经过点（3，2）.

（1）求这个函数的解析式；（2）当x 0时，求使y≥2的x的取值范围

16、如右图，抛物线y x2 5x n经过点A(1,0)，与y轴交于点B.

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（1）求抛物线的解析式；

（2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标.

17、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）.

（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

参考答案 一、选择题：

二、填空题：

1. y (x 1) 2 2. 有两个不相等的实数根

3. 1

4. （1）图象都是抛物线；（2）开口向上；（3）都有最低点（或最小值） 6. y x 2x 1等（只须a 0，c 0） 7. (2 三、解答题：

1. 解：（1）∵函数y x bx 1的图象经过点（3，2），∴9 3b 1 2. 解得b 2.

2

2

2

,0)8. x 3，1 x 5，1，4

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∴函数解析式为y x 2x 1.

（2）当x 3时，y 2.

2

根据图象知当x≥3时，y≥2.

∴当x 0时，使y≥2的x的取值范围是x≥3.

2

2. 解：（1）由题意得 1 5 n 0. ∴n 4. ∴抛物线的解析式为y x 5x 4.

（2）∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为(0, 4). ∴OA=1，OB=4.

2

2

在Rt△OAB中，AB OA OB ，且点P在y轴正半轴上. ①当PB=PA时，PB . ∴OP PB OB 4. 此时点P的坐标为(0,

4).

②当PA=AB时，OP=OB=4 此时点P的坐标为（0，4）.

2

3. 解：（1）设s与t的函数关系式为s at bt c，

1

a , a b c 1.5, a b c 1.5,2 1

由题意得 4a 2b c 2,或 4a 2b c 2, 解得 b 2, ∴s t2 2t.

2 25a 5b c 2.5； c 0. c 0.

（2）把s=30代入s

121

t 2t，得30 t2 2t. 解得t1 10，t2 6（舍去） 22

答：截止到10月末公司累积利润可达到30万元. （3）把t 7代入，得s 把t 8代入，得s

1

72 2 7 10.5. 2

1

82 2 8 16. 2

16 10.5 5.5. 答：第8个月获利润5.5万元.