2013,小学,奥赛,数学

第十八届华罗庚金杯少年邀请赛

决赛试题A（小学高年级组） （时间2013年4月20日10：00～11：30）

一、填空题（每小题 10分, 共80分）

1．计算: 19×0.125+281×1-12.5=________. 8

解析：原式=（19+281-100）×0.125

=200×0.125

=25

2．农谚‘逢冬数九’讲的是, 从冬至之日起, 每九天分为一段, 依次称之为一九, 二九, , 九九, 冬至那天是一九的第一天. 2012年12月21日是冬至, 那么2013年的元旦是________九的第________天.

解析：31-21+1+1=12,12÷9=1 3，2013年的元旦是二九的第3天.

3．某些整数分别被除后, 所得的商化作带分数时, 分数部分分别是, 则满足条件且大于1的最小整数是________.

解析：设整数为A, 分别被除后, 所得的商分别为35795791122223579357957911AAAA; 57911357952572792911211当A-1是[3，5，A 1 (A 1)A 1 (A 1)A 1 (A 1)A 1 (A 1)显然，333555777999

7，9]的时候满足题意。所以A-1=315，A=316。

4．如右图, 在边长为12厘米的正方形ABCD中, 以AB为底边作腰长为10厘米的等腰三角形PAB. 则三角形PAC的面积等于________平方厘米.

解析:过P点做PE⊥AB,由于三角形PAB为等腰三角形，所以AE=EB=6cm。

2222根据勾股定理：PE=10-6=64=8，所以PE=8cm。

22E S△PAB=12×8÷2=48cm，S△PCB=12×6÷2=36cm，

2S△PAC=48+36-12×12÷2=12 cm。

5．有一筐苹果, 甲班分, 每人3个还剩11个; 乙班分, 每人4个还剩10个; 丙班分, 每人5个还剩12个. 那么这筐苹果至少有________个.

解析：11≡2（mod3）=2；10≡2（mod4）=2；12≡5（mod5）=2，所以苹果数除以3,4,5都余2，

[3，4，5]=60, 这筐苹果至少有60+2=62个.

6．两个大小不同的正方体积木粘在一起, 构成右图所示的立体图形, 其中, 小积木的粘贴面的四个顶点分别是大积木的粘贴面各边的一个三等分点．如果大积木的棱长为3, 则这个立体图形的表面积为________. 解析：如图所示，四个三角形面积都是1×2÷2=1，

2所以小积木一个面的面积是3-1×4=5。

这个立体图形的表面积为大积木的表面积加上小积木四个面的面积。

2所以面积为6×3+4×5=74。

7．设n是小于50的自然数, 那么使得4n+5和7n+6有大于1的公约数的所有n的可能值之和为 .

解析：设4n+5和7n+6大于1的公约数为A,则A∣(4n+5),A∣(7n+6)。(4n+5)×7，(7n+6)×4相减消去n，则差能被11整除，(4n+5)×7-(7n+6)×4=11,11是质数，所以A只能是11。（4n+5），（7n+6）都是11的倍数，为了分别找出所有的n，2×（4n+5）-（7n+6）=n+4，11∣（n+4），所以n=7,18,29,40。所以答案为7+18+29+40=94。

8．由四个完全相同的正方体堆积成如右图所示的立体, 则立体的表面上

（包

总数至少是________. 解析：将黑点数转化为1,2,3,4,5,6，根据图可知，2与4,6,3,1相邻，则2与5括底面）所有黑点的

相对，

4与6,1相邻，

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则4与3相对，1与6相对。

最左边的正方体左右两个面上是1和6，可以重叠6；

最右边的正方体重叠6；

最上面的正方体重叠5；

正中间左右两个面一起重叠7，上面重叠6。

所以正方体重叠面上的黑点最多是7+6+5+6+6=30，

立体的表面上所有黑点的总数至少是4×7×3—30=54。

二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）

9．用四个数字4和一些加、减、乘、除号和括号, 写出四个分别等于3, 4, 5和6的算式.

解析：（4+4+4）÷4=3， 4+（4-4）÷4=4，（4×4+4）÷4=5，4+（4+4）÷4=6

10．小明与小华同在小六(1)班, 该班学生人数介于20和30之间, 且每个人的出生日期均不相同. 小明说: “本班比我大的人数是比我小的人数的两倍”, 小华说: “本班比我大的人数是比我小的人数的三倍”. 问这个班有多少名学生? 解析：根据小明，小华的话可知：六(1)班人数-1是3的倍数，也是4的倍数。

[3，4]=12，所以这个班有12×2+1=25名学生

11．小虎周末到公园划船, 九点从租船处出发, 计划不超过十一点回到租船处. 已知, 租船处在河的中游, 河道笔直, 河水流速1.5千米/小时; 船在静水中的速度是3千米/小时, 划船时, 每划船半小时, 小虎就要休息十分钟让船顺水漂流. 问: 小虎的船最远可以离租船处多少千米?

解析：V顺：V逆：V水=4.5：1.5：1.5=3：1：1； 注意逆水速度等于静水速度。小虎每划船半小时,就要休息十分钟让船顺水漂流，120÷（30+10）=3，小虎休息三次，则船顺水漂流30分钟，则逆水时间里面有30分钟要和他抵消，相当于船没有动。在剩下120-30-30=60分钟里要船能回到租船处，则逆水时间和顺水时间为V顺：V逆=3:1，所以顺水时间为60÷（3+1）=15分钟。注意小虎的船最远可以离租船处，还需加上船顺水漂流10分钟的路程，

所以答案为：4.5×15÷60+1.5×10÷60=1.375km

12．由四个相同的小正方形拼成右图. 能否将连续的24个自然数分别放在图中所示的24个黑点处（每处放一个, 每个数只使用一次）, 使得图中所有正方形边上所放的数之和都相等? 若能, 请给出一个例子; 若不能, 请说明理由.

解析： 设这24个连续自然数为a，a+1，a+2， ，a+23。

注意：图中有五个正方形，五个正方形上共有16+4×8=48，仔细分析，每个数重复用了2次。假设能使得图中所有正方形边上所放的数之和都相等，且设这个和为A。

则有（a+a+1+a+2+ +a+23）×2=48a+552=5A

48≡3（mod5），552≡2（mod5），要48a+552是5的倍数，则48a除以5余3，即a要是5的倍数多1，不妨设a=5b+1，48a+552=48×5b+48+552=240b+600，所以A=48b+120

我们再来看大正方形上的16个数，即使是这24个数中最小的16个，它们的和是

5b+1+5b+2+5b+3+ 5b+16=80b+136> A=48b+120

所以不能使得图中所有正方形边上所放的数之和都相等。

三、解答下列各题（每小题 15分，共30分，要求写出详细过程）

13．用八个右图所示的2×1的小长方形可以拼成一个4×4的正方形. 若一个拼成的正方形图形经过旋转与另一个拼成的正方形图形相同, 则认为两个拼成的正方形相同. 问: 在所有可能拼成的正方形图形中, 上下对称、第一行有两个空白小方格且空白小方格相邻的图形有多少种?

代替

因为的正方形图形中, 上下对称，而所给图形上下不对称（第二层，第三层只能横拼，不能竖拼），所以只需考虑一、二层2×4的长方形。分两个空白正方形在三、四列（两个空白正方形在一、二列旋转可得到两个空白正方形在三、四列的情况）和两个空白正方形在二、三列两种情况。

所以答案为五种。

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14．

不为零的自然数n，既是2010个数字和相同的自然数之和, 也是2012个数字和相同的自然数之和, 还是2013个数字和相同的自然数之和, 那么n最小是多少?

解析：数论。根据题意有n=2010A=2012B=2013C。能把数字和和数联系起来的数是能被3或9整除的数。明白一个结论，求一个数能否被3或9整除， 将这个数按数位截成若干个数或拆成若干个数，若若干个数的和能被3或9整除，则这个数能被3或9整除。例：求12346789101112 2013能否被9整除，只需求1+2+ +2013的和能否被9整除。

显然2010,2013都是3的倍数，则n是3的倍数，2012B是3的倍数。根据非零自然数，B最小为3，则n最小为6036。 检验：x+y=2010 3x+12y=6036,x=2008,y=2（数字和也可以为2）

c+d=2013 10c+d=6036 c=447,d=1566(数字和等于2和3没有可能)

6036=2012×3=2008×3+12×2 =10×447+1566×1

总数n最小值为6036.