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2006年苍南县高一数学竞赛试题

一、选择题(每小题5分, 共40分, 每题仅有一个正确答案)

1.已知函数f(x)满足f(2)=log2x|x|, 则f(x)的解析式是( ) x |x|

A.2 x B.log2 x C. log2 x D.x 2

2.已知f(x)=1- x2(-1≤x≤0), 函数y=f(x+1)与y=f(3-x)的图象关于直线l 对称, 则直线l的方程为( )

A.x=2 B.x=1 C.x=1 D.x=0 2

3.设f(x)是R上的奇函数, 且在(0, +∞)上递增, 若f(

取值范围是( )

A.x＞2或1)=0, f(log4x)＞0, 那么x的 2111＜x＜1 B.x＞2 C.＜x＜1 D.＜x＜2 222

4.已知定义域为R的函数y=f(x)在(0, 4)上是减函数, 又y=f(x+4)是偶函数, 则( )

A. f(5)＜f(2)＜f(7) B. f(2)＜f(5)＜f(7)

C. f(7)＜f(2)＜f(5) D. f(7)＜f(5)＜f(2)

5.若不等式2x2+ax+2≥0对一切x∈(0,1]成立, 则a的最小值为( ) 2

A.0 B. 4 C. 5 D. 6

6.已知定义域为R的函数f(x)满足f(-x)= -f(x+2), 且当x＞1时, f(x)单调递增. 如果x1+x2＜2, 且(x1-1)(x2-1)＜0, 则f(x1)+f(x2)的值( )

A.恒大于0 B.恒小于0 C.可能为0 D.可正可负

7.若函数f(x)=25 |x+5| -4×5 |x+5| +m的图象与x轴有交点, 则实数m的取值范围是( )

A.m＞0 B.m≤4 C.0＜m≤4 D.0＜m≤3

8.对定义在区间[a, b]上的函数f(x), 若存在常数c, 对于任意的x1∈[a, b]有唯一的x2∈[a, b], 使得f(x1) f(x2)=c成立, 则称函数f(x)在区间[a, b]上的“均值”为c. 那么, 2

函数f(x)=lgx在[10, 100]上的“均值”为( )

A.133 B.10 C. D.4210

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二、填空题(每小题5分, 共30分)

9.已知集合A={x | 4 2k＜x＜2k 8}, B={x | k＜x＜k},

若A ≠B, 则实数k的取值范围是____________________

10.若函数y=loga(2x2+ax+2)没有最小值, 则a的所有值的集合是_________________

11.集合P={x|x=2n 2k, 其中n, k∈N, 且n＞k}, Q={x|1912≤x≤2006, 且x∈N}, 那么, 集合P∩Q中所有元素的和等于_________

log81x log64y 4 x x1 x x212.已知方程组 的解为 和 , log81 log64 1y yy yy2 1 x

则log18(x1 x2 y1 y2)=________ xx13.若关于x的方程4+2m +5=0至少有一个实根在区间[1, 2]内,

则实数m的取值范围是_________________

14.设card(P)表示有限集合P的元素的个数. 设a=card(A), b=card(B), c=card(A∩B),

aba+b cc且满足a≠b, (a+1)(b+1)=2006, 2+2=2+2, 则max{a, b}的最小值是______

三、解答题(每题10分, 共30分)

15.设函数f(x)=|x+1|+|ax+1|.

(1)当a=2时, 求f(x)的最小值;

(2)若f(-1)=f(1), f(-11)=f()(a∈R, 且a≠1), 求a的值 aa

16.设函数f(x)的定义域是(0, +∞), 且对任意的正实数x, y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立. 已知f(2)=1, 且x＞1时, f(x)＞0.

(1)求f(

(3)解不等式f(x2)＞f(8x 6) 1.

17.已知函数f(x)=loga (ax2 x+

1)的值; (2)判断y=f(x)在(0, +∞)上的单调性, 并给出你的证明; 21)在[1, 2]上恒为正数, 求实数a的取值范围. 2

(洪一平命题, 后附参考答案)

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参考答案

1.C 2.B 3.A 4.A 5.C 6.B 7.D 8.D 13.[ 21, 2] 4

3x 2, x 1 1 15.(1)当a=2时, f(x)=|x+1|+|2x+1|= x, 1 x 2 1 3x 2, x 2

111时, f(x)递减, 故f(x)＞f( )=, 222

1111 当x≥ 时, f(x)递增, 故f(x)≥f( )=, 因此, f(x)的最小值为 2222 ∴当x≤ 1时, f(x)递减, 故f(x)≥f( 1)=1, 当 1＜x＜

(2)由f( 1)=f(1)得 2+|a+1|=|1 a| (*), 两边平方后整理得|a+1|= (a+1) ∴ a≤ 1 ①

同理, 由f(-

1111)=f()得2+|+1|=|1 |, 对比(*)式可得 aaaa1≤ 1 ∴ 1≤a＜0 ② a

由①②得a= 1

111, 得f(1)=f(2)+f(), 故f()= 1 222

xx (2)设0＜x1＜x2, 则f(x1) +f(2)=f(x2) 即f(x2) f(x1)=f(2), x1x1

xx∵2＞1, 故f(2)＞0, 即f(x2)＞f(x1) 故f(x)在(0, +∞)上为增函数 x1x1

11 (3)由f(x2)＞f(8x 6) 1得f(x2)＞f(8x 6) +f()=f [(8x 6)], 22

3 故得x2＞4x 3且8x 6＞0, 解得解集为{x|＜x＜1或x＞3} 4

117.题设条件等价于(1) 当a＞1时, ax2 x+＞1对x∈[1, 2]恒成立; (2)当0＜a＜1时, 2

10＜ax2 x+＜1对x∈[1, 2]恒成立. 2

111113由(1)得a＞2 ( 1)2 对x∈[1, 2]恒成立, 故得a＞. x2x22x2

111 2a ( 1) 15 2x2由(2)得 对x∈[1, 2]恒成立, 故得＜a＜. 28 a 1(1 1)2 1

2x2

315 因此, a的取值范围是a＞或＜a＜ 22816.(1)令x=y=1, 则可得f(1)=0, 再令x=2, y=