自考离散数学复习资料

3.1 习题参考答案

1、写出下列集合的的表示式。

a)所有一元一次方程的解组成的集合。

A={x|x是所有一元一次方程的解组成的集合} 晓津答案：A={x| ax+b=0∧a R∧b R} b) x2-1 在实数域中的因式集。 B={1,(x-1),(x+1)|x R}

c)直角坐标系中，单位圆内（不包括单位圆周）的点集。 C={x,y| x2+y2<1 }

晓津答案：C={a(x,y)|a为直角坐标系中一点且 x2+y2<1 }

d)极坐标中，单位圆外（不包括单位圆周）的点集。 D={r,θ| r>1,0<=θ<=360}

晓津答案：D={a(r,θ)|a为极坐标系中一点且 r>1,0<=θ<=2π } e)能被5整除的整数集 E={ x| x mod 5=0}

2、判定下列各题的正确与错误。 a) {x} {x}; 正确

b) {x} {x}; 正确

晓津观点:本命题错误。理由：{x}作为一个元素是一个集合，而右边集合中的元素并不是集合。 c) {x} {x,{x}}; 正确

d) {x} {x,{x}};

正确

3、设 A={1,2,4},B={1,3,{2}},指出下列各式是否成立。 a) {2} A; b) {2} B c) {2} A d) {2} B; e) A f) A 解：jhju、晓津和wwbnb

的答案经过综合补充，本题的正确答案是：b、c、d、f成立，a，d、e不成立。

理由：a式中，{2}是一个集合，而在A中并无这样的元素。因此不能说{2}属于A，当然如果说2 A则是正确的。对于e式也应作如此理解，空集是一个集合，在A中并无这个集合元素,如f式则是正确的。空集包含于任何集合中，但空集不一定属于任一集合。 4、设A= { } ，

B= (A),问下列各题是否正确。 a) B, B 正确

b) { } B,{ } B 正确

c) {{ }} B,{{ }} B 正确

5、设A={a,{a}},问下列各题是否正确。 a) {a} (A),{a} (A); 正确

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不成立的。

b) {{a}} (A),{{a}} (A); 正确

c) 设A={a,{b}},a),b) 是否正确。 a 和 b都正确

晓津答案：如此则a),b)均不正确。此时, (A)={ ，{a},{{b}},{a,{b}}}。除了a式的前半句正确，其他的都不成立，因此a),b)式均不成立。

6、设某集合有101个元素，试问： a) 可构成多少个子集； 2n个元素 (子集吧)

b) 其中有多少个子集元素为奇数； 其中有 2n-1 个子集元素为奇数

晓津不同意见：我认为这个答案不成立,如集合有3个元素，则它的幂集中有5个子集中元素个数为奇数，而不是7个。可是我也还没找到这个式子。 sphinx提供的答案是2100

，可通过多项式分解找到规律，空集不算。 晓津想，应该算上，若算上则是2n-1+1 c) 是否有102个元素的子集。 无

3.2习题答案

1、给定自然数集合N的下列子集：

A={1,2,7,8} B={i|i^2<50}={0,1,2,3,4,5,6,7}

C={i|i可被3整除 0 i 30}, ={0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30} D={i|i=2^K,K Z+,1 K 6}={2,4,8,16,32,64} 求下列各集合。 a) A∪(B∪(C∪D));

={2,4,8,16,32,64,0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,1,5,7} b) A∩(B∩(C∩D)); =A∩(B∩ }= c) B-(A∪C);

=B-{0,1,2,7,8,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30} ={4,5}

d) (～A∩B)∪D

={8}∪D={2,4,8,16,32,64}

晓津补充:这里的(～A∩B)应当等于(B-A)而不是(A-B), 所以最终的答案是：{0,3,4,5,6}∪D={0,2,3,4,5,6,8,16,32,64} 2、a)如果对于一切集合，有X∪Y=X，则Y=φ 证明： X∪Y={i|i X∨i Y}=X {i|i X∨i Y}=X

{i|i X∨i Y}={i|i X} 由此可见：Y=φ 晓津的证明：

必要性：设Y≠φ 则Y中必有一个以上元素。若有一个元素y,y Y∧y X 则有X∪Y≠X 这与前提矛盾。 充分性： 若Y=φ

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本题要注意Y有时包含于X的，若用命题表达式论证，应用到量词。 b)证明对所有集合A，B和C，有：(A∩B)∪C=A∩(B∪C); iffC A。 (A∩B)∪C={i|(i A∧i B)∨i C} A∩(B∪C)={i|i A∧(i B∨i C)}

(i A∧i B)∨i C = i A∧(i B∨i C) 因为 iffC A

所以 i A∨i C=i A

得证：(A∩B)∪C=A∩(B∪C)

晓津证明：本题也要进行双向的证明，一个是必要性，一个是充分性，这才能得出当需的结论。 证：充分性： 若C A

则(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)=A∩(B∪C)=右边。 必要性：

假设C不包含于A内，则C中必有一个以上元素x A，则A∪C≠A可得 (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)≠A∩(B∪C)

假设与前提矛盾，因此假设不成立，C应当包含于A内。 3、证明对任意集合A，B，C，有： a) (A-B)-C=A-(B∪C);

证明： (A-B)-C={x| x A∧x B}-C ={x| x A∧x B∧x C} ={x|

x A∧x ～B∧x ～C}

={x| x A∧x (～B∩～C)} ={x| x A∧x ～(B∪C)} =A-(B∪C)

我想，本题也可以直接应用集合运算来做。 b) (A-B)-C=(A-C)-B;

(A-B)-C={x| x ((A-B)-C)} ={x| x A∧x B∧x C}

={x| x (A-C)∧x B}

=(A-C)-B c) (A-B)-C=(A-C)-(B-C)

(A-B)-C={x| x ((A-B)-C)} ={x| x A∧x B∧x C}

={x| x A∧x B∧x B∧x C} ={x| x (A-B)∧x B∧x C}

={x| x (A-B)∧x ～B∧x ～C} ={x| x (A-B)∧x (～B∩～C)} ={x|

x (A-B)∧x ～(B∪C)} ={x| x (A-B)∧x (B∪C)}

(A-C)-(B∪C) (题目是否有误？) 晓津证明：(题目并无误) 右边=(A-C)-(B-C)

=(A∩～C)∩～(B∩～C) =(A∩～C)∩(～B∪C)

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=((A∩～B)∩～C)∪Φ =(A-B)-C

=左边

4、设A，B，C是全集E的任意子集。

a)若 A∩B=A∩C,～A∩B=～A∩C,证明：B=C 晓津证明此题如下:

证明：由 A∩B=A∩C,～A∩B=～A∩C得 (A∩B)∩(～A∩B)=(A∩C)∩(～A∩C) (A∩B)∪(~A∩B)=(A∩C)∪(~A∩C) B∩(A∪~A)=A(C∪~C) 即B∩E=C∩E

因B，C是全集E的任意子 …… 此处隐藏：13520字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……