指数与指数函数试题

一、选择题

2ex1 x<2

1．设f(x)＝ ，则f(f(2))的值为 2

log(x－1) x≥2 3

－

( )

A．0 B．1 C．2 D．3

[答案] C

[解析] f(2)＝log3(22－1)＝log33＝1，则f(f(2))＝f(1)＝2e0＝2.

－

2．(文)已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝2x－1的图象关于直线y＝x对称，则f(3)的值为

( )

A．1 B．－1 C．2 D．－2 [答案] D

－

[解析] 由反函数对称性知，y＝f(x)的反函数为y＝2x－1，则设f(3)＝x，

－－

则f1(x)＝3，即2x－1＝3，得x＝－2.故选D.

＋－

(理)在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝2x1与g(x)＝21x的图象关于 ( ) A．原点对称 B．x轴对称 C．y轴对称 D．直线y＝x对称 [答案] C

＋－

[解析] y＝2x1的图象关于y轴对称的曲线对应函数为y＝21x，故选C.

log2x (x>0)1

3．已知函数f(x)＝ x，若f(a)＝a＝ ( )

2 2 (x≤0)

A．－1

C．－12 [答案] C

B.2

D．1或－2

11

[解析] 当a>0时，log2a＝，∴a＝2；当a<0时，2a＝∴a＝－1，选C.

22xx

4．若关于x的方程9＋(4＋a)·3＋4＝0有解，则实数a的取值范围是 ( ) A．(－∞，－8)∪[0，＋∞) B．(－∞，－4) C．[－8,4)

D．(－∞，－8] [答案] D

4

[解析] ∵－(4＋a)＝3x＋≥4，∴a≤－8.

3

5．(文)设a＝log0.70.8，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则a、b、c的大小顺序是 ( ) A．a<b<c B．b<c<a C．b<a<c D．c<b<a [答案] C

[解析] 因为0<a＝log0.70.8<log0.70.7＝1，b＝log1.10.9<log1.11＝0，c＝1.10.9>1.10＝1，所以选C.

(理)设a>1，且m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a－1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系为

( )

A．n>m>p B．m>p>n C．m>n>p D．p>m>n [答案] B

[解析] 由a>1得a2＋1>2a>a－1>0，loga(a2＋1)>loga(2a)>loga(a－1)． 6．(文)函数f(x)＝ln|x－1|的图象大致是 ( )

[答案] B

ln(x－1) x>1

[解析] f(x)＝ln|x－1|＝ ，∵x≠1排除A，又x>1时，f(x)为增函数，排

ln(1－x) x<1

除C、D.

(理)已知函数f(x)＝logm(x＋1)，且m>1，a>b>c>0，则

f(a)f(b)f(c)

，，的大小关系是 abc

( )

f(a)f(b)f(c)f(c)f(b)f(a)A.>> B.>> abccbaf(b)f(c)f(a)f(a)f(c)f(b)C.>> D.>> bcaacb[答案] B

f(x)

[解析] 本题考查数形结合思想，可以转化成f(x)上的点与原点连线的斜率，

x

据函数y＝log2(x＋1)的图象，设A(a，f(a))，B(b，f(b))，C(c，f(c))，显然kOA<kOB<kOC， f(a)f(b)f(c)

∴＜＜，故选B abc

7．(文)已知函数f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)＝2x－1，则f(log210)的值为 ( )

3855 C D．－ 5583[答案] A

5②8883①

[解析] f(log210)=====f(log210－4)＝f(log2)=====f(log2＝2log2－1＝－1＝85555

注：①处用周期为2，②处用f(x)为偶函数．

11－－－

(理)已知函数f(x)＝2x的反函数f1(x)满足f1(a)＋f1(b)＝4，则( )

ab

111

A．1 C. D.

324

[答案] C

－

[解析] f(x)＝2x的反函数解析式为f1(x)＝log2x， －－

∴f1(a)＋f1(b)＝log2a＋log2b＝log2(ab)＝4，

11a＋b21

∴ab＝16，，选C.

abab2

8．设0<a<b<1，且a＋b＝1，给出下列结论： ①log2(b－a)<0；②log2a＋log2b>－2；

ba③log2a>1；④log2ab<1. 其中正确结论的个数是 A．1 B．2 [答案] A

C．3

D．4

( )

1

[解析] 由已知可得0<a<<b<1，∴0<b－a<1，

2

∴log2(b－a)<0，①对；

11

log2a＋log2b＝log2(ab)＝log2[－(a－)2＋]，

24

1111a－ 2＋， ∵0<a<∴－ 2 442

11

a2＋ <－2，②错； ∴log2 － 24

log2a<0，∴③错；

abba＝2(a，b不相等取不到等号)，故log2 b＋a>log22＝1.∴④错． abab

13311334

[点评] 可用特值法，取a＝，b＝，则log2＝－1，log2log2log22＝

44444416161110

3＝log2>log22＝1，故②③④错，选A. －2；log22；log2 343

1

9．设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]a等于( )

2

2 B．2 C．22 D．4 [答案] D

1

[解析] ∵a>1，∴f(x)＝logax在[a,2a]上为增函数，∴loga2a－logaa＝，解得a＝4，故

2

选D.

10．(文)已知f(x)＝log3x＋2(x∈[1,9])，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值是 ( ) A．13 B．16 C．18 D．22 [答案] A

[解析] y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为 1≤x≤9 ，即x∈[1,3]． 2

1≤x≤9

若令t＝log3x，则t∈[0,1]，

∴y＝(t＋2)2＋2t＋2＝(t＋3)2－3，

∴当t＝1时，y取得最大值13，故选A.

(理)已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则y＝f(x)与y＝log7x的图象的交点个数为 ( )

A．3 B．4 C．5 D．6 [答案] D

[解析] ∵f(x＋2)＝f(x)，

∴f(x)是以2为周期的周期函数，

又∵x∈[－1,1]时，f(x)＝x2分别作出y＝f(x)与y＝

log7x的图象可知有6个交点，故选D.

二、填空题 11．若0<a<1，x>y>1，给出下列命题：①ax>ay ②xa>ya ③logax>logay ④logxa>logya，其中真命题的序号是________．

[答案] ②④

[解析] ∵0<a<1，x>y>1，

∴y＝ax递减，故①不正确；y＝xa递增，故②正确．y＝logax递减，故③不正确． ∵logxa<0，logya<0，

∴logxa>logya logax<logay，正确． 综上知，②④正确．

－

12．若正整数m满足10m1<2512<10m，则m＝________.(lg2＝0.3010) [答案] 155

－－

[解析] 由10m1<2512<10m，两边取以10为底的对数，则有lg10m1<lg2512<lg10m，于是m－1<512lg2<m，又因lg2＝0.3010，所以m－1<154.112<m，又m为整数，故m＝155.

log(x－1) x≥2 2

13．设函数f(x)＝ 1 x，若f(x0)>1，则x0的取值范围是________．

2 －1 x<2

[答案] (－∞，－1)∪(3，＋∞)

[解析] 若x0≥2，则log2(x0－1)>1，∴x0>3；

1若x0<2，则 2x0－1>1，∴x0<－1.

因此x0取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．

12－ax

15．已知函数f(x)＝log(a是常数且a<2)．

2x－1

(1)求f(x)的定义域；

(2)若f(x)在区间(2,4)上是增函数，求a的取值范围．

2－ax

[解析] (1)∵，∴(ax－2)(x－1)<0，

x－1

①当a<0时，函数的定义域为 －∞，2∪(1，＋∞)；

a

②当a＝0时，函数的定义域为(1，＋∞)；

21. ③当0<a<2时，函数的定义域为 a(2)∵f(x)在(2,4)上是增函数，

2－ax

∴只要使在(2,4)上是减函数且恒为正即可．

x－1

2－ax

令g(x)＝

x－1

2

1°当a＝0时，g(x)＝在(2,4)递减，且g(4)>0满足题意；

x－1

2°当a≠0时，显然a≠2，

－a(x－1)－(2－ax)

解法一：g′(x)＝(x－1)a－2＝ (x－1)∴当a－2<0，即a<2时，g′(x)≤0. ①a<0时，g(4)>0满足题意；

21

②0<a<2时，必有≥4，∴0<a≤.

a2

1－∞，. 综上所述，a∈ 2

2－ax2－a

解法二：∵g(x)＝a＋

x－1x－12－a

∴要使g(x)＝－a＋(2,4)上是减函数，只需2－a>0，∴a<2，

x＋1

以下步骤同解法一．

1 x2

16．已知函数f(x)＝ ，x∈[－1,1]，函数g(x)＝f (x)－2af(x)＋3的最小值为h(a)． 3 (1)求h(a)；

(2)是否存在实数m、n，同时满足以下条件： ①m>n>3；

②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]．若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．

1x

[分析] (1)由f(x)＝ 3的单调性可求出f(x)的值域，g(x)是以f(x)为变元的二次函数，1x

令t＝ 3，可求关于t的二次函数的最小值h(a)．

(2)由(1)知当m>n>3时h(a)的表达式，考察h(a)在[n，m]上的单调性，结合其值域[n2，m2]，可列出关于m，n的方程组求解m，n，如果有解则所求实数m，n存在，否则不存在．

1x 1

[解析] (1)因为x∈[－1,1]，所以 3∈ 3，3 . 1x

13 ，则g(x)＝φ(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2. 设 ＝t，t∈ 3 3

1282a1

当ah(a)＝φ3＝9－3； 31

当≤a≤3时，h(a)＝φ(a)＝3－a2； 3

当a>3时，h(a)＝φ(3)＝12－6a.

1所以h(a)＝ a≤3 3－a 3

12－6a (a>3)

2

282a 1 －a<93 3

.

(2)因为m>n>3，a∈[n，m]，所以h(a)＝12－6a.

因为h(a)的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，且h(a)为减函数，

2

12－6m＝n所以 2，两式相减得6(m－n)＝(m－n)(m＋n)，因为m>n，所以m－n≠0， 12－6n＝m

得m＋n＝6，但这与“m>n>3”矛盾，故满足条件的实数m，n不存在．

[点评] 解题关键在于利用换元的思想方法，将问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题，然后通过分类讨论求出函数的最值．对于存在性问题，往往是首先假设符合条件的参数存在，然后根据给出的条件进行推理求解，若不能推出矛盾，则说明符合要求的参数存在，否则说明符合要求的参数不存在．

17．(文)已知函数f(x)＝|log2(x＋1)|，实数m，n在其定义域内，并且m<n，f(m)＝f(n)． (1)求证：m＋n>0；

m＋n与f m＋n 的大小，并说明理由．

(2)试比较f

m－n n－m

[解析] (1)证明：法1：由f(m)＝f(n)得 |log2(m＋1)|＝|log2(n＋1)|，

∴[log2(m＋1)]2－[log2(n＋1)]2＝0， ∴[log2(m＋1)＋log2(n＋1)]·[log2(m＋1)－log2(n＋1)]＝0. ∵m<n，∴m＋1<n＋1，

∴log2(m＋1)－log2(n＋1)≠0，

∴必有log2[(m＋1)(n＋1)]＝0，∴(m＋1)(n＋1)＝1，① 又0<m＋1<n＋1，∴0<m＋1<1<n＋1， ∴m<0<n，∴mn<0.

由①得mn＋m＋n＝0，∴m＋n＝－mn>0. 法2：同法1得(m＋1)(n＋1)＝1， 而0<m＋1<n＋1， (m＋1)＋(n＋1)∴(m＋1)·(n＋1)＝1，

2

∴m＋n＋2>2，∴m＋n>0.

m＋n＝ log m＋n＋1

(2)解：法1：f

m－n 2 m－n 2m －2m .

＝ log2m－n＝ log2

n－m

由(1)知n>－m>0，∴2n>n－m>－2m>0，

－2m2n∴0<<1且，

n－mn－m

m＋n＝－log－2m＝logn－m. ∴f 22

n－m－2m m－n

m＋n＝ log m＋n1 f n－m 2 n－m

2n2n

＝ log2n－m＝log2. n－mn－m(n－m)2＋4mn(n＋m)22n∵＝， －2mn－m－2m(n－m)－2m(n－m)n－m2n m＋n>f m＋n. ∴，∴f －2mn－m m－n n－m 法2：由(1)知n>0，m<0，

m＋n

∴n－m>n＋m>0,0<，

n－m

m＋n＝ log －m＋n＋1 f m－n 2 n－m

m＋n ＋1 ＝log2＝－log2

n－m 而f

1

， m＋n1－

n－m

m＋n＝ log m＋n＋1 ＝log 1＋m＋n .

2 n－m 2 n－m n－m m＋n2，

∵1>1－ n－m

m＋nm＋n1

两边同除以1－>1＋，

n－mm＋nn－m

1n－m

1 m＋n ，

∴log2>log2 1＋ m＋n n－m

1－

n－m

m＋n>f m＋n. ∴f m－n n－m

(理)函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1. (1)求证：f(x)是R上的增函数；

(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3. [分析] 欲证f(x)为增函数，即证x2>x1时，f(x2)>f(x1)．由已知x>0时，f(x)>1，∴x2－x1>0时，f(x2－x1)>1，再结合条件．f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，有f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)

＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0. [解析] (1)证明：设x1、x2∈R，且x1<x2， 则x2－x1>0，∴f(x2－x1)>1.

f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1) ＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1) ＝f(x2－x1)－1>0，

∴f(x1)<f(x2)，即f(x)是R上的增函数． (2)解：f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5， ∴f(2)＝3.∴不等式即为f(3m2－m－2)<f(2)． ∵f(x)是增函数，

4

于是有3m2－m－2<2，解得－1<m3

4－1. 因此不等式的解集为 3 x

18．已知函数f(x)＝log4(4＋1)＋kx(k∈R)是偶函数． (1)求k的值；

4a·2x－a ，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的(2)设g(x)＝log4 3

取值范围．

[解析] (1)由函数f(x)是偶函数可知：f(x)＝f(－x)，

－

∴log4(4x＋1)＋kx＝log4(4x＋1)－kx，

4x＋1

∴log4－＝－2kx，即x＝－2kx对一切x∈R恒成立，

4＋11

∴k＝－.

2

(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，

41

a·2x－a 有且只有一个实根， 即方程log4(4x＋1)－x＝log4 3 2

14

即方程2x＋a·2x－a有且只有一个实根，

23

4

令t＝2x>0，则方程(a－1)t2－at－1＝0有且只有一个正根，

3

3

①a＝1时，t＝－，不合题意；

4

3

②a≠1时，由Δ＝0得a3，

4

3

若a＝t＝－2不合题意；

4

1

若a＝－3，则t＝满足要求；

2

若Δ>0，则此时方程应有一个正根与一个负根， －1∴，∴a>1， a－1

3

由Δ>0得，a<－3或a>，∴a>1.

4

综上，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．

[点评] 函数与方程思想是高中数学中一种重要的思想方法，也是高考考查的热点．利用这种思想可以将函数与方程的问题相互转化．本例中，将两个函数图象只有一个公共点转化为相应的方程只有一个实数根进行求解，使问题的解决变得简单易行．