第1章应用时间序列分析—差分方程(东北财经大学)

应用时间序列分析

---现代时间序列分析的最新方法

王雪标

东北财经大学 数学与数量经济学院

第一章 差分方程

统计程序主要是用来处理从独立试验或调查而得到的数据：xi,i 1,2, ,n。与顺序无关。一个时间序列是按照时间参数而排列的数值序列。如，每月失业人数，每年GDP，…，等等。

对一些序列来说，在每时刻都可做观测，并得到一列数据。这时称为连续时间序列，记x(t)。然而，在经济学中，大多数数据都是经过等时间长度做观测而得到的。如，每小时，每天，每周，每月，每季度，每年。这样形成离散时间序列，记xt。

一个观测到的序列xt可看作是一个随机过程的实现。在统计学中我们主要分析来自总体的样本，而在时间序列分析中我们主要分析来自随机过程的观测序列（实现）。时间序列分析的基本目的是对随机过程的基本特征、性质做推断。因而，时间序列经济学家的主要任务是利用经济数据，建立相对简单的模型，对经济现象进行解释、假设检验和预测。在分析中的第一步通常是形成一个统计量。最终目的是利用数据构造模型，这个模型与随机过程的生成机制有类似的性质。

因此他们建立了一系列分析方法，将序列分解为趋势性部分、季节性部分、周期性部分和不规则性部分。

趋势性方程：Tt 1 0.1t 季节性方程：St 1.6sin(t 6) 无规则性方程：It 0.7It 1 t

t为t期随机扰动项。

这三个方程是典型的差分方程。一般来说，差分方程是指一个变量的值表示成这个变量滞后值、时间和其它变量的函数。趋势和季节项是时间的函数，不规则项是它本身滞后项和随机变量 t的函数。时间序列分析主要处理、估计含有随机元素的差分方程。估计单个序列或向量（包含许多相关的序列）的一些性质。

含有随机元素的差分方程通常假设有下面形式：

t处值=t 1处值的期望+误差项

误差项通常取为白噪声序列。如果将t 1处值的期望取为t 1期值的固定比例，这时就是一阶自回归。如果将t 1处值的期望取为过去值的加权平均，这时就是高阶自回归。

线性差分方程（p阶）

p

yt

j 1

j

yt j t

这个差分方程的一般解是

yt y1t y2t

这里y1t是齐次方程a(B)yt 0的解，y2t b(B) t是特解。这里的滞后算子表示为：

p

a(B) 1 jB，b(B) 1a(B)

j 1

j

对于一阶齐次方程

yt yt 1

t

则，解为yt A ， A是依赖于初值的常量。

对于二阶齐次方程

yt 1yt 1 2yt 2

则，可能的解的形式为

tt

yt A1 1 A 22

t 1 2t 1 2 1 1

代回方程得 A1 1(1 1 1 2 1) A2 2(1 1 2 2 2) 0，如果 1, 2是方

2t

程a(z) 1 1z 2z 0的根，则yt A1 1 A2 t2

确实是方程yt 1yt 1 2yt 2的

解。可利用初值的条件，确定A1,A2。 对于一般的p阶方程

p

yt

j 1

tk

j

yt 1

p

有解 yt

k 1

Ak

这里 k 1是方程a(z) 0的根（假设没有重根）。如果 k 1是复根，则有共轭对应，形为

Bkcos(kt k)，对于充分大的t，解的形式将由A00

t

t

所控制，

0 max(k,k 1,2, ,p)。 如果0 1，解是平稳的。如果0 1，解是爆炸性的。 解是平稳的充分必要条件是：a(z) 0的根在单位园z 1之外，把它称为平稳性条件。

本课程将介绍一维和多维时间序列的预测方法；介绍如何估计时间序列的不规则部分；当数据显示波动和相对平滑时，方差如何估计；趋势的估计（趋势是确定性的还是随机性的）；随机向量差分方程的特征性质；多维模型中趋势的估计。

虽然时间序列分析的主要内容是预测，经济学的动态变化使时间序列分析又有新的应用。许多经济理论有随机差分方程表示。而且，许多重要经济变量的时间路径都具有可检验性。

看下面三个例子：

1．随机游动假说：

随机游动模型解释了股票每天价格的变化应该有零均值。如果已知在t天买一份股票，在下一天卖掉可以得到预期的利润的话，那么大量投机就会驱使现价上涨。同样，如果一份股票预期要贬值，没人会想持有这个股票。这个模型认为：股票价格应当满足随机差分方程 yt 1 yt t 1

或 yt 1 t 1

这里 yt 在t天一份股票的价格 t 1 有零均值的随机扰动项。

现在考虑更一般的随机差分方程 yt 1 0 1yt t 1

检验随机游动假设就是检验限制条件 0 1 0，拒绝这个限制等价于拒绝随机游动假说。

2．导出（reduced）型方程和结构方程：

将一个差分方程组分解成几个单方程模型是有用的。为了说明这个重要问题，考虑Samuelson (1939)的经典模型：

yt ct it （1.1） ct yt 1

ct

, 0 1 , (1.2)

it (ct ct 1) it,

0 (1.3)

这里yt,ct和it表示在t期实际GDP、消费和投资。在这个Keynesian模型中，yt,ct和it是内生变量。前一期GDP yt 1 和前一期消费ct 1被称为前定的或滞后的内生变量。 ct, it称为消费和投资的零均值扰动项， , 是要估计的参数。

第一个方程说明：总产出（GDP）等于消费与投资之和。第二个方程说明：消费等于前一 …… 此处隐藏：3267字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……