应用时间序列分析

---现代时间序列分析的最新方法

王雪标

东北财经大学 数学与数量经济学院

第一章 差分方程

统计程序主要是用来处理从独立试验或调查而得到的数据：xi,i 1,2, ,n。与顺序无关。一个时间序列是按照时间参数而排列的数值序列。如，每月失业人数，每年GDP，…，等等。

对一些序列来说，在每时刻都可做观测，并得到一列数据。这时称为连续时间序列，记x(t)。然而，在经济学中，大多数数据都是经过等时间长度做观测而得到的。如，每小时，每天，每周，每月，每季度，每年。这样形成离散时间序列，记xt。

一个观测到的序列xt可看作是一个随机过程的实现。在统计学中我们主要分析来自总体的样本，而在时间序列分析中我们主要分析来自随机过程的观测序列（实现）。时间序列分析的基本目的是对随机过程的基本特征、性质做推断。因而，时间序列经济学家的主要任务是利用经济数据，建立相对简单的模型，对经济现象进行解释、假设检验和预测。在分析中的第一步通常是形成一个统计量。最终目的是利用数据构造模型，这个模型与随机过程的生成机制有类似的性质。

因此他们建立了一系列分析方法，将序列分解为趋势性部分、季节性部分、周期性部分和不规则性部分。

趋势性方程：Tt 1 0.1t 季节性方程：St 1.6sin(t 6) 无规则性方程：It 0.7It 1 t

t为t期随机扰动项。

这三个方程是典型的差分方程。一般来说，差分方程是指一个变量的值表示成这个变量滞后值、时间和其它变量的函数。趋势和季节项是时间的函数，不规则项是它本身滞后项和随机变量 t的函数。时间序列分析主要处理、估计含有随机元素的差分方程。估计单个序列或向量（包含许多相关的序列）的一些性质。

含有随机元素的差分方程通常假设有下面形式：

t处值=t 1处值的期望+误差项

误差项通常取为白噪声序列。如果将t 1处值的期望取为t 1期值的固定比例，这时就是一阶自回归。如果将t 1处值的期望取为过去值的加权平均，这时就是高阶自回归。

线性差分方程（p阶）

p

yt

j 1

j

yt j t

这个差分方程的一般解是

yt y1t y2t

这里y1t是齐次方程a(B)yt 0的解，y2t b(B) t是特解。这里的滞后算子表示为：

p

a(B) 1 jB，b(B) 1a(B)

j 1

j

对于一阶齐次方程

yt yt 1

t

则，解为yt A ， A是依赖于初值的常量。

对于二阶齐次方程

yt 1yt 1 2yt 2

则，可能的解的形式为

tt

yt A1 1 A 22

t 1 2t 1 2 1 1

代回方程得 A1 1(1 1 1 2 1) A2 2(1 1 2 2 2) 0，如果 1, 2是方

2t

程a(z) 1 1z 2z 0的根，则yt A1 1 A2 t2

确实是方程yt 1yt 1 2yt 2的

解。可利用初值的条件，确定A1,A2。 对于一般的p阶方程

p

yt

j 1

tk

j

yt 1

p

有解 yt

k 1

Ak

这里 k 1是方程a(z) 0的根（假设没有重根）。如果 k 1是复根，则有共轭对应，形为

Bkcos(kt k)，对于充分大的t，解的形式将由A00

t

t

所控制，

0 max(k,k 1,2, ,p)。 如果0 1，解是平稳的。如果0 1，解是爆炸性的。 解是平稳的充分必要条件是：a(z) 0的根在单位园z 1之外，把它称为平稳性条件。

本课程将介绍一维和多维时间序列的预测方法；介绍如何估计时间序列的不规则部分；当数据显示波动和相对平滑时，方差如何估计；趋势的估计（趋势是确定性的还是随机性的）；随机向量差分方程的特征性质；多维模型中趋势的估计。

虽然时间序列分析的主要内容是预测，经济学的动态变化使时间序列分析又有新的应用。许多经济理论有随机差分方程表示。而且，许多重要经济变量的时间路径都具有可检验性。

看下面三个例子：

1．随机游动假说：

随机游动模型解释了股票每天价格的变化应该有零均值。如果已知在t天买一份股票，在下一天卖掉可以得到预期的利润的话，那么大量投机就会驱使现价上涨。同样，如果一份股票预期要贬值，没人会想持有这个股票。这个模型认为：股票价格应当满足随机差分方程 yt 1 yt t 1

或 yt 1 t 1

这里 yt 在t天一份股票的价格 t 1 有零均值的随机扰动项。

现在考虑更一般的随机差分方程 yt 1 0 1yt t 1

检验随机游动假设就是检验限制条件 0 1 0，拒绝这个限制等价于拒绝随机游动假说。

2．导出（reduced）型方程和结构方程：

将一个差分方程组分解成几个单方程模型是有用的。为了说明这个重要问题，考虑Samuelson (1939)的经典模型：

yt ct it （1.1） ct yt 1

ct

, 0 1 , (1.2)

it (ct ct 1) it,

0 (1.3)

这里yt,ct和it表示在t期实际GDP、消费和投资。在这个Keynesian模型中，yt,ct和it是内生变量。前一期GDP yt 1 和前一期消费ct 1被称为前定的或滞后的内生变量。 ct, it称为消费和投资的零均值扰动项， , 是要估计的参数。

第一个方程说明：总产出（GDP）等于消费与投资之和。第二个方程说明：消费等于前一期的GDP的比例加上随机扰动项。第三个方程是加速原理：投资和消费变化成比例，消费的增长促使了新的投资。误差项 ct, it代表了这个方程不能解释的消费和投资部分。

方程（1.1）是结构方程（内生变量与其它内生变量当期之间的关系），内生变量it依赖于其它内生变量ct、it的现期实现。

导出型方程是将一个内生变量表示成它的滞后值、其它内生变量的滞后值、外生变量的现值和滞后值及扰动项的方程。按此说法，消费函数（1.2）是导出型：现期消费只依赖于滞后收入和随机扰动项 ct的现期值。投资方程（1.3）不是导出型，因为它依赖于现期消费。

为了得到投资的导出型方程，将（1.2）代人投资方程中，得 it [ yt 1 ct ct 1] it yt 1 ct 1 ct it

注意，上方投资的导出型方程不是唯一的。可以将（1.2）滞后一期获得ct 1 yt 2 ct 1，利用这个表达式，导出型投资方程可写成

it (yt 1 yt 2) ( ct ct 1) it （1.4） 同样，对于GDP的导出型方程可通过将（1.2），（1.4）代人（1.1）中，得

yt (1 )yt 1 yt 2 (1 ) ct it ct 1 （1.5） 方程（1.5）是一维导出型方程；yt可表示成本身的滞后项和扰动项的函数。一维模型对于预测是非常有用的，因为，你可以用现值和过去值进行预测。利用一维时间序列的技术可以估计（1.5）。一旦你获得了 和 的估计，利用y1到yt的观测值，可以预测序列的所有将来值（yt 1,yt 2,...)

第5章考虑多维模型（所有变量被认为是联合内生的），也讨论由导出模型推出结构型模型的限制条件。

3、误差修正：远期和现金交易价格

某种商品和金融工具在现期市场中或将来的某一时刻能被买和卖，例如，假设在现期市场某种外汇的价格是st美元，远期价格是ft美元。到t+1期，投机者得到外汇，并付ft美元。因为现期汇率可以st 1的价格卖，投机者能挣的利润是 st 1 ft

无偏的远期利率(UFR)假设认为这种投机行为的预期利润为零。远期、现期汇率有下面关系：

st 1 ft t 1 (1.6) 这里 t 1有零均值。

在（1.6）中，t期的远期汇率是t+1期现期汇率的无偏估计。因此，假如你收集到了这两种数据，并估计了回归方程

st 1 0 1ft t 1

如果你能断定 0 0, 1 1，回归残差 t 1有零均值，则UFR假设成立。

当 t 1=0时，远期和现期市场被说成是长期均衡。只要st 1偏离ft时，在下一期将会有一些必要的调整，以恢复均衡。 考虑调整过程：

st 2 st 1 [st 1 ft] st 2, ft 1 ft [st 1 ft] ft 1.这里， st 2, ft 1均值都为零。

方程（1.7），（1.8）说明了联立调整机制，这个动态模型被称为误差修正模型。因为，变量与前一期偏离长期均衡的偏差有关。如果现期汇率st 1等于远期汇率ft，（1.7），（1.8）说明：现期汇率与远期汇率预期不变。如果现期汇率与远期汇率之间有正偏差，

st 1 ft 0，则（1.7），（1.8）说明：现期汇率将下降，远期汇率将上升。

0 （1.7） 0 （1.8）

4．蛛网模型

为了说明差分方程，我们举一个传统的蛛网模型的一种随机形式来说明农产品价格的波动性。如小麦价格由下面供需决定：

dt a pt,

0

0

st b pt t,

st dt

这里dt t期小麦的需求

st t期小麦的供给 pt t期小麦的市场价格 pt 农民对t期小麦的预期价格

t 零均值的随机供给冲击。

参数a,b, , 0,且a b (a b保证均衡价格为正）

假设消费者可按市场价任意购买小麦。在种植期，农民不知道小麦在收割时的价格，他们的供给依赖于预期价格p ，与实际小麦市场不同，这里不允许有囤积。蛛网模型的关t键是农民使用上期价格作为市场价格的预期

pt pt 1

点E代表长期均衡价格和消费量。在这个随机模型中的均衡概念不同于传统的蛛网模型。如果这个系统是稳定的，价格会趋于E点。但随机均衡是指供给冲击使系统偏离E点。但解出长期均衡价格是有用的。如果令{ t}都为0，pt pt 1 p 供给=需求，长期均衡价格为 p (a b)/( )

同样，均衡量（供给，需求）为 (a b)/( )

为了分析这个系统的动态，我们假设农民在t期生产均衡数量s。但是，有一个负的供给冲击，使实际生产量为st，点1，为了简单，假设这供给冲击的后续值都为零。

（ t 1 t 2 0)。在t+1期时，pt 1 pt。他们生产st 1，点2。但，当价格降到pt 1

时，消费者愿意买st 1，点3。重复这个过程，直到达点E。

价格

b pt 1 t a pt 或 pt (

)pt 1 (a b)/ t/ t

这是一阶线性差分方程。为了得到一般解：

1、 解齐次方程 pt A(

),A是任意常数。

t

2、 如果 / 1，则由迭代，有

a b

1

pt

（-i 0

t i

i

如果 / 1，上式不收敛。 3、 一般解为: pt

a b

1

(

i 0

/ ) t i A( / )

it

4、 如果我们知道在某个初始期的价格，则我们可确定A。因为一般解对每期都成立，所以

p0

a b

1

(

i 0

/ ) i A( / )

i0

因而可求出A，可得

pt

a b

1

t 1

i 0

( / ) t i (

i

)(p0

t

a b

) （1.4.1）

我们可用图形解释上式。为了考虑系统的稳定性，可以暂时假设{ t}都为零，然后再考虑供给冲击的效应。如果系统从长期均衡开始，初始条件是p0 (a b)/( )，则考察上式，有pt (a b)/( )。因此，过程从E点开始，则保持在均衡点。如果过程从低于长期均衡价格开始p0 (a b)/( )，则（1.4.1）说明 p1 (a b)/( ) 在第2期 p2 (a b)/( ) (

)[p0

2

a b

]

因此，p2 (a b)/( )。类似地，pt将振荡在长期均衡价格上下。如果 ,(

)

t

收敛到零。如果 ,(

t

)将发散。这个稳定条件的经济解释是：供给曲线的斜率

（dpt/dst)为

1

，需求曲线斜率的绝对值(-dpt/ddt)为

或 / 1时， 系统是稳定的。

1

。如果供给曲线比需求曲线更

陡峭，即1/ 1/ ,

现在考虑供给冲击效应。供给冲击对小麦价格的当期影响效应是pt对 t的偏导数：

pt t

1

（1.4.2）

这个方程被称为影响乘数，它反映了在t期的变化对pt的影响。 t的负值意味着价格高于均衡价格，供给每下降一个单位，价格上升1/ 单位。

供给冲击效应可持续到将来。由（1.4.1）可知

pt 1 t

1(

)

2

类似地，

pt n t

1 n

()( )

这些乘数的时间路径被称为脉冲反应函数，脉冲反应函数在时间序列分析中有重要应用，它显示了一个变量被一个随机冲击影响的整个时间路径。这里显示了小麦市场供给冲击的效

应。也可分析货币供给或产出冲击对实际GDP的影响路径。

（1.4.1）中三个部分都有明确的经济解释。(a b)/( )是长期均衡价格；如果稳定条件成立，pt趋于这个均衡值。第二部分，由于供给冲击的短期价格调整，系数递减保证了 t的变化效应是短期的。第三部分，( / )t[p0 (a b)/( )]，当 / 1时，初始价格与长期均衡的偏差趋于零。