曲线运动的基础知识和基本方法

曲线运动与万有引力知识要点

曲线运动与万有引力：用牛顿定律分析曲线运动。

1、物体做曲线运动的条件：物体的速度方向与合外力（或加速度方向）方向不共线。 对曲线运动的研究方法：运动的合成与分解。

2、合运动：观察者实际观察到的物体的运动。通常是对地的运动。 分运动：物体相对于不同的参考系的运动，通常指物体实际参与的运动。 运动的合成：求几个分运动的合运动的过程；运动的分解：求一个已知运动的分运动的过程。 渡河模型：一小河宽为d，水流速度为V1，小船相对于

静水的速度为V2，且V2>V1，则：当船头垂直于河岸时，渡河时

２２１２间最短，tmin＝d/ V1，此时，渡河位移为x＝(V1＋V2)/·d/ V2；

－１当船头朝上流与河岸成θ＝cosV1/V2时，航程最短，x＝d，此

２２１２时，渡河时间为t＝d/(V2－V1)/。

拉船模型：速度的分解要从实际情况出发。如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度拉水

平面上的物体A，当绳与水平方向成θ角时，求物体A的速度。

解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体A的两个分运动。物体A的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于

随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值。这样就可以将；二是按图示方向进行分解。所以及实际上就是的两个分速度，如图1所示，由此可得Va＝V1/cosθ＝V0/cosθ。

解法二（能量转化法）：由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。人对绳子的拉力为F，则对绳子做功的功率为；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F，则绳子对物体做功的功率为，因为所以Va＝V0/cosθ。

3、平抛运动：将物体以一定的初速度V0水平抛出，只在重力作用下的运动。 分析平抛运动的三条思路：①利用水平方向的匀速运动；②利用竖直方向的自由落体分运动；③利用位移或速度与水平方向的夹角。

平抛运动是一种典型的匀变速曲线运动，加速度恒为g，速度的变化在竖直方向上且任意相等的时间内速度的变化相等。

水平位移x＝v0t 竖直位移y＝gt2/2 水平分速度vx＝v0 竖直分速度vy＝gt

２２１２－１２１２－１ 合速度V＝(Vx＋Vy)/ θ＝tanVy/Vx 合位移X＝(v02t＋g2t4/4)/ α＝tangt/2V0

4、圆周运动：如果物体运动的轨迹为圆或圆弧，则该运动叫圆周运动。 线速度：物体通过的圆弧长度与所用时间的比值。（当所选时间趋向于0时，线速度就是物体的

瞬时速度。）线速度是矢量，与半径垂直，沿轨迹的切线方向，用来描述物体运动快慢。 角速度：物体与圆心的连线所扫过的圆心角与所用时间的比值。描述物体绕同中心转动快慢。 周期：做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫周期；频率：物体单位时间（1s内）内做完整的

圆周运动的次数叫频率，单位：赫兹。周期与频率互为倒数。 转速：物体单位时间（1s内或1min内）内做完整的圆周运动的次数叫转速。

5、匀速圆周运动：做圆周运动的物体，在任意相等的时间内，通过的弧长相等或半径扫过的圆心角

相等。匀速圆周运动的线速度时刻在变化，角速度不变，周期和转速不变。匀速圆周运动是一种变速运动。

6、向心加速度：做匀速圆周运动的物体，加速度会指向圆心，只改变运动的方向，不改变速度的大小。向心加速度是一种按效果命名的加速度，始终指向圆心，方向时刻改变。

7、向心力：做匀速圆周运动的物体，合外力会指向圆心，只改变运动的方

向，不改变速度的大小。向心力是一种按效果命名的力，始终指向圆心，方向时

刻改变，是变力。 竖直面内的圆周运动模型：轻杆模型和细线模型：注意物体在最高点时

曲线运动的基础知识和基本方法

的受力情况，细线不能提供支持力。细线模型中，物体最高点的最小速度时，重力提供向心力。Vmin＝(gR)1/2 ；轻杆模型中，由于杆能提供支持力，最高点的最小速度可以为0。

圆锥摆：在长为L的细绳下端拴一个质量为m的小物体，绳子

上端固定，设法使小物体在水平圆周上以大小恒定的速度旋转，细绳就

掠过圆锥表面，这就是圆锥摆。小球做圆周运动的圆心是O，做圆周运

动的半径是Lsinθ，小球所需的向心力实际是绳子拉力F与重力G的合力。并有F=mg tgθ=mω2Lsinθ。由此式可得 cosθ=g/(ω2L) ，这说明做圆锥运动的小球的摆线与竖直方向的夹角与摆球质量无关，

与摆线长度及角速度有关。当摆长一定时，角速度越大，θ越大。

由于绳子的拉力F=mg/cosθ=mg/(g/ω2L)=mω2L。可见绳子的拉力随角速度的增加而增大。圆锥

摆的周期公式：T=2π(Lcosθ/g)1/2 (Lcosθ)1/2 成正比,而与小

球质量无关。若摆线L为定长，则ω越大，θ越大，周期越小。圆锥摆在摆动中机械能守恒。

8、开普勒第一定律：所有围绕中心天体运行的天体的运动轨迹都是椭圆，中心天体在椭圆的一个焦

点上。

开普勒第二定律：运行天体与中心天体的连线在任意相等的时间内扫过的面积相等。 开普勒第三定律：运行天体轨迹半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值是一个只与中心天体

质量在关的常量。即a3/T2＝k，不同的中心天体，k不一样。

9、万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与两物体的质量的乘

积成正比，与两物体间距离的平方成反比。F=GM1M2/R2 。该定律适用于两个可以视为质点的物体

之间，或者是两个均匀球之间。

万有引力恒量：G=6.67×10-11N m2/kg2，该恒量最早由英国科学家卡文迪许测定。

星球表面重力加速度：g＝GM/R2，其中：M是星体质量，R是星球半径。 中心天体的质量：由GMm/R2＝m4π2R/T2 得：M＝4π2R3/GT2

由g＝GM/R2 得：M＝gR2/G

10、第一宇宙速度（又称环绕速度）：由地球发射的环绕地球运行半径为地球半径的卫星的发射速度。

1/21/2是人造地球卫星的最小发射速度又是人造地球卫星的最大运行速度。V1＝（gR）＝（GM/R）＝7.9Km/s

3＝7.9×10m/s

第二宇宙速度（又称脱离速度）：是指物体完全摆脱地球引力束缚，飞离地球的所需要的最

小初始速度。大小为11.2km/s

第三宇宙速度（又称逃逸速度）：是指在地球上发射的物体摆脱太阳引力束缚，飞出太阳系

所需的最小初始速度。其大小为16.7km/s。

11、人造卫星的运行速度：指人造卫星在其轨道实际运行的速度，该速度一定不大于第一宇宙速度。

由GMm/r2＝mV2/r 得：V＝（GM/r2）1/2 ＝（gR2/r2）1/2 其中r＝R+H 人造卫星的角速度：由GMm/r2＝mω2r 得：ω＝（GM/r3）1/2 ＝（gR2/r3）1/2 人造卫星的周期：由GMm/r2＝m4π2R/T2 得：T＝（4π2R3/GM）1/2 ＝（4π2R3/gR2）1/2

12、同步卫星：绕地球运行的周期和地球的自转同步的卫星。地球同步卫星是人为发射的一种卫星，

它相对于地球静止于赤道上空．从地面上看，卫星保持不动，故也称静止卫星；从地球之外看，卫

星与地球共同转动，角速度与地球自转角速度相同，故称地球同步卫星。

同步卫星的高度：由GMm/( R＋H)2＝m4π2 (R＋H)/T2 得：H＝(GMT2/4π2)1/3 －R

13、绕地球运行的卫星，因受到宇宙微尘微小阻力的影响，运行的速度将变小→此时的万有引力将会

大于所需要的向心力→卫星做向心运动→轨道半径将减小→地球引力做正功→运动速度增加。

绕地球运行的卫星，因启动自带发动机加速→运行的速度将变大→此时的万有引力将会小于所需

要的向心力→卫星做离心运动→轨道半径将增加→地球引力做负功→运动速度减小。