量子力学教程(二版)习题答案

第一章 绪论

1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律： mT b, b 2.9 10 3m 0C。

证明：由普朗克黑体辐射公式：

8 h 31

d 3d ， h

c

ekT 1

cc

及 、d 2d 得

令x

8 hc1e

hc kT

5

，

1

d hc

，再由 0，得 .所满足的超越方程为 kTd

xex

5 x

e 1

hc

4.97，将数据代入求得 mT b, b 2.9 10 3m 0C 用图解法求得x 4.97，即得

mkT

1.2．在0K附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie波长.

0hh 10

解： 7.09 10m 7.09A

p2mE

#

3

1.3. 氦原子的动能为E kT，求T 1K时氦原子的de Broglie波长。

2

0hhh 10

解： 12.63 10m 12.63A

p2mEmkT

其中m 4.003 1.66 10 27kg，k 1.38 10 23J K 1 #

1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。

（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。

已知外磁场B 10T，玻尔磁子 B 0.923 10 23J T 1，求动能的量子化间隔 E，并与T 4K及T 100K的热运动能量相比较。

p21

2q2 解：（1）方法1：谐振子的能量E

2 2

可以化为

p22 E

2

q2 2E 2

2

1

的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为a 2 E,b

2E

2

，相空间面积为

pdq ab

2 E

E

nh,n 0,1,2,

所以，能量E nh ,n 0,1,2,

方法2：一维谐振子的运动方程为q 2q 0，其解为

q Asin t

速度为 q A co s t ，动量为p q A cos t ，则相积分为

A2 2TA2 2T

pdq A 0cos t dt 2 0(1 cos t )dt 2 nh，n 0,1,2,

A2 2nhE nh ，n 0,1,2,

2T

v2 v

（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由evB ，得R

ReB

2

2T

2

再由量子化条件pdq nh,n 1,2,3, ，以 ,p Rv R eBR2分别表示广义坐标和相应的广义动量，所以相积分为

2

pd pd 2 Rv 2 eBR nh，n 1,2, ，由此得半径为R

02

2

n

，n 1,2, 。 eB

11 eBR 122n

eB n BB 电子的动能为E v2 22 2 eB

2

动能间隔为 E BB 9 10 23J

热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为E kT，所以当T 4K时，E 4.52 10 23J；当T 100K时，E 1.38 10 21J

1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子波长最大是多少？

hc

解：转化条件为h ec2，其中 e为电子的静止质量，而 ，所以 ，即有

ec

max

06.626 10 34

c 0.024A（电子的康普顿波长）。 318

ec9.1 10 3 10

h

第二章 波函数和薛定谔方程

2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。

证：对于定态，可令

(r，t) (r)f(t)

Et

(r)e

i J ( * * )

2m

iiii

Et Et Et Et* i

[ (r)e （ (r)e） *(r)e （ (r)e ）]

2m

i * * [ (r) (r) (r) (r)]2m

i

可见J与t无关。

2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：

11 ikr

(1) 1 eik r (2 ) e2

rr

从所得结果说明 1表示向外传播的球面波， 2表示向内(即向原点) 传播的球面波。

J 解：1和J2只有r分量

1 1

在球坐标中 r0 e e

rr rsin

J1与r同向。表示向外传播的球面波。

i **

(1) J1 ( 1 1 1 1)

2m

i 1ikr 1 ikr1 ikr 1ikr

[e(e) e(e)]r0

2mr rrr rr

i 111111

[( 2 ik) ( 2 ik)]r0

2mrrrrrr k k

r r203

mrmr

可见，J2与r反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。

补充：设 (x) eikx，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？

i **

(2) J2 ( 2 2 2 )

2m

i 1 ikr 1ikr1ikr 1 ikr

[e(e) e(e)]r0

2mr rrr rri 111111

[( 2 ik) ( 2 ik)]r0

2mrrrrrr k k

2r0 3r

mrmr

∴波函数不能按(x)

* dx dx

2

dx 1方式归一化。

其相对位置几率分布函数为 2

1表示粒子在空间各处出现的几率相同。

2.3 一粒子在一维势场

，x 0

0 x a U(x) 0，

，x a

中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

解：U(x)与t无关，是定态问题。其定态S—方程

2d2

(x) U(x) (x) E (x) 2

2mdx

在各区域的具体形式为

2d2

1(x) U(x) 1(x) E 1(x) ① Ⅰ：x 0

2mdx2 2d2

2(x) E 2(x) ② Ⅱ： 0 x a 2

2mdx

2d2

Ⅲ：x a 3(x) U(x) 3(x) E 3(x) ③ 2

2mdx

由于(1)、(3)方程中，由于U(x) ，要等式成立，必须

1(x) 0 2(x) 0 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。

d2 2(x)2mE

方程(2)可变为 2 2(x) 0

dx2 2mE

令k2 2，得

d2 2(x)

k2 2(x) 0 2

dx

其解为 2(x) Asinkx Bcoskx ④ 根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得 2(0) 1(0) ⑤

2(a) 3(a) ⑥

⑤ B 0

⑥ Asinka 0 A 0 sinka 0 ka n ( n 1, 2, 3, )

n

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