2011年全国高中数学联赛模拟题2(最新)
时间:2025-07-07
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最新高中数学联赛模拟题
全国高中数学联赛模拟题
一 试
一、填空题(本题满分64分,每小题8分)
x a1. 已知a 2,且A x2
,B yy 2x 3,x A ,C tt x,x A ,
2
若C B,则a的取值范围是 。
2. 在 ABC中,若AB 2,AC 3,BC 4,O为 ABC的内心,且
AO AB B,则C .
x 2 1, x 0 ,3. 已知函数f x 若关于x的方程f x x a有且只有两个不相等
f x 1 , x 0 ,
的实数根,则实数a的取值范围是 。
4. 计算器上有一个特殊的按键,在计算器上显示正整数n时按下这个按键,会等可能的将其替换为0~n 1中的任意一个数。如果初始时显示2011,反复按这个按键使得最终显示0,那么这个过程中,9、99、999都出现的概率是 。
x2y2
1的左、右焦点分别为F1、F2,过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆5. 已知椭圆43
于点P、Q,则△F1PQ内切圆面积的最大值是
6. 设 an 为一个整数数列,并且满足: n 1 an 1 n 1 an 2 n 1 ,n N .若
2008a2007,则满足2008an且n 2的最小正整数n是.
7. 如图,有一个半径为20的实心球,以某条直径为中心轴挖去一个半径为12的圆形的洞,再将余下部分融铸成一个新的实心球,那么新球的半径是 。
8. 在平面直角坐标系内,将适合x y,x 3,y 3,且使关于t的方程(x y)t (3x y)t
3
3
4
2
1
0没有实数根的点x y
(x,y)所成的集合记为N,则由点集N所成区域的面积为
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二、解答题(本题满分56分)
9. (本小题满分16分)对正整数n 2,记an
n1
n k2k 1,求数列 an 中的最大值.
k 1
n 1
x2y2
10.(本小题满分20分)已知椭圆 2 2 1 过定点A(1,0),且焦点在x轴上,椭
ab
圆与曲线y x的交点为B、C。现有以A为焦点,过B,C且开口向左的抛物线,其顶点坐标为M(m,0),当椭圆的离心率满足
11.(本小题满分20分)映射f的定义域是A 1,2, ,20 的全体真子集,值域包含于
2
e2 1 时,求实数m的取值范围。 3
1,2, ,10 ,满足条件:对任意B,C A,都有f B C min f B ,f C ,求这
种映射的个数.
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加 试
一、(本题满分40分)
B、C、D、E为直线l上顺次排列的五点,设A、
ACBC
,F在直线l外的一点,连结
CECD
FC并延长至点G,恰使 FAC AGD, FEC EGB同时成立.
求证: FAC FEC。
二、(本题满分40分)
已知:a,b,c
0,a b c 2,
bccaab
1。
求证:
1 abca b1 abcb c1 abcc a
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三、(本题满分50分)
设正整数n大于1,它的全部正因数为d1,d2,…,dk,满足1=d1<d2<…<dk = n。再设D = d1d2+d2d3+…+dk-1dk。
(i) 证明:D<n2;
(ii) 确定所有的n,使得D整除n2。
四、(本题满分50分)
设圆周上有一些红点和蓝点,可以进行如下操作:加上一个红点,并改变其相邻两点的颜色;或去掉一个红点,并改变原先与之相邻的两点颜色.已知开始时只有两个点,均为红点,那么是否有可能经过若干次操作,使得圆周上只有两个点,且均为蓝点.
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参考答案
一试
1. 答: ,3
2
2
2 2a 3,
,B 1,2a 3 ,要使C B,只需C中的最大元素在B当中,所以
2 a 2a 3
1
得
1
a 3。 2
2. 答:
7 9
3 2 BDAB2
设AO交BC于点D,由角平分线定理知 ,于是AD AB AC,又
55DCAC3 5 2 2 AOABACAB AC511
,所以AO ADAB AB
ODBDCDBD CD493939
BC
2 5 7 AB AC,因此 。 999
3. 答: ,1
利用函数图象进行分析易得结果。 4. 答:
1
610
若计算器上显示n的时候按下按键,因此时共有1~n 1共n种选择,所以产生给定的数m的概率是
1
。如果计算器上的数在变化过程中除了2011,999,99,9和0以外,还产n
1111111 ,所以所求概率为 2011a1a2an999999
生了a1,a2, ,an,则概率为
p
1111111
2011a1a2an999999
1 1201 11
1 20 1 0
1
1 11
1 1 20091000999 998
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
10099981098
注意到
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2011 2010 2009 1000 999 998
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两式相除即得p
1111 6。 10001001010
5. 答:
9 16
因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍,且△F1PQ的周长是定值8,所以只需求出△F1PQ面积的最大值。设直线l方程为x my 1,与椭圆方程联立得
3m
2
4y2 6my 9 0,设P x1,y1 ,Q x2,y2 ,则y1 y2
93m2 4
6m
,2
3m 4
y1y2
,于是
S F1PQ
1
F1F2 y1 y2 21
1
。
因为
m2 1
3m2 4
2
9m2 15
m2 1
9m2 9
m2 1
1
,所以内切圆半径16 6
r
2S F1PQ
893
,因此其面积最大值是 。 416
an 1anan2
,令bn ,则有
nn 1n 1nnn 1n 1n
6. 答:501
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