2011年全国高中数学联赛模拟题2(最新)

时间:2025-07-07

最新高中数学联赛模拟题

全国高中数学联赛模拟题

一 试

一、填空题(本题满分64分,每小题8分)

x a1. 已知a 2,且A x2

,B yy 2x 3,x A ,C tt x,x A ,

2

若C B,则a的取值范围是 。

2. 在 ABC中,若AB 2,AC 3,BC 4,O为 ABC的内心,且

AO AB B,则C .

x 2 1, x 0 ,3. 已知函数f x 若关于x的方程f x x a有且只有两个不相等

f x 1 , x 0 ,

的实数根,则实数a的取值范围是 。

4. 计算器上有一个特殊的按键,在计算器上显示正整数n时按下这个按键,会等可能的将其替换为0~n 1中的任意一个数。如果初始时显示2011,反复按这个按键使得最终显示0,那么这个过程中,9、99、999都出现的概率是 。

x2y2

1的左、右焦点分别为F1、F2,过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆5. 已知椭圆43

于点P、Q,则△F1PQ内切圆面积的最大值是

6. 设 an 为一个整数数列,并且满足: n 1 an 1 n 1 an 2 n 1 ,n N .若

2008a2007,则满足2008an且n 2的最小正整数n是.

7. 如图,有一个半径为20的实心球,以某条直径为中心轴挖去一个半径为12的圆形的洞,再将余下部分融铸成一个新的实心球,那么新球的半径是 。

8. 在平面直角坐标系内,将适合x y,x 3,y 3,且使关于t的方程(x y)t (3x y)t

3

3

4

2

1

0没有实数根的点x y

(x,y)所成的集合记为N,则由点集N所成区域的面积为

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二、解答题(本题满分56分)

9. (本小题满分16分)对正整数n 2,记an

n1

n k2k 1,求数列 an 中的最大值.

k 1

n 1

x2y2

10.(本小题满分20分)已知椭圆 2 2 1 过定点A(1,0),且焦点在x轴上,椭

ab

圆与曲线y x的交点为B、C。现有以A为焦点,过B,C且开口向左的抛物线,其顶点坐标为M(m,0),当椭圆的离心率满足

11.(本小题满分20分)映射f的定义域是A 1,2, ,20 的全体真子集,值域包含于

2

e2 1 时,求实数m的取值范围。 3

1,2, ,10 ,满足条件:对任意B,C A,都有f B C min f B ,f C ,求这

种映射的个数.

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加 试

一、(本题满分40分)

B、C、D、E为直线l上顺次排列的五点,设A、

ACBC

,F在直线l外的一点,连结

CECD

FC并延长至点G,恰使 FAC AGD, FEC EGB同时成立.

求证: FAC FEC。

二、(本题满分40分)

已知:a,b,c

0,a b c 2,

bccaab

1。

求证:

1 abca b1 abcb c1 abcc a

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三、(本题满分50分)

设正整数n大于1,它的全部正因数为d1,d2,…,dk,满足1=d1<d2<…<dk = n。再设D = d1d2+d2d3+…+dk-1dk。

(i) 证明:D<n2;

(ii) 确定所有的n,使得D整除n2。

四、(本题满分50分)

设圆周上有一些红点和蓝点,可以进行如下操作:加上一个红点,并改变其相邻两点的颜色;或去掉一个红点,并改变原先与之相邻的两点颜色.已知开始时只有两个点,均为红点,那么是否有可能经过若干次操作,使得圆周上只有两个点,且均为蓝点.

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参考答案

一试

1. 答: ,3

2

2

2 2a 3,

,B 1,2a 3 ,要使C B,只需C中的最大元素在B当中,所以

2 a 2a 3

1

1

a 3。 2

2. 答:

7 9

3 2 BDAB2

设AO交BC于点D,由角平分线定理知 ,于是AD AB AC,又

55DCAC3 5 2 2 AOABACAB AC511

,所以AO ADAB AB

ODBDCDBD CD493939

BC

2 5 7 AB AC,因此 。 999

3. 答: ,1

利用函数图象进行分析易得结果。 4. 答:

1

610

若计算器上显示n的时候按下按键,因此时共有1~n 1共n种选择,所以产生给定的数m的概率是

1

。如果计算器上的数在变化过程中除了2011,999,99,9和0以外,还产n

1111111 ,所以所求概率为 2011a1a2an999999

生了a1,a2, ,an,则概率为

p

1111111

2011a1a2an999999

1 1201 11

1 20 1 0

1

1 11

1 1 20091000999 998

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

10099981098

注意到

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2011 2010 2009 1000 999 998

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两式相除即得p

1111 6。 10001001010

5. 答:

9 16

因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍,且△F1PQ的周长是定值8,所以只需求出△F1PQ面积的最大值。设直线l方程为x my 1,与椭圆方程联立得

3m

2

4y2 6my 9 0,设P x1,y1 ,Q x2,y2 ,则y1 y2

93m2 4

6m

,2

3m 4

y1y2

,于是

S F1PQ

1

F1F2 y1 y2 21

1

因为

m2 1

3m2 4

2

9m2 15

m2 1

9m2 9

m2 1

1

,所以内切圆半径16 6

r

2S F1PQ

893

,因此其面积最大值是 。 416

an 1anan2

,令bn ,则有

nn 1n 1nnn 1n 1n

6. 答:501

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