2011届数学经典例题

2011届数学经典例题,高考经典资料。

不等式 典型例题一

例1 若0 x 1，证明loga(1 x) loga(1 x)（a 0 且a 1）．

分析1 用作差法来证明．需分为a 1和0 a 1两种情况，去掉绝对值符号，然后比较法证明．

解法1 （1）当a 1时，

因为 0 1 x 1,1 x 1， 所以 loga(1 x) loga(1 x) loga(1 x) loga(1 x) loga(1 x2) 0． （2）当0 a 1时， 因为 0 1 x 1,1 x 1 所以 loga(1 x) loga(1 x) loga(1 x) loga(1 x)

2 loga(1 x) 0．

综合（1）（2）知loga(1 x) loga(1 x)．

分析2 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号． 解法2 作差比较法．

因为 loga(1 x) loga(1 x)

lg(1 x)lg(1 x)

lgalga1

lg(1 x) lg(1 x) lga

1

lg(1 x) lg(1 x) lga

1

lg(1 x2) 0， lga

2011届数学经典例题,高考经典资料。

所以loga(1 x) loga(1 x)．

说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快．

典型例题二

例2 设a b 0，求证：ab ab.

分析：发现作差后变形、判断符号较为困难．考虑到两边都是正数，可以作商，判断比值与1的大小关系，从而证明不等式．

ab

b

a

aabbaa b

bb a ()a b 证明：ba a

bab

∵a b 0，∴

a

1,a b 0. b

aa baabb

1. ∴ba 1. ∴()bab

又∵ab 0， ∴ab ab..

说明：本题考查不等式的证明方法——比较法(作商比较法).作商比较法证明不等式的步

骤是：判断符号、作商、变形、判断与1的大小.

ab

b

a

b

a

典型例题三

a4 b4a b4

()（当且仅当a b时取等号） 例3 对于任意实数a、b，求证

22

分析 这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有(

2

2

a b4

)，2

展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式：a b 2ab出发，再恰当地利用不等式的有关性质及“配方”的技巧可得到证明。

证明：∵ a b 2ab（当且仅当a b时取等号） 两边同加(a b):2(a b) (a b)，

4

4

4

4

2

22

2

2

2

2

a4 b4a2 b22

() （1） 即：

22

22

又：∵ a b 2ab（当且仅当a b时取等号）

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两边同加(a2 b2):2(a2 b2) (a b)2

a2 b2a b2

() ∴

22

a2 b22a b4

) () （2） ∴ (22

a4 b4a b4

()（当且仅当a b时取等号）由（1）和（2）可得． 22

说明：此题参考用综合法证明不等式．综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明，

要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来解．

典型例题四

111

9. abc111

分析 显然这个题用比较法是不易证出的。若把 通分，则会把不等式变得较

abc

例4 已知a、b、c R，a b c 1，求证

复杂而不易得到证明．由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的形式，比如

ba

，再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，这也常称为“凑ab

倒数”的技巧．

证明：∵a b c 1

111a b ca b ca b c abcabc

bcacab

(1 ) ( 1 ) ( 1)

aabbccbacacb

3 ( ) ( ) ( )

abacbc

∴ ∵

cacbba 2，同理： 2， 2。

acbcab∴

111

3 2 2 2 9. abc

说明：此题考查了变形应用综合法证明不等式．题目中用到了“凑倒数”，这种技巧在很多不等式证明中都可应用，但有时要首先对代数式进行适当变形，以期达到可以“凑倒数”的目的．

典型例题五

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例５ 已知a b c，求证：

111

＞0. a bb cc a

分析：此题直接入手不容易，考虑用分析法来证明，由于分析法的过程可以用综合法来书写，所以此题用两种方法来书写证明过程.

证明一：(分析法书写过程)

111

＞0 a bb cc a

111

只需要证明＞ a bb ca c

∵a b c

为了证明

∴a c a b 0,b c 0

111

,＞0 a ba cb c111

∴＞成立 a bb ca c111

∴＞0成立 a bb cc a

∴

证明二：(综合法书写过程)

∵a b c ∴a c a b 0,b c 0

111＞ ＞0 a ba cb c111

∴＞成立 a bb ca c111

∴＞0成立 a bb cc a

∴

说明：学会分析法入手，综合法书写证明过程，但有时这两种方法经常混在一起应用，混合应用时，应用语言叙述清楚.

典型例题六

例6 若a 0,b 0，且2c a b，求证：

c a c

分析 这个不等式从形式上不易看出其规律性，与我们掌握的定理和重要的结论也没有什么直接的联系，所以可以采用分析的方法来寻找证明途径．但用“分析”法证不等式，要有严格的格式，即每一步推出的都是上一步的充分条件，直到推出的条件是明显成立的（已知条件或某些定理等）．

证明：

为要证c a c

只需证 a c

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即证a c

也就是(a c)2 c2 ab， 即证a 2ac ab， 即证2ac a(a b)， ∵a 0,2c a b,b 0，

∴c

2

a b

c2 ab即有 …… 此处隐藏：7561字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……