学案

1.1.2余弦定理

教学目标：

1．掌握余弦定理，理解证明余弦定理的过程； 2．使学生能初步运用它解斜三角形。

教学重点：

余弦定理的证明， 余弦定理的应用。 教学过程 一、复习引入：

1． 复习正弦定理及其证明 2． 复习正弦定理的应用

二、讲解新课： 1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦b2 c2 a2

即 a b c 2bccosA cosA

2bc

2

2

2

c2 a2 b2

b c a 2accosB cosB

2ca

2

2

2

a2 b2 c2

c a b 2abcosC cosC

2ab

2

2

2

推导过程：

如图在 ABC中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b∵AC AB BC

∴AC AC (AB BC) (AB BC)

A

2

B

AB 2AB BC BC

AB 2|AB| |BC|cos(180 B) BC

2

22

c2 2accosB a2

222

即b c a 2accosB

222222

同理可证 a b c 2bccosA，c a b 2abcosC

方法2：以顶点A为原点，射线AC为x轴正半轴建立直角坐标系

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。

由两点的距离公式有：

两边平方，得 同理可证另两式

2、正弦定理、余弦定理与射影定理：

O为ΔABC的外接圆圆心，皆得 sin∠BAC＝sin（90－∠OBC）＝cos∠OBC 。

C

o

B

C

B

（A1）在ΔOBC中，利用射影定理：

BC＝BOcos∠OBC＋COcos∠OCB ＝2Rcos∠OBC （A2）在ΔOBC中，利用余弦定理：BC2＝BO2＋CO2－2BOCOcos∠BOC＝4R2cos2∠OBC

∵ ∠OBC必为锐角 ∴ BC＝2Rcos∠OBC

由上可知：在ΔABC中，

BCa2Rcos OBC＝＝＝2R sinAsin BACcos OBC

同理：

bc

＝2R；＝2R sinBsinC

故可利用射影定理或余弦定理证得正弦定理。

b2 c2 a2a2 c2 b2

另：先將余弦定理转化如右：cosA＝ ；cosB＝ ；

2bc2ac

a2 b2 c2

cosC＝

2ab

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a2 c2 b22a2a2 b2 c2

整理b cosC＋c cosB＝b ×＋c ×＝＝a

2ab2ac2a

同理：b＝a cosC＋c cosA；c＝a cosB＋b cosA 故可利用余弦定理证得射影定理。

三、例题自学

四、小结：学生分组小结：

知识上： 方法上：

课堂练习：教材p8 练习A 1、2、3、4；

教材p9 练习B1、2、3。

课后作业：教材p9 习题A、B。

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