习题课：感生电动势 自感与互感 磁场能量 B 1:感生电动势计算 ds t B 涡旋电场 E旋 dl ds L t 非保守力场dB dt

Er左手螺旋关系

2:自感与互感

LIM 21

21I1

dI L L dt

螺线管 L 0 r n2V 无漏磁 M12 M 21 L1L2

dI1 21 M 21 dt

两线圈串联，等效自感系数

L L1 L2 2M

3:磁能：

1 2 Wm LI 2

1 wm B H 2

Wm wmdVV

1.有两根相距为d 的无限长平行直导线，它们通以大小相等 流向相反的电流，且电流均以dI/dt的变化率增长。若有一边 长为d 的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示。 求线圈中的感应电动势。解1:穿过面元dS的磁通量为 d B d S B1 d S B2 d S 2 ( x d )

0 I

ddx

0 I ddx 2 x

因此穿过线圈的磁通量为 2d 2 d Id 0 Id 0 Id 3 0 Φ dΦ dx dx ln d 2 ( x d ) d 2 x 2 4 dΦ 0 d 3 dI 再由法拉第电磁感应定律，有 ln dt 2 4 dt

解2:当两长直导线有电流I通过时，穿过线圈的磁通量为

0 Id 3 Φ In 2 4线圈与两长直导线间的互感为

Φ 0d 3 M ln I 2 4当电流以 dI/dt 变化时，线圈中的互感电动势为

dI 0 d 3 dI M ln dt 2 4 dt

2: 在圆柱空间内有一磁感应强度为B的均匀磁场，如图所示。 B的大小以速度dB/dt变化。在磁场中有A、B两点，其间可 放直导线 AB 和弯曲的导线AB ,则

(A) 电动势只在导线AB 中产生。(B)电动势只在AB导线中产生。 (C)电动势在AB和AB中都产生，且两者的大小相等。 (D)AB导线中的电动势小于AB导线中的电 动势。

[D

]

A

B

dB 连接OA,OB AB OAB S dt dB E r ACB OACB S OACB dt

连接AO与OB分别与AB、AB 组成闭合回路 L。

B L Er d l t d S S

包含AB的闭合回路 LAB

B L Er d l AB Er d l t d S S1

扇形面积S1

包含AB的闭合回路 L

B L Er d l AB Er d l t d S S2 B/ t 一致，且 S1 > S2AB导线中的电动势小于AB 线中的电动势。

三角形面积S2

3. 两个线圈的自感分别为L1和L2,它们之间的互感为M. (1) 将两个线圈顺串联，如图a所示，求1和4之间的互感； (2) 将两线圈反串联，如图b所示，求1和3之间的自感. 解：两个线圈串联时，通以电流I 之后，总磁场等于两个线圈分别产 生的磁场的矢量和磁场的能量为： B B1 B21 Wm

B H d V 2 VP157(16.16) 参考：习题16.19

1

2

3 (a) 4

2 V

B12

dV

2 V

2 B2

dV V

B1 B2

dV1

2

3

4

1 1 B B cos L1I 2 L2 I 2 1 2 dV 2 2 V

(b)

1 1 B1B2 cos 2 2 Wm L1I L2 I dV 2 2 V

(1)当两个线圈顺串时，两磁场的 方向相同， = 0,所以1 2 1 Wm L1I L2 I 2 MI 2 2 2P160(16.19)

1

2

3 (a) 4

1

2

3

4

自感系数为L

(b)

2Wm L1 L2 2M 2 I (2)当两个线圈反串时，两磁场的方向相反， = ,所以

自感系数为

2Wm L 2 L1 L2 2M I

4. 已知圆环式螺线管的自感系数为 L ,若将该螺线 管锯成两个半环式的螺线管，则两个半环式的螺线 管的自感系数为： (A)都等于 L / 2 ;(B)有一个大于 L / 2 ,另一个下于 L / 2 ;

(C)都大于 L / 2 ;(D)都小于 L / 2 。

[I

D

]

dI 1 (L M dI) (LM) dI 1 1

I

dI  1 2 (2 L1 2M ) dt

dt

dt

dt

L 2 L1 2 MdI L dt

5.半径为R的无限长柱形导体上均匀流有电流 I,设导体 r 1 ,则在导体轴线上一点的磁场 能量密度为( 0 ),在与导体轴线相距r(r<R) 0 I 2 r 2 )。 处的磁场能量密度为( 8 2 R 4 0 Ir B (r R) 2 2 R R 0 I B 2 r(r R)

I0 r

B2 B2 m 2 2 0

r=0,B=0

6.电磁涡流制动器是一个电阻率为 ,厚度为b的圆盘，此盘绕 通过其中心的垂直轴旋转，且有一覆盖小面积为a2的均匀磁场 B垂直于圆盘，小面积离轴r(r>>a).当圆盘角速度为 时， 试导出阻碍圆盘转动的磁力矩的近似表达式。 B 解: 将圆盘与磁场相对的部分当成 长、宽和高分别为a、a和b的小导 S 体，其横截面积为 S = ab,ω ra a I b

a a

b

电流将从横截面中流过， R l a 1 S ab b 小块长a,因此其电阻为 宽为a的边扫过磁场，速度大小为 v = r ,

参考：习题16.5

产生的动生电动势为 = Bav = Bar , 通过小导体的电流强度为I = /R = Bar b/ , M = Fr = B2a2r2 b/ 所受的安培力为 F = IaB = B2a2r b/ ,

方向与速度方 向相反.产生 的磁力矩为

思考题: 金属探测器的探头内通入脉冲电流,才能测到埋在地下 的金属物品发回的电磁信号。能否用恒定电流来探测？埋在地 下的金属为什么能发回电磁信号？金属探测器除了军事上的用途之外，还广泛应用 于公安侦破、安全检查、废金属回收、检查地下 的金属管道(线路)、帮助人们发现地下隐埋的金 属文物和金银财宝。它是建筑施工、自来水管检 查、供变电检查、探铁、探矿、考古等作业不可 缺少的工具。 山东郯城的拾荒人孟某花了一千多元钱 购买了一只金属

探测器，使得他近日的 经济效益大增。据孟某介绍，废金属越 来越不好找了，他便学着同行的样子从 外地购买了这种“先进仪器”。已经使 用了20多天，“产量”翻了好几倍，共 拾取了500多公斤废金属。

金属探测器的电路框图

参考解答：当金属探测器的探头内通入脉冲电流(变化电流) 时，它就会产生变化的磁场，从而使位于地下的金属物品中 产生感应电流。当探测线圈靠近金属物体时，由于电磁感应 现象，会在金属导体中产生涡电流，使振荡回路中的能量损 耗增大，正反馈减弱，处于临界态的振荡器振荡减弱，甚至 无法维持振荡所需的最低能量而停振。如果能检测出这种变 化，并转换成声音信号，根据声音有无，就可以判定探测线 圈下面是否有金属物体了。 如果探头内通入的是恒定电流，金属物品中就不会有感应 电流，不能发回电磁信号，也就无法探测到地下的金属。