MATLAB教程-数值积分与微分

Matlab入门教程,对matlab常用功能进行了深入浅出的详细讲解,通过此教程可在短时间内迅速掌握Matlab的基本用法。

第8章 MATLAB数值积分与微分 8.1 数值积分 8.2 数值微分

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8.1 数值积分 8.1.1 数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样，如简单 的梯形法、辛普生(Simpson) 、牛顿-柯 法 特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方 法。它们的基本思想都是将整个积分区间 [a,b]分成n个子区间[xi,xi+1],i=1,2,…,n,其 中x1=a,xn+1=b。这样求定积分问题就分解 为求和问题。

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8.1.2 数值积分的实现方法 1.变步长辛普生法 基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数 来求定积分。该函数的调用格式为： [I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace) 其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下 限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取 tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0 则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取 trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的 调用次数。

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例8-1 求定积分。 (1) 建立被积函数文件fesin.m。 function f=fesin(x) f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2) 调用数值积分函数quad求定积分。 [S,n]=quad('fesin',0,3*pi) S= 0.9008 n= 77

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2.牛顿-柯特斯法 基于牛顿-柯特斯法，MATLAB给出了 quad8函数来求定积分。该函数的调用格式 为： [I,n]=quad8('fname',a,b,tol,trace) 其中参数的含义和quad函数相似，只是tol的 缺省值取10-6。 函数可以更精确地求出定 该 积分的值，且一般情况下函数调用的步数 明显小于quad函数，从而保证能以更高的 效率求出所需的定积分值。

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例8-2 求定积分。 (1) 被积函数文件fx.m。 function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x)); (2) 调用函数quad8求定积分。 I=quad8('fx',0,pi) I= 2.4674

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例8-3 分别用quad函数和quad8函数求定积分的近 似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用 次数。 调用函数quad求定积分： format long; fx=inline('exp(-x)'); [I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10) I= 0.28579444254766 n= 65

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调用函数quad8求定积分： format long; fx=inline('exp(-x)'); [I,n]=quad8(fx,1,2.5,1e-10) I= 0.28579444254754 n= 33

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3.被积函数由一个表格定义 在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分 问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系 Y=f(X)。 例8-4 用trapz函数计算定积分。 命令如下： X=1:0.01:2.5; Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量 trapz(X,Y) ans = 0.28579682416393

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8.1.3 二重定积分的数值求解 使用MATLAB提供的dblquad函数 就可以直接求出上述二重定积分的 数值解。该函数的调用格式为： I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace) 该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上 的二重定积分。参数tol,trace的 用法与函数quad完全相同。

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例8-5 计算二重定积分 (1) 建立一个函数文件fxy.m: function f=fxy(x,y) global ki; ki=ki+1; %ki用于统计被积函数的调用次数 f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y); (2) 调用dbl

quad函数求解。 global ki;ki=0; I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1) ki I= 1.57449318974494 ki = 1038

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8.2 数值微分 8.2.1 数值差分与差商 8.2.2 数值微分的实现 在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计 算向前差分的函数diff,其调用格式为： DX=diff(X):计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i), i=1,2,…,n-1。 DX=diff(X,n):计算X的n阶向前差分。例如， diff(X,2)=diff(diff(X))。 DX=diff(A,n,dim):计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状 态),按列计算差分；dim=2,按行计算差分。

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例8-6 生成以向量V=[1,2,3,4,5,6]为基础的范得蒙矩 阵，按列进行差分运算。 命令如下： V=vander(1:6) DV=diff(V) %计算V的一阶差分

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