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湖南省单独命题八年(2005-2012)高考试题分类汇编（文科数学）

一、集合与常用逻辑用语（必修1 选修1-1）

（一）选择题

1,0,1 ，N= x|x2 x ，则M∩N=（ ）

A． 1,0,1 B． 0,1 C． 1 【解析】 N 0,1 M={-1,0,1} M∩N={0,1} 故选答案B

◆2012-1. 设集合M=

◆2011-1．设全集U M N {1,2,3,4,5},M CUN {2,4},则N

D．

0

（ ）

A．{1,2,3} B．{1,3,5} Ｃ．{1,4,5} Ｄ．{2,3,4} 【解析】画出韦恩图，可知N {1,3,5}。故选答案B

◆2012-3．命题“若 ，则tan 1”的逆否命题是（ ）

4

A．若 ，则tan 1 B． 若 ，则tan 1

44

C．若tan 1，则 D． 若tan 1，则

44

【答案】C【解析】因为“若

，所以 “若αp，则q”的逆否命题为“若 p，则 q”

=

，则tanα4

=1”

的逆否命题是 “若tanα≠1，则α≠

”. 4

◆2011-3．"x 1"是"|x| 1"的

A．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【解析】因"x 1" "|x| 1"，反之"|x| 1" "x 1或x 1"，不一定有"x 1"。故选答案：A ◆2010-2．下列命题中的假命题是 ．．．

A．

x R,lgx 0 B． x R,tanx 1

3

C． x R,x3 0 D． x R,2x 0 【解析】易知A、B、D都对，而对于C，当x 0时有x故选C

◆2008-1．已知U

0，不对，对于C选项x＝1时， x 1 =0，

2

2,3,4,5,6,7 ，M 3,4,5,7 ，N 2,4,5,6 ，则

A．M N 4,6 B.M N U C．(CuN) M U D． (CuM) N N 【解析】由U ◆2008-2．“

2,3,4,5,6,7 ，M 3,4,5,7 ，N 2,4,5,6 ，易知B正确．

x 2”是“x 3”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】由

x 2得 1 x 3，所以易知选A．

◆2007-3．设

p:b2 4ac 0 a 0 ，q:关于x的方程ax2 bx c 0 a 0 有实根，则p是q的

2

2

A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 【解析】判别式大于0，关于x 的方程ax bx c 0(a 0)有实根；但关于x 的方程ax有实根，判别可以等于0，故选答案A．

bx c 0(a 0)

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◆2007-10．设集合M

1,2,3,4,5,6 、Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的 ，S1、S2、

Si ai,bi ,Sj aj,bj i j,i、j 1,2,3, ,k ，

ajbj aibi 都有min , min , min x,y 表示两个数x、y中的较小者 ，则k的最大值是 biai bjaj

A．10 B．11 C． 12 D． 13

【解析】含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个，故满足条件的两个元素的集合有11个．故选答案B． ◆2006-5．“a=1”是“函数f(x) x a在区间［1，＋∞）上为增函数”的

A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件

C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件

【解析】若“a 1”，则函数f(x) |x a|=|x 1|在区间[1, )上为增函数；而若

f(x) |x a|在区间

[1, )上为增函数，则0≤a≤1，所以“a 1”是“函数f(x) |x a|在区间[1, )上为增函数”的充分不必要

条件，故选答案A．

◆2005-1．设全集U={－2，－1，0，1，2}，A={－2，－1，0}，B={0，1，2}，则（ UA）∩B= A．{0} B．{－2，－1} C．{1，2} D．{0，1，2} [解析]：由题意得：CuA 1,2 ,则(CuA) B 1,2 ,故选答案C． ◆2005-6．设集合A＝｛x|

x 1

＜0}，B＝｛x || x －1|＜a}，若“a＝1”是“A∩B≠ ”的（ ） x 1

B．必要不充分条件

D．既不充分又不必要条件

A．充分不必要条件 C．充要条件

[解析]:由题意得A:-1<x<1．B;1-a<x<a+1

(1)由a=1．A:-1<x<1．B:0<x<2．则A B

x

12

0 x 1 成立,即充分性成立．

．综合得．”a=1”是: A B ”的充分非必要条件．故

(2)反之:A B ,不一定推得a=1,如a可能为

选A．

（二）填空题 ◆2012-12．不等式x【答案】

2

5x 6 0的解集为

x2 x 3

x2 x 3 .

【解析】由x2-5x+6≤0，得(x 3)(x 2) 0，从而的不等式x2-5x+6≤0的解集为

◆2010-9．已知集合A={1,2,3，}，B={2，m，4}，A∩B={2,3}，则m= 【解析】由集合的交集概念易知m 3，故填3．

◆2009-9 ．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则

喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 ．

【解析】设所求人数为x，则只喜爱乒乓球运动的人数为10-（15-x）=x-5，故15+x-5=30-8 x=12． 注：最好作出韦恩图！

◆2009-9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则

喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 ．

【解析】设所求人数为x，则只喜爱乒乓球运动的人数为10-（15-x）=x-5，故15+x-5=30-8 x=12． 注：最好作出韦恩图！

◆2007-14． 设集合A x,y |y |x 2|,x 0,B x,y |y x b,A B ，

（1）b的取值范围是 ． （2）若

x,y A B,且x 2y的最大值为9，则b的值是 ．

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【解析】（1）由图象可知b的取值范围是[2，（2）若 x,y A B,则（x，y）在图中的四边形内，t=x+2y )；在（0，b）处取得最大值，所0+2b=9，所以b= x+2y，故填答案（1）[2， )（2）x+2y。

二、函数与导数及其应用（必修1 选修1-1）

（一）选择题

◆2012-9．设定义在R上的函数

f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f (x)是

f(x)的导函数．

当x∈[0,π] 时，0＜则函数y

f(x)＜1； 当x∈（0，π） 且x

2

时 ，(x

2

)f (x)＞0 ．

f(x) sinx在[-2π，2π] 上的零点个数为（ ）

A ．2 B ．4 C ．5 D． 8 【答案】Ｂ【解析】由当x∈（0，π） 且x≠

时 ，(x )f (x) 0，知 22

x 0, 时,f (x) 0,f(x)为减函数；x ， 时,f (x) 0,f(x)为增函数

2 2

又x 和y

0, 时，0＜f(x)＜1，在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y sinx

f(x)草图像如下，由图知y=f(x)-sinx在[-2π，2π] 上的零点个数为4个.

◆2011-7．曲线y A．

sinx1

在点M( ,0)处的切线的斜率为（ ）

sinx cosx24

【解析】y'

y'|

x

4

cosx(sinx cosx) sinx(cosx sinx)1，所以 22

(sinx cosx)(sinx cosx)

11

。答案：B

(sin cos)22

44

11 B． C． D．

2222

◆2011-8．已知函数

f(x) ex 1,g(x) x2 4x 3,若有f(a) g(b),则b的取值范围为

A．[2 B．(2 C．[1,3] D．(1,3)

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【解析】由题可知

则f(x) ex 1 1，g(x) x2 4x 3 (x 2)2 1 1，若有f(a) g(b),

g(b) ( 1,1]，即 b2 4b 3

1，解得2 b 2B

||a

◆2010-8．函数y=ax2+ bx与y= logbx (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能是

【解析】本题考查了二次函数、对数函数的图像性质，考查了学生的读图、识图能力.y ax2 bx ax(x )，A、B、D选项中，0 |b| 1，此时，y logbx应为单调函数，因此，A、B选项错误，D选项正确，C选项

a

||a

ba

中|b| 1，而对数函数单调递减，所以，C选项错误.因此选D.

a

◆2009-1

．log2

A．

的值为

11

B．

C． D．

22

1

11

【解析】由log2=log22=log22 ，易知D正确.

22

◆2009-7．若函数y f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数，则函数y f(x)在区间[a,b]上的图象可能．．．

是

【解析】因为函数y

a b a b a

f(x)的导函数．．．y f'(x)在区间[a,b]上是增函数，即在区间 [a,b]上

各点处的斜率k是递增的，由图易知选A．

◆2009- 8．设函数y f(x)在( , )内有定义，对于给定的正数K，定义函数

f(x),f(x) K,

fK(x)

K,f(x) K. 1 x

取函数f(x) 2．当K=时，函数fK(x)的单调递增区间为

2

A ．( ,0) B．(0, ) C ．( , 1) D ．(1, )

【解析】函数f(x)=2-|x|=(选答案C．

w．w．w．．．．．．．m 12

)|x|，作图易知f(x)≤K=

12

x ( , 1] [1, )，故在(-∞,-1)上是单调递增的，故

f(x) x2(x 0)的反函数是

A.f 1(x) (x 0) B.f 1(x) (x 0) C.f 1(x) (x 0) D.f 1(x) x2(x 0)

【解析】用特殊点法,取原函数过点( 1,1),则其反函数过点( 1,1),验证知只有答案B满足．也可用直接法或

◆2008-4．函数

利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答．故选答案B ◆2008-6．下面不等式成立的是( )

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A．log32 log23 log25 B．log32 log25 log23 C．log23 log32 log25 D．log23 log25 log32 【解析】由log32 1 log23 log25 , 故选A． ◆2007-8．函数

4x 4x 1

的图象和函数g(x) log2x的图象的交点个数是 f(x) 2

x 4x 3x 1

A．1 B．2 C．3 D． 4 【解析】由图像可知交点共有3个，故选答案C． ◆2006-1．函数y 【解析】函数y

2x的定义域是

log2x≥0，解得x≥1，选D．

C．（－∞，0）

D．（－∞，＋∞）

A．(0,1］ B． (0,+∞) C． (1,+∞) D． ［1,+∞)

◆2005-3．函数f(x)＝ 2x的定义域是

A．(－∞，0] B．[0，＋∞)

【解析】由题意得：1 2x 0,即2x 1. x 0,即( ,0],故选A． （二）填空题

◆2011-12．已知f(x)为奇函数，g(x) f(x) 9,g( 2) 3,则f(2) ． 【解析】g( 2)

f( 2) 9 3,则f( 2) 6，又f(x)为奇函数，所以f(2) f( 2) 6。答案：6

*

◆2011-16．给定k N，设函数f:N* N*满足：对于任意大于k的正整数n，f(n) n k （1）设k 1，则其中一个函数f在n 1处的函数值为 ；

（2）设k 4，且当n 4时，2 f(n) 3，则不同的函数f的个数为 。 【解析】（1）由题可知f(n) N*，而k 1时，n 1则f(n) n 1 N*，故只须f(1) N*，故f(1) a(a为正整数)。

（2）由题可知k 4，n 4则f(n) n 4 N*，而n 4时，2 f(n) 3即f(n) {2,3}，即

4

由乘法原理可知，不同的函数f的个数为2 16。答案：（1）a(a为正整数)，n {1,2,3,，4}f(n) {2,3}，

（2）16

◆2007-13． 若a 0,a

◆2005-14．设函数f(x)的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f1(x)，f (4)＝0，则f1(4)＝

【解析】由题意f(x)图象上点(4,0),关于(1,2)对称点(-2,4)．则点(4,-2)在f--1(x)上, 则f--1(4)= -2 （三）解答题

◆2012-22.（本小题满分13分） 已知函数f(x)=ex-ax，其中a＞0.

（1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈（x1,x2）,

－

－

4

,则log2a ． 923

442323

【解析】由a3 得a ()2 ()，所以log2a log2() 3，故填答案3。

993333

2

3

使

f (x0) k恒成立.

f (x) ex a,令f (x) 0得x lna.

f (x) 0,f(x)单调递减；当x lna时f (x) 0,f(x)单调递增，故当x lna时，f(x)取

【解析】解：当x lna时最小值

f(lna) a alna.

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于是对一切x R,

f(x) 1恒成立，当且仅当

a alna 1. ①

令g(t) t tlnt,则g (t) lnt.

当0 t 1时，g (t) 0,g(t)单调递增；当t故当t

1时，g (t) 0,g(t)单调递减.

1时，g(t)取最大值g(1) 1.因此，当且仅当a 1时，①式成立.

综上所述，a的取值集合为

1 .

f(x2) f(x1)ex2 ex1

（Ⅱ）由题意知，k a.

x2 x1x2 x1ex2 ex1

令 (x) f (x) k e ,则

x2 x1

x

ex1x2 x1

(x1) e (x2 x1) 1 , x2 x1ex2x1 x2 (x2) e (x1 x2) 1 . x2 x1

令F(t) et

t 1，则F (t) et 1.

当t 0时，F (t) 0,F(t)单调递减；当t 0时，F (t) 0,F(t)单调递增. 故当t 0，F(t) F(0) 0,即e从而e

x2 x1

t

t 1 0.

(x2 x1) 1 0，e

x1 x2

ex1ex2

(x1 x2) 1 0,又 0, 0,

x2 x1x2 x1

所以 (x1) 0, (x2) 0. 因为函数y (x)在区间

x1,x2 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在

x0 (x1,x2)使 (x0) 0,即f (x0) k成立.

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论

思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出f(x)取最小值f(lna) a alna.对一切x∈R，f(x)

1恒成立转化为f(x)min 1从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然

1

f(x) x alnx(a R).

x

后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断. ◆2011-22．设函数(I)讨论

f(x)的单调性；

（II）若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线的斜率为k，问：是否存在a，

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使得k 2 a?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． 解析：（I）f(x)的定义域为(0, ).

1ax2 ax 1 f'(x) 1 2 2

xxx

2

令g(x) x2 ax 1,其判别式 a 4.

(1) 当|a| 2时, 0,f'(x) 0,故f(x)在(0, )上单调递增． (2) 当a 2时, >0,g(x)=0的两根都小于0，在(0, )上，f'(x) 0，故f(x)在(0, )上单调递增．

aax2 (3) 当a 2时,， >0,g(x)=0

的两根为x1

22

当0 x x1时， f'(x) 0；当x1 x x2时， f'(x) 0；当x x2时， f'(x) 0，故f(x)分别在(0,x1),(x2, )上单调递增，在(x1,x2)上单调递减． （II）由（I）知，a 2．

x x2

因为f(x1) f(x2) (x1 x2) 1 a(lnx1 lnx2)，所以

x1x2

f(x1) f(x2)lnx lnx21

k 1 a1

x1 x2x1x2x1 x2

lnx lnx2

又由(I)知，x1x2 1．于是k 2 a1

x1 x2

lnx1 lnx2

若存在a，使得k 2 a.则 1．即lnx1 lnx2 x1 x2．亦即

x1 x2

1

x2 2lnx2 0(x2 1)(*)

x2

1

再由（I）知，函数h(t) t 2lnt在(0, )上单调递增，而x2 1，所以

t

11

x2 2lnx2 1 2ln1 0.这与(*)式矛盾．故不存在a，使得k 2 a.

x21

a

◆2010-21．已知函数f(x) x (a 1)lnx 15a,其中a<0,且a≠-1．

x

（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性；

( 2x3 3ax2 6ax 4a2 6a)ex,x 1

（Ⅱ）设函数g(x) （e是自然数的底数）．是否存在a，使g(x)

e f(x),x 1

在[a,-a]上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

aa 1(x a)(x 1）

【解析】（Ⅰ）f(x)的定义域为（0，+∞）。f'(x) 2 1 2

xxx

（1）若-1<a<0，则当0<x<-a时，f'(x) 0；当-a<x<1时，f'(x) 0；

当x>1时，f'(x) 0。故f(x)分别在（0，-a），（1，+∞）上单调递增，在（-a，1）上单调递减。 （2）若a<-1，人，仿（1）可得f(x)分别（0，1），（-a，+∞）上单调递增，在（1，-a）上单调递减。 （Ⅱ）若存在a，使g(x)在[a,-a]上为减函数。

事实上，设h(x)= ( 2x 3ax 6ax 4a 6a)e,x R，则

h'(x) [ 2x 3(a 2)x 12ax 4a]e。

再设m(x) 2x 3(a 2)x 12ax 4a

3

2

2

3

2

2

x

3

2

2

x

,(x R)，则当g(x)在[a,-a]上单调递减时，h(x)必在[a,0]上单调递

减，所以h'(x) 0。由于ex>0，因此m(a)≤0。而m(a)=a2(a+2)，所以此时，显然有g(x)在[a,-a]上为减函数，当且仅当f(x)在[1,-a]上为减函数，h(x)在[a,1]上为减函数，且h(1)≥ef(1). 由（Ⅰ）知，当a≤-2时，f(x)在[1,-a]上为减函数，①

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又h(1)≥ef(1)

4

不难知道， x [a,1],h'(x) 0 x [a,1],m(x) 0。

因m'(x) 6x2 6(a 2)x 12a 6(x 2)(x a),令m'(x) 0,则x=a，或x=-2，而a≤-2,于是

（1）当a<-2时，若a<x<-2，则m'(x) 0,若-2<x<1，则m'(x) 0,因而m(x)在(a,-2)上单调递增，在(-2,1)上单调递减。

（2）当a=-2时，m'(x) 0, m(x)在(-2,1)上单调递减。 综合（1）、（2）知，当a≤-2时，m(x)在[a,1]上的最大值为

m(-2)=-4a2-12a-8

所以 x [a,1],m(x) 0 m(-2)≤0 -4a2-12a-8≤0 a≤-2。③

又对x [a,1]，m(x) 0只有当a=-2时，在x=-2取得，亦即h'(x) 0只有当a=-2时，在x=-2取得。因此当a≤-2时，h(x)在[a,1]上为减函数，从而由①②③知，-3≤a≤-2.

综上所述，存在a，使g(x)在[a,-a]上为减函数，且a的取值范围为[-3,-2].

◆2009-19．已知函数f(x) x3 bx2 cx的导函数的图象关于直线x=2对称．

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）若f(x)在x t处取得最小值，记此极小值为g(t)，求g(t)的定义域和值域． 【解析】（Ⅰ）f'(x) 3x2 2bx c。因为函数f'(x)的图象关于直线x=2对称，所以 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x) x3 6x2 cx,f'(x) 3x2 12x c 3(x 2)2 c 12,

（ⅰ）当c ≥12时，f'(x)≥0，此时f(x)无极值．

4a2 13a 3 0 3 a 。②

1

2b

=2，于是b=-6. 6

（ii）当c<12时，f'(x)=0有两个互异实根x1,x2．不妨设x1＜x2，则x1＜2＜x2． 当x＜x1时，f'(x)>0， f(x)在区间( ,x1)内为增函数；

当x1＜x＜x2时，f'(x)<0，f(x)在区间(x1,x2)内为减函数; 当x x2时，f'(x)>0，f(x)在区间(x2, )内为增函数．

所以f(x)在x x1处取极大值，在x x2处取极小值．

因此，当且仅当c<12时，函数f(x)在x x2处存在唯一极小值，所以t x2于是g(t)的定义域为(2, )．由 f'(t) 3t 12t c 0得c 3t于是g(t) f(t) t 6t ct 2t 6t,t (2, )．

0．

22

12t．

3232

当t 2时，g'(t) 6t 12t 6t(2 t) 0所以函数g(t) 在区间(2, )内是减函数，故g(t)的值域为( ,8)

w．w．w．．．．．．．m 2

◆2008-21．已知函数f(x)

1

4（I）证明： 27 c 5； （II）若存在实数c，使函数

x4 x3

92

x2 cx有三个极值点．

f(x)在区间 a,a 2 上单调递减，求a的取值范围．

9

x2 cx有三个极值点,

【解析】（I）因为函数f(x)

14

2

32

所以f (x) x 3x 9x c 0有三个互异的实根．

3

2

2

x4 x3

设g(x) x 3x 9x c,则g (x) 3x 6x 9 3(x 3)(x 1), 当x<-3时，g (x) 0, g(x)在( , 3)上为增函数; 当-3<x<1时，g (x) 0, g(x)在( 3,1)上为减函数; 当x>1时，g (x) 0, g(x)在(1, )上为增函数;

所以函数g(x)在x=-3时取极大值,在x=1时取极小值．

当g( 3) 0或g(1) 0时, g(x)=0最多只有两个不同实根． 因为g(x)=0有三个不同实根, 所以g( 3) 0且g(1) 0． 即 27 27 27 c 0,且1 3 9 c 0,

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解得c 27,且c 5,故 27 c 5．

（II）由（I）的证明可知，当 27 c 5时, f(x)有三个极值点．

不妨设为x1，x2，x3（x1 x2 x3），则f (x) (x x1)(x x2)(x x3).

所以f(x)的单调递减区间是( ，x1],[x2,x3] 若f(x)在区间 a,a 2 上单调递减， 则 a,a 2 ( ，x1], 或 a,a 2 [x2,x3],

若 a,a 2 ( ，x1],则a 2 x1．由（I）知，x1 3,于是a 5. 若 a,a 2 [x2,x3],则a x2且a 2 x3．由（I）知， 3 x2又f (x) x3 3x2 9x c,当c=-27时，f (x) (x 3)(x 3)2; 当c=5时，f (x) (x 5)(x 1)2．

因此, 当 27 c 5时，1 x3 3.所以a 3,且a 2 3. 即 3 a 1.故a 5,或 3 a 1.反之, 当a 5,或 3 a 1时， 总可找到c ( 27,5),使函数f(x)在区间 a,a 2 上单调递减．

综上所述, a的取值范围是( ， 5) ( 3,1)．

◆2007-21． 已知函数f(x) 1x3 1ax2 bx在区间[ 1,1),(1,3]内各有一个极值点．

32

（Ⅰ）求a2 4b的最大值；

（Ⅱ）当a2 4b 8时，设函数y f(x)在点A(1,f(1))处的切线为l，若在点A处穿过y

表达式．

【解析】（I）因为函数f(x) 1x3 1ax2 bx在区间[ 11)，，

32

f (x) x2 ax b=0在[ 11)，，(13]，内分别有一个实根，

1.

f(x)的图象（即动点在点A附近沿曲线y f(x)运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数y f(x)的

(13]，内分别有一个极值点，所以

设两实根为x1，x2（x1 x2）

，则x2 x10 x2 x1≤4．于是

2

x2 3，即a 2，b 3时等号成立．故a2 4b的最大值，04，0 a 4b≤16，且当x1 1

是16．

（II）解法一：由f (1) 1 a b知

f(x)在点(1，f(1))处的切线l的方程是

32

因为切线l在点A(1，f(1))处穿过y f(x)的图象，

所以g(x) f(x) [(1 a b)x 2 1a]在x 1两边附近的函数值异号，则

32

x 1不是g(x)的极值点．

y f(1) f (1)(x 1)，即y (1 a b)x 2 1a，

131221

x ax bx (1 a b)x a，且 323222

g (x) x ax b (1 a b) x ax a 1 (x 1)(x 1 a)． 若1 1 a，则x 1和x 1 a都是g(x)的极值点．

而g(x)

所以1 1 a，即a 2．又由a2 4b 8，得b 1．故解法二：同解法一得g(x)

1

f(x) x3 x2 x．

3

21

f(x) [(1 a b)x a]

32

13a3

(x 1)[x2 (1 )x (2 a)]． 322

因为切线l在点A(1，f(1))处穿过y f(x)的图象，所以g(x)在x 1两边附近的函数值异号．于是存在

． m1，m2（m1 1 m2）

当m1 x 1时，g(x) 0，当1 x m2时，g(x) 0；

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或当m1 x 1时，g(x) 0，当1 x m2时，g(x) 0．

3a 3a 设h(x) x2 1 x 2 ，则

2 2

当m1 x 1时，h(x) 0，当1 x m2时，h(x) 0；

或当m1 x 1时，h(x) 0，当1 x m2时，h(x) 0．

由h(1) 0知x 1是h(x)的一个极值点，则h (1) 2 1 1 3a 0．

2

所以a 2．又由a2 4b 8，得b 1，故f(x) 1x3 x2 x．

3

3

◆2006-19． 已知函数f(x) ax3 3x2 1 ．

a

（Ｉ）讨论函数f(x)的单调性； （Ⅱ）若曲线y f(x)上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取

值范围．

2

【解析】（Ⅰ）由题设知a 0,f (x) 3ax2 6x 3ax(x )．令f (x) 0得x1 0,x2 2．

aa

当（i）a>0时，

若x ( ,0)，则f (x) 0，所以f(x)在区间( ,2)上是增函数；

a

2a22若x (, )，则f (x) 0，所以f(x)在区间(, )上是增函数； aa

若x∈(0,)，则f (x) 0，所以f(x)在区间(0,)上是减函数； （i i）当a＜0时，

若x∈( ,2)，则f (x) 0，所以f(x)在区间( ,2)上是减函数；

2

a

aa

2

若x∈(0,)，则f (x) 0，所以f(x)在区间(0,2)上是减函数；

a

a

22

aa

若x (0, )，则f (x) 0，所以f(x)在区间(0, )上是减函数．

（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线y f(x)上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数y f(x)

243

在x 0,x 2处分别是取得极值f(0) 1 3，f() 2 1．

aaaaa

若x∈(,0)，则f (x) 0，所以f(x)在区间(,0)上是增函数； 因为线段AB与x轴有公共点，所以f(0) f(2) 0． a

(a 1)(a 3)(a 4)33即( 4 0． 1)(1 ) 0．所以2

aaaa

故(a 1)(a 3)(a 4) 0,且a 0．

解得 －1≤a＜0或3≤a≤4．即所求实数a的取值范围是[-1，0)∪[3，4]．

◆2005-19．设t 0，点P（t，0）是函数f(x) x ax与g(x) bx c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．

（Ⅰ）用t表示a，b，c；

（Ⅱ）若函数y f(x) g(x)在（－1，3）上单调递减，求t的取值范围． 【解析】（I）因为函数f(x)，g(x)的图象都过点（t，0），所以f(t) 0， 即t at 0．因为t 0,所以a t． g(t) 0,即bt c 0,所以c ab. 又因为f(x)，g(x)在点（t，0）处有相同的切线，所以f (t) g (t).

而f (x) 3x a,g (x) 2bx,所以3t a 2bt.

2

2

3

2

32

2

将a t代入上式得b=t 因此c ab t.故a t，b=t，c t

2323

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（II）解法一y f(x) g(x) x3 t2x tx2 t3,y 3x2 2tx t2 (3x t)(x t)．

当y (3x t)(x t) 0时，函数y f(x) g(x)单调递减．

t

x t；若t 0,则t x . 33

由题意，函数y f(x) g(x)在（－1，3）上单调递减，则

由y 0，若t 0,则

t

tt

( 1,3) ( ,t)或( 1,3) (t, ).

33t

所以t 3或 3.即t 9或t 3.

3

又当 9 t 3时，函数y f(x) g(x)在（－1，3）上单调递减． 所以t的取值范围为( , 9] [3, ).

解法二：y f(x) g(x) x3 t2x tx2 t3,y 3x2 2tx t2 (3x t)(x t) 因为函数y f(x) g(x)在（－1，3）上单调递减，且y (3x t)(x t)是（－1，3）

上的抛物线，

y |x 1 0, ( 3 t)( 1 t) 0.所以 即 解得t 9或t 3.

y|x 3 0. (9 t)(3 t) 0.所以t的取值范围为( , 9] [3, ).

三、立体几何（必修2）

（一）选择题

◆2012-4.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是 ．．．

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【答案】D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ，都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.

◆2011-4．如图所示，设它是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A．9 42 B．36 18

C．

99

12 D． 18 22

【解析】：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积

4339

V ）+3 3 2= 18。故选答案D

322

◆2009-6．平面六面体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为

A．3 B． 4 C．5 D． 6

【解析】如图，用列举法知合要求的棱为：BC、CD、C1D1、BB1、AA1，故选答案C. ◆2008-5．已知直线m、n和平面 、 满足m n,m , ,则

w．w．w．．．A.n B.n/ /或,n C.n D.n// ,或n 【解析】 选答案D

◆2008-9．长方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，ADA A1=1，则顶点A、B间的球面距离是 A．

4

B．

2

C D．

【解析】如图， BD1 AC1 2R R 设

BD1 AC1 O,则OA OB R

,故选答案B．

22

◆2007-6．如图，在正四棱柱 ABCD-A1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是

AOB

, l R

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A．EF与BB1垂直 B． EF与BD垂直 C．EF与CD异面 D． EF与A1C1异面

【解析】连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，三角形B1AC中EF//

12

AC，所以EF∥平面ABCD，

而B1B⊥面ABCD，所以EF与BB1垂直；又AC⊥BD，所以EF与BD垂直，EF与CD异面．由EF//

12

AC，

AC∥A1C1得EF∥A1C1故选答案D

◆2006-4．过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°则该截面的面积是 A．π B． 2π C． 3π D． 2

【解析】过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则截面圆的半径1

是R=1，该截面的面积是π，故选答案A． 2

（二）填空题

◆2012-15．如图4，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP ＝3，则

AP AC

2(AB BO) 【答案】18 【解析】设AC BD O，则AC 2(AB BO)，AP AC=AP 2

2AP AB 2AP BO 2AP AB 2AP(AP PB) 2AP 18.

◆2010-13．如图，三个直角三角形是一个体积为20cm2的几何体的三视图，则h= 4 cm

【解析】易知该几何体为三条侧棱两两垂直的三棱锥，V=

1

32

◆2007-15．棱长为1的正方形ABCD-A1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是 ；设E、F分别是该正方形的棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为 ．

32

【解析】正方体对角线为球直径，所以R ，所以球的表面积为3 ；由已知所求EF是正方体在球中其

4

×5×6×h=20，解得h=4,故填答案4.

1

1 中一个截面的直径，d

=,R

，所以r ，所以EF=2r

．故填答案3

222

◆2006-14． 过三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有 条．

【解析】过三棱柱 ABC－A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有6条．

◆2005-4．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则E到平面AB C1D1的距离为

A

2

B

．

2

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23

【解析】因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1平行于平面ABC1D1．所以点E到平面ABC1D1距离转化为

C．

1

D．

1点B1到平面AB C1D1

距离，即BC 故选答案B． 1

22

◆2005-15．已知平面 , 和直线，给出条件：①m// ；②m ；③m ；④ ；⑤ // ．（i）当满足条件 时，有m// ；（ii）当满足条件 时，有m ．（填所选条件的序号）

【解析】由线面平行关系知: m , ∥ 可得m∥ ; 由线面垂直关系得: m , ∥ ,可得m ．故填答案③⑤, ②⑤。 （三）解答题

◆2012-19.（本小题满分12分）

如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD. （Ⅰ）证明：BD⊥PC；

（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积

.

【解析】（Ⅰ）因为PA 平面ABCD,BD 平面ABCD,所以PA BD. 又AC BD,PA,AC是平面PAC内的两条相较直线，所以BD 平面PAC， 而PC 平面PAC，所以BD PC.

（Ⅱ）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（Ⅰ）知，BD 平面PAC， 所以 DPO是直线PD和平面PAC所成的角，从而 DPO由BD 平面PAC，PO 平面PAC，知BD PO. 在Rt

30 .

POD中，由 DPO 30，得PD=2OD.

因为四边形ABCD为等腰梯形，AC BD，所以从而梯形ABCD的高为

AOD, BOC均为等腰直角三角形，

111

AD BC (4 2) 3,于是梯形ABCD面积 222

1

S (4 2) 3 9.

2

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在等腰三角形ＡＯＤ中，OD 所以PD 2OD ,AD

2

PA 4.

11

S PA 9 4

12. 33

故四棱锥P ABCD的体积为V

【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD 平

面PAC即可，第二问由（Ⅰ）知，BD 平面PAC，所以 DPO是直线PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由V

◆2011-19．如图3，在圆锥

1

S PA算得体积. 3

PO中，已

知PO O的直径

的中点． AB 2,点C在 AB上,且 CAB=30 ,为DAC

（I）证明：AC 平面POD;

（II）求直线和平面PAC所成角的正弦值． 【解析】（I）因为OA OC,D是AC的中点,所以AC OD.

又PO 底面 O,AC 底面 O,所以AC OD.PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC 平面POD;

（II）由（I）知，AC 平面POD,又AC 平面PAC,所以平面

POD 平面PAC,在平面POD中，过O作OH PD于H,则OH 平面PAC,连结CH，则CH是OC在平面PAC上的射影，所以 OCH是直线OC和平面PAC所成的角．

1

,OH 在Rt POD中

3OH在Rt OHC中 ,sin OCH

OC3

◆2010-18．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点。 （Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M1。 【解析】（Ⅰ）如图，因为C1D1//B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1

所成

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的角。因为A1B1⊥平面BCC1B1，所以∠A

B1M=900. 而A1B1=1，B1M

tan∠MA1B1.

即异面直线A1M和C1D1

（Ⅱ）由A1B1⊥平面BCC1B

1，BM 平面BCC1B1，得A

1B1⊥BM。①

由（Ⅰ）知，B1MBMB1B =2，所以 B1M2+BM2=B1B2，从而BM⊥B1M。②

又A1B1 B1M=B1，再由①，②得BM⊥平面A1B1M

。而BM 平面ABM，因此平面ABM⊥平面A1B1M。 ◆2009-18．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4, AA1点D是BC的中点，点E在AC上，且DE A1E． （Ⅰ）证明：平面A1DE 平面ACC1A1;

（Ⅱ）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值． 【解析】（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质知AA1⊥平面ABC．又

DE 平面ABC，所以DE⊥AA1．而DE⊥A1E，AA1 A1E=A1 ,所以DE⊥平面ACC1A1.又DE 平面A1DE，故平面A1DE⊥平面ACC1A1． （Ⅱ）过点A作AF垂直A1E于点F,连接DF．由（Ⅰ）知，平面A1DE⊥平面ACC1A1，

所以AF⊥平面A1DE,故∠

ADF是直线AD和平面A1DE所成的角．因为DE⊥

ACC1A1，所以DE⊥AC．而

△ABC是边长为4的正三角形，于是AD=AE=4-CE=4-

=

12

CD

=3．又因为AA1=,所以A1E

4AF

AE AA1

A1E

4

, sin AEF

AFAD

8

．即直线AD和平面A1DE

8

◆2008-18．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=600，E是CD的中点，PA

底面ABCD，PA

（I）证明：平面PBE 平面PAB； （II）求二面角A-BE-P的大小． 【解析】（I）如图所示, 连结BD由ABCD是菱形且∠BCD=600知，

△BCD是等边三角形． 因为E是CD的中点，所以 BE⊥CD,又AB//CD,所以BE⊥AB,

又因为PA⊥平面ABCD，BE 平面ABCD，

所以PA⊥BE,而PA AB PA,因此 BE⊥平面PAB． 又BE 平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．

（II）由（I）知，BE⊥平面PAB, PB 平面

PAB, 所以PB BE. 又BE⊥AB,所以∠PBA是二面角A BE P的平面角．

PA

PBA 60.在Rt△PAB中, tan PBA AB

故二面角A BE P的大小为600. ◆2007-18． 如图，已知直二面角

所成角的正弦值为

.

PQ ，A PQ，B ，C ， BAP 45 ，直线CA和平面 所成的角为

300．

(Ⅰ)证明BC PQ；

(Ⅱ)求二面角B AC P的大小．α 【解析】（I）在平面β内过点C作CO⊥PQ于点O，连结OB．

因为α⊥β，α∩β=PQ，所以CO⊥α，又因为CA=CB，所以OA=OB．

而∠BAO=450，所以∠ABO=450，∠AOB=900．从而BO⊥PQ．又CO⊥PQ， 所以PQ⊥平面OBC．因为BC 平面OBC，故BC⊥PQ．

（II）由（I）知，BO⊥PQ

，又

α

⊥

β，α∩β=PQ，BO α，所以BO⊥β． 过点O作OH⊥AC于点H，连结BH，由三垂线定理知，BH⊥AC．