第九章

计数原理、概率、随机变量及其分布

第3课时

几何概型

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1.几何概型

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积 或________) 体积 ______(________ 成比例，则称这样的概率模型

几何概型 . 为几何概率模型，简称为___________2.几何概型的特点 几何概型的特点是什么？

提示：无限性、等可能性.栏目 导引

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3.几何概型的概率公式 构成事件 A的区域长度(面积或体积) P(A)= . 试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

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1.一个路口的红绿灯，红灯的时间为 30 秒，黄灯的时间 为 5 秒，绿灯的时间为 40 秒，则某人到达路口时看见的 是红灯的概率是 ( 1 A. 5 3 C. 5 ) 2 B. 5 4 D. 5

30 2 解析：选 B.以时间的长短进行度量，故 P= = . 75 5栏目 导引

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2. 如图，正方形 ABCD 的边长为 2,△ EBC 为正三角形.若 向正方形 ABCD 内随机投掷一个质点，则它落在△ EBC 内 的概率为 ( ) 3 A. 2 1 C. 2 3 B. 4 1 D. 4

1 解析：选 B.正方形的面积为 4,S△ EBC= × 2× 2×sin 60°= 2 3 3,所以质点落在△ EBC 内的概率为 . 4栏目 导引

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3. (2014· 湖南省五市十校联合检测 )一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行， 若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方 体 6 个表面的距离均大于 1.称其为 “安全飞行 ”,则蜜蜂 “安 全飞行 ”的概率为 ( ) 81- 4π 4π A. B. 81 81 1 8 C. D. 27 27解析：选 C.由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为 1 的小 正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率 1 1 为 P= 3 = . 3 27栏目 导引

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4. (2013·高考福建卷 )利用计算机产生 0~ 1 之间的均匀 2 随机数 a,则事件“ 3a- 1>0”发生的概率为 ________ . 31 解析：由题意知 0≤ a≤ 1.事件“ 3a- 1>0”发生时， a> 且 3 a≤ 1,取区间长度为测度，由几何概型的概率公式得其概率 1 1- 3 2 P= = . 1 3

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5. 如图所示，已知正方形的面积为 10,向正方形内随机地撒 200 颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为 114 颗，以此试验

4.3 数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为 ________ .

200- 114 解析： 根据随机模拟的思想， 这个面积是 10× = 4.3. 200栏目 导引

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与长度(角度)有关的几何概型(1)(2

013· 高考湖北卷)在区间[- 2, 4]上随机地取一个 5 3 数 x,若 x 满足 |x|≤m 的概率为 ，则 m=________ ; 6 (2)如图所示，在直角坐标系内，射线 OT 落在 30°角的终边 上，任作一条射线 OA,则射线 OA 落在∠ yOT 内的概率为 1 6 ________ .

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[解析]

(1)由 |x|≤m,得-m≤ x≤m . 2m 5 当 m≤2 时，由题意得 = , 6 6 解得 m= 2.5,矛盾，舍去. m-(- 2) 5 当 2<m<4 时，由题意得 = ,解得 m= 3.即 m 的 6 6 值为 3. (2)如题图， 因为射线 OA 在坐标系内是等可能分布的， 则 OA 60 1 落在∠ yOT 内的概率为 = . 360 6

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(1)与长度有关的几何概型： 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其 概率的计算公式为 构成事件 A的区域长度 P(A)= . 试验的全部结果所构成的区域长度 (2)与角度有关的几何概型： 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的 大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替， 这是两种不同的度量手段.

注意：有时与长度或角度有关的几何概型，题干并不直接给出，而是将条件隐藏，与其他知识综合考查.栏目 导引

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π π 1 1 1.在区间 [- , ]上随机取一个 x,sin x 的值介于- 与 2 2 2 2 之间的概率为 ( ) 1 2 A. B. π 3 1 2 C. D. 2 3 π π -(- ) 6 6 1 解析：选 A.所求概率为 = ,故选 A. π π 3 -(- ) 2 2栏目 导引

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与面积(体积)有关的几何概型(1)(2013· 高考陕西卷)如图，在矩形区域 ABCD 的 A,C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇 形区域 ADE 和扇形区域 CBF(该矩形区域内无其他信号来 源，基站工作正常 ).若在该矩形区域内随机地选一地点，则 该地点无信号的概率是( ) π π A. 1- B. - 1 4 2 π π C. 2- D. 2 4

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(2)在棱长为 2 的正方体 ABCDA1 B1 C1 D1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCDA1 B1 C1 D1 内随机取一点 P, 则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为( π A. 12 π C. 6 π B. 1- 12 π D. 1- 6 )

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S图 形DEBF [解析] (1)取面积为测度，则所求概率为 P= = S矩 形 ABCD π 2 1 2× 1-π × 1 × × 2 2- π 4 2 = = 1- . 2× 1 2 4 (2)点 P 到点 O 的距离大于 1 的点位于以 O 为球心，以 1 为 半径的半球外.记“点 P 到点 O 的距离大于 1”为事件 A, 1 4π 3 2 - × ×1 π 2 3 则 P(A)= = 1- . 3 2 123

[答案]

(1)A

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求解与面积有关的几何概型应注意： 求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面 积，求面积时，可根据题意构造两个变量，把变量看成点的 坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.

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