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1 2017年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．函数f （x ）=ln 的定义域为 ．

2．若复数z 满足z （1﹣i ）=2i （i 是虚数单位），是z 的共轭复数，则= ．

3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为 ． 4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：

现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为 ．

5．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为 ．

6．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1=1，S 4﹣5S 2=0，则S 5的值为 ．

7．将函数f （x ）=sinx 的图象向右平移个单位后得到函数y=g （x ）的图象，则函数y=f （x ）+g （x ）的最大值为 ．

8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2=6x 的焦点为F

，准线为

l

，

P 为抛物线

上一点，PA

⊥

l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k=﹣

，则线段PF 的长为 ． 9．若sin （α﹣）=，α∈（0，），则cosα的值为 ．

10．α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是 （填

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2 上所有正确命题的序号）．

①若α∥β，m ⊂α，则m ∥β；

②若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n ；

③若α⊥β，α∩β=n ，m ⊥n ，则m ⊥β；

④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β．

11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx ﹣y +2=0与直线l 2：x +ky ﹣2=0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x ﹣y ﹣4=0的距离的最大值为 ． 12．若函数f （x ）=x 2﹣mcosx +m 2+3m ﹣8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为 ．

13．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，2），则•的最小值为 ． 14．已知函数f （x ）=lnx +（e ﹣a ）x ﹣b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f （x ）≤0恒成立，则的最小值为 ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD=6，BD=3，

DC=2．

（1）若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小；

（2）若∠ABC=，求△ADC 的面积．

16．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ⊥平面PAB ，AP ⊥AB ．

（1）求证：CD ⊥AP ；

（2）若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面PAB ．

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17．在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b ．

（1）当a=90时，求纸盒侧面积的最大值；

（2）试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．

18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ： +=1经过点（b ，2e ），其中e 为椭圆C 的离心率．过点T （1，0）作斜率为k （k ＞0）的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点（A 在x 轴下方）．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M ，N ，求

的值； （3）记直线l 与y 轴的交点为P ．若=，求直线l 的斜率k ．

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4 19．已知函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ．

（1）若a=e ，函数g （x ）=（2﹣e ）x ．

①求函数h （x ）=f （x ）﹣g （x ）的单调区间；

②若函数F （x ）=的值域为R ，求实数m 的取值范围；

（2）若存在实数x 1，x 2∈[0，2]，使得f （x 1）=f （x 2），且|x 1﹣x 2|≥1，求证：e ﹣1≤a ≤e 2﹣e ．

20．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }，{c n }满足 （n +1）b n =a n +1﹣，

（n +2）c n =﹣，其中n ∈N*． （1）若数列{a n }是公差为2的等差数列，求数列{c n }的通项公式；

（2）若存在实数λ，使得对一切n ∈N*，有b n ≤λ≤c n ，求证：数列{a n }是等差数列．

数学附加题[选做题]在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]

21．如图，△ABC 的顶点A ，C 在圆O 上，B 在圆外，线段AB 与圆O 交于点M ．

（1）若BC 是圆O 的切线，且AB=8，BC=4，求线段AM 的长度；

（2）若线段BC 与圆O 交于另一点N ，且AB=2AC ，求证：BN=2MN ．

[选修4-2：矩阵与变换]

22．设a ，b ∈R ．若直线l ：ax +y ﹣7=0在矩阵A=

对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x +y ﹣91=0．求实数a ，b 的值．

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[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：（t 为参数），与曲线C ：（k 为参数）交于A ，B 两点，求线段AB 的长．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知a ≠b ，求证：a 4+6a 2b 2+b 4＞4ab （a 2+b 2）

[必做题]第25题、第26题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

25．如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，A 1A=AB=2，∠ABC=，E ，F 分别是BC ，A 1C 的中点．

（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值；

（2）点M 在线段A 1D 上， =λ．若CM ∥平面AEF ，求实数λ的值．

26．现有

（n ≥2，n ∈N *）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三

角形数阵：

设M k 是第k 行中的最大数，其中1≤k ≤n ，k ∈N*．记M 1＜M 2＜…＜M n

的概

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率为p n．

（1）求p2的值；

（2）证明：p n＞．

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2017年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．函数f （x ）=ln 的定义域为 （﹣∞，1） ．

【考点】函数的定义域及其求法．

【分析】根据对数函数的性质得到关于x 的不等式，解出即可．

【解答】解：由题意得：

＞0，

解得：x ＜1，

故函数的定义域是：（﹣∞，1）．

2．若复数z 满足z （1﹣i ）=2i （i 是虚数单位），是z 的共轭复数，则= ﹣1﹣i ．

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z ，进一步求得．

【解答】解：∵z （1﹣i ）=2i ，

∴

， ∴． 故答案为：﹣1﹣i ．

3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为

． 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

【分析】先求出基本事件总数n=3×3=9，再求出甲、乙不在同一兴趣小组包含的基本事件个数m=3×2=6，由此能求出甲、乙不在同一兴趣小组的概率．

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8 【解答】解：∵某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，

且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，

∴基本事件总数n=3×3=9，

甲、乙不在同一兴趣小组包含的基本事件个数m=3×2=6，

∴甲、乙不在同一兴趣小组的概率p=

． 故答案为：．

4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：

现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8

人，则

n 的值为

30

．

【考点】分层抽样方法．

【分析】利用分层抽样的定义，建立方程，即可得出结论．

【解答】解：由题意

=，

解得n=30，

故答案为：30

5．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为 17 ．

【考点】伪代码．

【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I ，S 的值，当I=9时不满足条件I ≤8，退出循环，输出S 的值为17．

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9 【解答】解：模拟执行程序，可得

S=1，I=1

满足条件I ≤8，S=2，I=3

满足条件I ≤8，S=5，I=5

满足条件I ≤8，S=10，I=7

满足条件I ≤8，S=17，I=9

不满足条件I ≤8，退出循环，输出S 的值为17．

故答案为17．

6．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1=1，S 4﹣5S 2=0，则S 5的值为 31 ．

【考点】等比数列的前n 项和．

【分析】经分析等比数列为非常数列，设出等比数列的公比，有给出的条件列方程求出q 的值，则S 5的值可求．

【解答】解：若等比数列的公比等于1，由a 1=1，则S 4=4，5S 2=10，与题意不符．

设等比数列的公比为q （q ≠1），

由a 1=1，S 4=5S 2，得

=5a 1（1+q ），

解得q=±2．

∵数列{a n }的各项均为正数，∴q=2．

则S 5==31． 故答案为：31．

7．将函数f （x ）=sinx 的图象向右平移

个单位后得到函数y=g （x ）的图象，则函数y=f （x ）+g （x ）的最大值为

．

【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．

【分析】利用函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律求得g （x ）的解析式，再利用两角和差的三角公式化简f （x ）+g （x ）的解析式，再利用正弦函数的值域求

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10 得函数y=f （x ）+g （x ）的最大值．

【解答】解：将函数f （x ）=sinx 的图象向右平移

个单位后得到函数y=g （x ）=sin （x ﹣）的图象，

则函数y=f （x ）+g （x ）=sinx +sin （x ﹣

）=sinx ﹣cosx=sin （x ﹣） 的最大值为

， 故答案为：

．

8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2=6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k=﹣

，则线段PF 的长为 6 ． 【考点】抛物线的简单性质．

【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线AF 的斜率得到AF 方程，与准线方程联立，解出A 点坐标，因为PA 垂直准线l ，所以P 点与A 点纵坐标相同，再代入抛物线方程求P 点横坐标，利用抛物线的定义就可求出PF 长．

【解答】解：∵抛物线方程为y 2=6x ，

∴焦点F （1.5，0），准线l 方程为x=﹣1.5，

∵直线AF 的斜率为﹣

， 直线AF 的方程为y=﹣

（x ﹣1.5）， 当x=﹣1.5时，y=3，

由可得A 点坐标为（﹣1.5，3

） ∵PA ⊥l ，A 为垂足，

∴P 点纵坐标为3，代入抛物线方程，得P 点坐标为（4.5，3），

∴|PF |=|PA |=4.5﹣（﹣1.5）=6．

故答案为6．

9．若sin （α﹣）=，α∈（0，），则cosα的值为

．

【考点】

三角函数的化简求值．

【分析】根据α∈（0，

），求解出α﹣∈（，），可得cos （）

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11 =，构造思想，cosα=cos （α

），利用两角和与差的公式打开，可得答案． 【解答】解：∵α∈（0，

）， ∴α﹣

∈（，）， sin （α﹣

）=， ∴cos （）=，

那么cosα=cos [（α）

]=cos （）cos （）﹣sin （）sin

=

= 故答案为：

． 10．α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是 ①④ （填上所有正确命题的序号）．

①若α∥β，m ⊂α，则m ∥β；

②若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n ；

③若α⊥β，α∩β=n ，m ⊥n ，则m ⊥β；

④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β．

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．

【分析】在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m ∥n 或m 与n 异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β； 在④中，由线面垂直的判定定理得m ⊥β．

【解答】解：由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知： 在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确； 在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n 或m 与n 异面，故②错误；

在③中，若α⊥β，α∩β=n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误；

在④中，若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则由线面垂直的判定定理得m ⊥β，故④正确．

故答案为：①④．

11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx ﹣y +2=0与直线l 2：x +ky ﹣2=0

相交

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12 于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x ﹣y ﹣4=0的距离的最大值为 3

．

【考点】

点到直线的距离公式． 【分析】直线l

1

：kx ﹣y +2=0与直线l 2：x +ky ﹣2=0的斜率乘积=k ×=﹣1，（k=0时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：M （0，2），N （2，0）．可得点M 到直线x ﹣y ﹣4=0的距离d 为最大值．

【解答】解：∵直线l 1：kx ﹣y +2=0与直线l 2：x +ky ﹣2=0的斜率乘积=k ×=﹣1，（k=0时，两条直线也相互垂直），并且两条直线分别经过定点：M （0，2），N （2，0）．

∴两条直线的交点在以MN 为直径的圆上．并且k MN =﹣1，可得MN 与直线x ﹣y ﹣4=0垂直．

∴点M 到直线x ﹣y ﹣4=0的距离d=

=3为最大值．

故答案为：3

．

12．若函数f （x ）=x 2﹣mcosx +m 2+3m ﹣8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为 {﹣4，2} ．

【考点】函数零点的判定定理．

【分析】由题意，唯一零点为0，则02﹣mcos0+m 2+3m ﹣8=0，即可得出结论．

【解答】解：由题意，唯一零点为0，则02﹣mcos0+m 2+3m ﹣8=0，

∴m=﹣4或2，

故答案为{﹣4，2}．

13．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，2），则•的最小值为 ﹣ ． 【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】设A （a ，b ），B （c ，d ），由已知向量可得C （a +1，b +2），D （c ﹣2，d +2），求得

=（c ﹣a ，d ﹣b ），=（c ﹣a ﹣3，d ﹣b ），代入•，展开后利

用配方法求得•的最小值． 【解答】解：设A （a ，b ），B （c ，d ），

∵

=（1，2），=（﹣2，2），

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13 ∴C （a +1，b +2），D （c ﹣2，d +2），

则

=（c ﹣a ，d ﹣b ），=（c ﹣a ﹣3，d ﹣b ）， ∴•=（c ﹣a ）（c ﹣a ﹣3）+（b ﹣d ）2

=（c ﹣a ）2﹣3（c ﹣a ）+（b ﹣d ）2=

． ∴•的最小值为﹣．

故答案为：﹣

14．已知函数f （x ）=lnx +（e ﹣a ）x ﹣b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f （x ）≤0恒成立，则的最小值为

﹣

． 【考点】

利用导数求闭区间上函数的最值．

【分析】

求出

，x

＞

0，当a ≤e 时，f′（x ）＞0，f （x ）≤0不可能恒成立，当a ＞e 时，由

，得x=，由题意当x=时，f （x ）取最大值0，推导出

（a ＞e ），令F （x ）=，x ＞e ，F′（x ）=，令H （x ）=（x ﹣e ）ln （x ﹣e ）﹣e ，H′（x ）=ln （x ﹣e ）+1，由此利用导数性质能求出的最小值．

【解答】解：∵函数f （x ）=lnx +（e ﹣a ）x ﹣b ，其中e 为自然对数的底数， ∴，x ＞0，

当a ≤e 时，f′（x ）＞0，

f （x ）在（0，+∞）上是增函数，∴f （x ）≤0不可能恒成立，

当a ＞e 时，由，得x=，

∵不等式f （x ）≤0恒成立，∴f （x ）的最大值为0，

当x ∈（0，

）时，f′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 当x ∈（

，+∞）时，f′（x ）＜0，f （x ）单调递减， ∴当x=时，f （x ）取最大值，

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14 f （）=﹣ln （a ﹣e ）﹣b ﹣1≤0，

∴ln （a ﹣e ）+b +1≥0，

∴b ≥﹣1﹣ln （a ﹣e ），

∴

（a ＞e ）， 令F （x ）=

，x ＞e ， F′（x ）==，

令H （x ）=（x ﹣e ）ln （x ﹣e ）﹣e ，

H′（x ）=ln （x ﹣e ）+1，

由H′（x ）=0，得x=e +，

当x ∈（e +，+∞）时，H′（x ）＞0，H （x ）是增函数，

x ∈（e ，e +）时，H′（x ）＜0，H （x ）是减函数，

∴当x=e +时，H （x ）取最小值H （e +）=﹣e ﹣，

∵x→e 时，H （x ）→0，x ＞2e 时，H （x ）＞0，H （2e ）=0，

∴当x ∈（e ，2e ）时，F′（x ）＜0，F （x ）是减函数，

当x ∈（2e ，+∞）时，F′（x ）＞0，F （x ）是增函九，

∴x=2e 时，F （x ）取最小值，F （2e ）=

=﹣， ∴的最小值为﹣．

故答案为：﹣．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD=6，BD=3，

DC=2．

（1）若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小；

（2）若∠ABC=

，求△ADC 的面积．

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15

【考点】正弦定理；两角和与差的正切函数．

【分析】（1）设∠BAD=α，∠DAC=β，由已知可求tanα=，tanβ=，利用两角和的正切函数公式可求tan ∠BAC=1．结合范围∠BAC ∈（0，π），即可得解∠BAC 的值．

（2）设∠BAD=α．由正弦定理可求sinα=，利用大边对大角，同角三角函数基本关系式可求cosα的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin ∠ADC ，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

【解答】（本小题满分14分）

解：（1）设∠BAD=α，∠DAC=β．

因为AD ⊥BC ，AD=6，BD=3，DC=2，

所以tanα=，tanβ=，…

所以tan ∠BAC=tan （α+β）===1．…

又∠BAC ∈（0，π），

所以∠BAC=．…

（2）设∠BAD=α．在△ABD 中，∠ABC=，AD=6，BD=3．

由正弦定理得

=，解得sinα=．… 因为AD ＞BD ，

所以α为锐角，从而cosα=

=．… 因此sin ∠ADC=sin （α+）=sinαcos +cosαsin

=（+）=．…

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16 △ADC 的面积S=×AD ×DC•sin ∠ADC=×6×2×

=（1+）．…

16．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ⊥平面PAB ，AP ⊥AB ．

（1）求证：CD ⊥AP ；

（2）若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面PAB ．

【考点】直线与平面平行的判定．

【分析】（1）推导出AD ⊥AP ，AP ⊥AB ，从而AP ⊥平面ABCD ，由此能证明CD ⊥AP ．

（2）由CD ⊥AP ，CD ⊥PD ，得CD ⊥平面PAD ．再推导出AB ⊥AD ，AP ⊥AB ，从而AB ⊥平面PAD ，进而CD ∥AB ，由此能证明CD ∥平面PAB ．

【解答】（本小题满分14分）

证明：（1）因为AD ⊥平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，所以AD ⊥AP ．…

又因为AP ⊥AB ，AB ∩AD=A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，

所以AP ⊥平面ABCD ．…

因为CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥AP ．…

（2）因为CD ⊥AP ，CD ⊥PD ，且PD ∩AP=P ，PD ⊂平面PAD ，AP ⊂平面PAD ，

所以CD ⊥平面PAD ．①…

因为AD ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AB ⊥AD ．

又因为AP ⊥AB ，AP ∩AD=A ，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，

所以AB ⊥平面PAD ．②…

由①②得CD ∥AB ，…

因为CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD ∥平面PAB ．…