第2章多元正态分布

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6 多元分布多元正态分布的定义及基本性质正态分布的条件分布和独立性矩阵正态分布参数的极大似然估计极大似然估计的性质§§§§§§

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§2.1

多元分布

¾随机变量¾随机向量¾随机矩阵

随机向量：ξ=(ξ1,ξ2 ξp)′

随机矩阵：ξ=(ξij)

n×p

随机矩阵拉直后就是随机向量，二

.

3注：者都是由多个随机变量组成，只是摆放形势不同

一、多元分布函数

定义2.1.1 设ξ=(ξ1,ξ2, ,ξp)′是一随机向量，它的(多元)分布函数(ξ1,ξ2, ,ξp的联合分布函

数)定义为

F(x)=F(x1,x2, ,xp)

=P(ξ1≤x1,ξ2≤x2, ,ξp≤xp)式中x=(x1,x2, ,xp)′∈R，记作ξ~F.p

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多元分布函数的性质：

(1) F(x1,x2, ,xp)是每个变量xi(i=1,2, ,p)的单调非降右连续函数.

(2) 0≤F(x1,x2, x,p)≤1

(3) F( ∞,x2, ,xp)=F(x1, ∞, ,xp)= =F(x1,x2, , ∞)=0

(4) F(+∞,+∞, ,+∞)=1

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定义 2.1.2设ξ~ F,若存在一个非负的函数 f ( ),使得 F ( x)=x1 x 2 xp

∞ ∞ p

∫∫∫ f (t ∞

1

, t2,

, t p )dt 1 dt 2

dt p

对一切 x∈ R成立，则称ξ (或 F ( X ))有分布密度 f ( ),并称ξ为连续型随机向量 .

一个多元函数f( )能作为Rp中某个随机向量的分布密度，当且仅当

(1) f(x)≥0, x∈Rp

(2) ∫f(x)dx=1

Rp

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分布函数与密度函数的关系：若x 0为f ( x )的连续点，则 f ( x0 )= F ( x1,p

, xp) x px= x0

x 1

二、边缘分布

定义2.1.3 若ξ为p维随机向量，由它q(q<p)个分量组成的随机向量ξ(1)

ξ的边缘分布.

9的的分布称为

ξ (1) ，则ξ的分布函数为不妨假设ξ= ξ(2)

(1)P(ξ≤u)=P(ξ1≤u1, ,ξq≤uq)=P(ξ1≤u1, ,ξq≤uq,ξq+1≤∞, ,ξp≤∞)=F(u1, ,uq,∞,∞, ,∞)(1)

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若ξ有分布密度函数f(x)，则

P(ξ

=(1)≤u)uq∞∞∞u1u2

∞ ∞

u1u2∫∫ ∫∫∫ ∫ ∞ ∞ ∞uq∞∞f(t1, ,tp)dt1dt2 dtp∞ ∞ =∫∫ ∫ ∫∫ ∫f(t1, ,tp)dtq+1 dtp dt1 dtq ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

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ξ(1)的边缘分布密度为

f(1)(x1, ,xq)=

∞∞∞

∫∫ f(x1, ,xq,tq+1, ,tp)dtq+1∞ ∞ ∫∞dtp

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注：

（1）ξ有分布密度函数，则它的任何边缘分布也有分布密度函数；

（2）若ξ的任何边缘分布有分布密度函数，并不能推出ξ有分布密度.

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例如：ξ是 R 2的单位圆周上的均匀分布，ξ无分布密度函数，但ξ的每个边缘分布有密度函数，可以计算出 1 x2 2arc

tg x 1< x≤ 0 2π F ( x )= P (ξ 1≤ x )= 1 x2 2π 2arctg x 0< x≤1 2π 求导后得到ξ 1的分布密度函数 .14

三、独立性

定义 2.1.4若对一切 u、v,有 P (ξ≤ u,η≤ v )= P (ξ≤ u ) P (η≤ v )则称两个随机向量ξ和η是相互独立的 .

两个随机向量独立的充分必要条件：

①联合分布函数等于边缘分布函数的乘积；②若随机向量为连续型的，联合分布密度等于边缘分布密度的乘积；

③若随机向量为离散型，联合分布列等于边缘分布列的乘积；

④联合特征函数等于边缘特征函数的乘积.

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