1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数第1课时 任意角的三角函数

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【课标要求】 1.借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定 义. 2.掌握公式一及其应用. 【核心扫描】 1.利用三角函数定义求函数值.(重点) 2.利用角终边上的点的坐标来刻画三角函数及符号.(难点) 3.三角函数在各象限的符号.(易混点)

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自学导引 1.任意角的正弦、余弦和正切的定义 (1)单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点 O 为圆心，以单位长度 为半径的圆为单位圆.

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(2)任意角的三角函数 如图，设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么： ①y 叫做 α 的正弦，记作 sin α,即 sin α= y ; ②x 叫做 α 的余弦，记作 cos α,即 cos α= x ; y y ③x叫做 α 的正切，记作 tan α,即 tan α= x (x≠0). (3)正弦函数 sin α 的定义域是 R ; 余弦函数 cos α 的定义域是 R π 正切函数 tan α 的定义域是{x|x∈R,且 x≠kπ+2,k∈Z}. ;

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2.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号

想一想：三角函数在各象限的符号由什么来确定？ 提示 由三角函数定义可知，三角函数在各象限的符号由角 α 终边上任意一点的坐标来确定.

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3.诱导公式(一) 终边相同的角的同一三角函数的值 相等 ，即： sin(α+k·2π)= sin α ,cos(α+k·2π)= cos α , tan(α+k·2π)= tan α ,其中 k∈Z. 想一想：与同一个三角函数值对应的角有多少个？ 1 π 提示 有无数个， 例如 sin α=sin β= , α=2kπ+ 或 β=2kπ 则 2 6 5 +6π(k∈Z),由于 k 可以取不同整数，故同一个三角函数值对 应的角可以有无数个.

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名师点睛 1.对三角函数定义的理解 (1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确，α 是一个任意角. (2)用单位圆上的点的坐标定义三角函数有许多优点 ①使正弦、余弦函数从自变量(角的弧度数)到函数值(单位圆上 点的横、纵坐标)之间的对应关系更清楚、简单，突出了三角函 数的本质，有利于我们利用已有的函数概念来理解三角函数； ②使三角函数反映的数形关系更直接，为后面学习其他问题奠 定基础.

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(3)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和 P(x, y)所在终边上的位置无关，而由角 α 的终边位置决定. (4)要明确 sin α 是一个整体，不是 si

n 与 α 的乘积，它是“正弦 函数”的一个记号，就如 f(x)表示自变量为 x 的函数一样，离 开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的.

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2.诱导公式(一)的理解及其应用 (1)公式一的实质是说终边相同的角的三角函数值相等. (2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边 的角为 α+k·2π,右边的角为 α.注意公式一中的条件 k∈Z 不可 遗漏. (3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求 0~2π(或 0° ~360° )角的三角函数值.

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3.熟记一些特殊角的三角函数值 角 α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 270° 360° 角α 的 弧 度 数 sin α 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 1 2 0 -1 0 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 5π 6 π 3π 2 2π

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cos α tan α

1

3 2 3 3

2 2 1

1 2 3

0 不存 在

1 3 -1 -2 - 2 3 - 3 - 3 0

0 不存 在

1

0

0

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题型一

用三角函数定义求值

【例 1】 (2011· 沈阳高一检测)已知角 α 的终边过点 P(- 3a,4a)(a≠0),求 2 sin α+cos α 的值. [思路探索]

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解 r= -3a 2+ 4a 2=5|a|, ①若 a>0,则 r=5a,角 α 在第二象限. y 4a 4 x -3a 3 sin α=r =5a=5,cos α= r = 5a =-5, 8 3 ∴2 sin α+cos α=5-5=1. ②若 a<0,则 r=-5a,角 α 在第四象限， -3a 3 4a 4 sin α= =-5,cos α= = . -5a -5a 5 8 3 ∴2 sin α+cos α=-5+5=-1.课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

规律方法

(1)解已知角 α 的终边在直线上的问题时，常用的解

题方法有以下两种： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、 余弦函数的定义求出相应三角函数值. ②在 α 的终边上任选一点 P(x, P 到原点的距离为 r(r>0). y), 则 y x sin α= ,cos α= .已知 α 的终边求 α 的三角函数值时，用这几 r r 个公式更方便. (2)当角 α 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的 实际情况对参数进行分类讨论.课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

【变式 1】 已知角 α 的终边过点 P(-3cos θ,4cos θ),其中 θ π ∈ 2,π ,求

sin α,cos α,tan α 的值. cos θ<0,

解 因为

π θ∈ 2,π ,所以

所以 r= -3cos θ 2+ 4cos θ 2=5|cos θ|=-5cos θ. -3cos θ 3 4cos θ 4 4cos θ 于是 sin α= =-5, α= cos = , α= tan -5cos θ -5cos θ 5 -3cos θ 4 =- . 3

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题型二

三角函数的符号问

题

【例 2】 判断下列各式的符号： (1)α 是第二象限角，sin α· α; cos (2)sin 3· cos 23π 4· - 4 . tan

[思路探索] 解答本题可根据三角函数值在各象限的符号规律 求解.

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