材料力学

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第十三章§13–1 概述 §13–2 杆件应变能的计算

能量方法

§13–3 应变能的普遍表达式§13–4 互等定理 §13–7 单位载荷法 莫尔积分 §13–8 计算莫尔积分的图乘法

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§13–1应变能

概述

杆件发生弹性变形，外力功转变为变形能贮存在杆内，这 种能称为应变能(Strain Energy),用“V ”表示。

能量原理：弹性体内部所贮存的变形能，在数值上等于外力所作的功，即

Vε W利用这种功能关系分析计算变形固体的位移、变形和

内力的方法称为能量方法。

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§13–2 杆件应变能的计算1.轴向拉压杆的变形能计算： 已知:P、A、l、E

l

1 W P l , 2Δl

Pl l EA

P

P

1 P 2l Vε W P l 2 2 EA

l

Pl EA

l

即：Vε

2 FN l

2 EA

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B1

C2

30°

A

Vε

n

2 FNi li

i 1 2 Ei Ai

P1

4P a

2

P

a

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2.扭转杆的变形能计算：

m

1 W m 2

l

ml Tl G Ip G Ip2

T l 1 m l W m 2G Ip 2G Ip 2T 2l Vε W 2GI P

2

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m

T(x)

T(x)+dT(x)O

dxl

dx

T 2 ( x ) dx dVε 2GI P

T 2 ( x ) dx Vε 2G Ip

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3.弯曲杆的变形能计算：

1 W m 2

m A l

ml EI1 m2 l M 2 l W m 2 2E I 2E I

M 2l Vε W 2 EI

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q A B

dx

M 2 ( x)dx dVε 2 EI

l

M 2 ( x)dx Vε 2 EI

M(x) (+)

M(x)+dM(x)

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[例1]

用能量法求C点的挠度。梁的EI为已知。

解：外力功等于应变能 PA C fC

B

1 W P fC 2 M 2 ( x) Vε dx L 2 EIP x1 ; (0 x1 a ) 2 P M ( x2 ) x 2 ; ( 0 x 2 a ) 2 M ( x1 )

x1 a

a

x2

Vε

a

0

a 1 P 1 P 2 ( x2 ) 2 dx2 ( x1 ) dx1 0 2 EI 2 2 EI 2 a

W Vε

2

0

1 P P 2a3 ( x1 ) 2 dx1 2 EI 2 12EI

fC

Pa3 6 EI

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§ 13–3 变形能的普遍表达式1. 物体受外力P1、 P2、 、 Pn ,n个力

P1

P2δ1

2. 物体无刚性位移，外力作用点沿作用线方

向的位移为：δ 1、 δ 2、 、 δ 3. 物体的材料是线弹性的。

n

δ

2

变形能与加载次序无关，只与外力和位移的最终值有关。 采用等比例加载，

dn P n

P : P2 : : Pn c1 : c2 : : cn 1

则P1和δ 1成正比，P2和δ 2成正比，

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1 1 1 W P d 1 P2 d 2 P3 d 3 1 2 2 2P1

P2δ1

式中P可以是力偶，则 对应的δ 应为角位移

δ

2

dn P n

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应变能是否可以应用叠加法？

P1 A

P2 B

P1 A B A

P2

B

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应变能是否可以应用叠加法？ P m l P

ml l

1 W m 2变形能可以相互叠加。

如果各作用力产生的变形是相互独立的，则引起的

1 W P fC 2

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[例1] 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作用，求A点的垂直位移。

P R

RP

A

杆件组合变形时如何计算应变能？

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M(x) P

M(x)

N(x)

T(x) T(x)

N(x)

A dx2

FN ( x ) dx T 2 ( x ) dx M 2 ( x ) dx dVε 2 EA 2GI P 2 EI

FN 2 ( x ) T 2 ( x) M 2 ( x) Vε L dx L dx L dx 2 EA 2GI P 2 EI2 FN l T 2 ( x) M 2 ( x) Vε dx dx L 2 EA L 2GI P 2 EI