热力学统计物理 课后习题 答案

第六章 近独立粒子的最概然分布

6．1试证明，在体积V内，在ε到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为

32 V

D(ε) d ε =3 2m 2 2d

h

1

证明：由式子（6-2-13），在体积V=L3内，在PX到PX+dPX，PY到PY+dPY，PZ到PZ+dPZ，的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为

V

dPXdPYdPZ-----------------（1） h3

4 V2

PdP-------------（2） 3h

用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，的得在体积V内，动量大小在P到P+dP范围内，三维自由粒子可能的量子态数为

上式可以理解为将相空间（ 空间）体积元4 VP2dP（体积V，动量球壳4 P2dP）除以相格大小h3而得到的状态数。

P2

自由粒子的能量动量关系为

2m

因此 P

2m ， PdP md

将上式代入（2）式，即得到在体积V内，在ε到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子的量子

32 V

态数为 D(ε) d ε =3 2m 2 2d ------------（3）

h

1

6．2试证明，对于一维自由粒子，在长度L内，在ε到ε+dε的能量范围内，量子态数为

2L m

D(ε) d ε = d

h 2

2 h

n n LL

h

dp dn

L

证明：对于一维自由粒子，有p

由于p的取值有正、负两种可能，故动量绝对值在p p dp范围内的量子态数 dn 2

2

L

dp h

p2

得p 2m 再由 2m

2L2L m

所以 D d dn d2m d ， 证毕

hh 2

6．3试证明，对于二维自由粒子，在面积L2内，在ε到ε+dε的能量范围内，量子态数为

2

2 L2

D(ε) d ε =2md

h

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证明：对于二维自由粒子，有px

hhnx,py ny LL

hh

dpx dnx,dpy dny

LL

所以，在面积L2内，在px px dpx,py py dpy内的量子态数为

L2

dnxdny＝2dpxdpy

h

换为极坐标，则动量大小在p p dp内的量子态数为

L2L2

dn 2pdpd 2dp2d

h2h

p2

对φ从0至2π积分，并利用 则可得在ε到ε+dε的能量范围内，量子态数为

2m

2 L2

D(ε) d ε =2md ，证毕

h

6．4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为 =CP，试求在体积V内，ε到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =

4 V2

d (ch)3

证明：在体积V=L3内，在PX到PX+dPX，PY到PY+dPY，PZ到PZ+dPZ，的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为

V

dPXdPYdPZ-----------------（1） h3

4 V2

PdP-------------（2） 3h

用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，的得在体积V内，动量大小在P到P+dP范围内，三维自由粒子可能的量子态数为

在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为 =CP，

代入，可得在体积V内，ε到ε+dε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为 D(ε) d ε =

4 V2

d -------------------（3） 3

(ch)

6．6同6.5题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何? 解：两种粒子的分布 al 和al'必须满足：

a

l

l

N， N'，

a

l

'

l

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a a

ll

'l

l

l

'l

E，

其中E为系统总能量。又上面各式可得：

a

ll

l

0 （1）

' a l 0 （2）

a

ll

l

0 l' al' 0 （3）

l

对于波色子：

分布 al 和al'的微观状态数分别为：

l al 1 ! l' al' 1 !'

'' a! 1!a 1!llllll

系统的微观状态数 system

在平衡状态下两种粒子的最概然分布是在限制条件（1）、（2）、（3）下使 system极大的分布，此时必有 ln system 0

而

'

ln system ln ' ln l al 1 ! lnal! ln l 1 ln l' al' 1! lnal'! ln l' 1

l

当

l 1,al 1, l' 1,al' 1 时

ln system l al ln l al allnal lln l l' al'ln l' al' al'lnal' l'ln l'

l

则由 ln system 0 得

ln

l

l

al lnal al ln l' al' lnal' al' 0 （4）

用拉氏乘子α、α’、β分别乘（1）（2）（3）式并从（4）式中减去，得

ln

l

l

al lnal l al ln l' al' lnal' ' l' al' 0

根据拉氏乘子法原理，上式中每一个 al及 al'的系数都必须为零，即

ln l al lnal l＝0

ln l' al' lnal' ' l'＝0

所以，平衡状态下两种玻色子的最概然分布分别为

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al=

对于费米子

l

e l

， al=

´´

l'

'

'

e l

l! l'!'

'' a! 1!llal l 1!ll

当 l 1,al 1, l' 1,al' 1, l al 1,

'

l al' 1,时

ln system ln ' l al ln l al allnal lln l l' al'ln l' al' al'lnal' l'ln l'

l

用与前面相同的方法，可得平衡状态下的两种费米子的最概然分布分别为

al=

l

e

l

，

al´=´

l'

' l'

e

以上结果表明，无论对于波色子还是费米子，如果把一种粒子看作是一个子系统，系统

由两个子系统组成，则平衡时两个子系统具有相同的β。