高等数学公式总结1- 10

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高等数学公式总结

第一章 一元函数的极限与连续

1、一些初等函数公式：

和差角公式：

sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin

tan tan

tan( )

1 tan tan cot cot 1

cot( )

cot cot

sh( ) sh ch ch sh ch( ) ch ch sh sh

积化和差公式：

1

sin cos [sin( ) sin( )]

21

cos sin [sin( ) sin( )]

21

cos cos [cos( ) cos( )]

21

sin sin [cos( ) cos( )]

2

和差化积公式：sin sin 2sin

22

sin sin 2cossin

22

cos cos 2coscos

22

cos cos 2sinsin

22

cos

倍角公式：

sin2 2sin cos cos2 2cos2 1

1 2sin2 cos2 sin2

2tan

tan2

1 tan2 cot2 1

cot2

2cot

sh2 2sh ch ch2 1 2sh

2ch2 1 ch2 sh2

2

sin2 cos2 1;tan2x 1 sec2x;cot2x 1 csc2x;ch2x sh2x 1半角公式：

sincostancot

2

1 cos sin

sin 1 cos 1 cos sin

sin 1 cos

2

2

2

ex e x

双曲正弦:shx ；反双曲正弦:arshx ln(x 2ex e x

双曲余弦:chx ；反双曲余弦:archx ln(x

2

11 xshxex e x

x x:arthx ln双曲正切:thx

21 xchxe e(a3 b3) (a b)(a2 ab b2)，12 22 n2

n(n 1)(2n 1)

6

n2(n 1)2

1 2 n

4

3

3

3

2、极限

常用极限：q 1,limqn

0;a

1; 1

n

nn 若f(x) 0,g(x) ,则 lim[1 f(x)]

g(x)

e

lim

ln(1 f(x))1/g(x)

ln(1 f(x))~f(x) e lim[f(x)g(x)]

两个重要极限

1

sinxsinx1x

1,lim 0;lim(1 e lim(1 x)x lim

x 0x x x 0xxx

常用等价无穷小

:

1 cosx~

121

x; ~xsinx~arcsinx~arctanx 1~x;2n

ln(1 x)~xax 1~xlna; ex~x 1;(1 x)a~1 ax;

3、连续：

定义：lim y 0;limf(x) f(x0)

x 0

x x0

极限存在 lim f(x) lim f(x)或f(x0) f(x0)

x x0

x x0

第二章 导数与微分

1、 基本导数公式：

f (x0) lim

f(x0 x) f(x0)f(x) f(x0) y

lim lim tan

x 0 x x 0x x0x x0 x

导数存在 f_ (x0) f+ (x0)

C 0; (xa) axa 1; (sinx) cosx; (cosx) sinx; (tanx) sec2x; (cotx) csc2x;(secx) secx tanx; (cscx) cscx ctgx; (ax) axlna;(ex) ex;

11(logax) ; (lnx) ; (arcsinx) (arccosx) xlnax

11

; (arccotx) ; (shx) hx;(chx) shx;22

1 x1 x11

(thx) 2; (arshx) (archx) arthx) 2

chxx 12、高阶导数： (arctanx) (xn)(k)

n!

xn k (xn)(n) n!;(ax)(n) axlnna (ex)(n) ex

(n k)!

1(n)( 1)nn!1(n)( 1)nn!1(n)n!() ;( ;( n 1n 1n 1

(x a)(a x)xxx aa x

(sinkx)(n) kn sin(kx n (coskx)(n) kn cos(kx n

22

(n 1)!1(n 1)(n)n 1(n 1) ( 1)n 1 [ln(x)] ( ( 1) nn(a x)xx

牛顿-莱布尼兹公式：

n

(uv)

(n)

k(n k)(k)

Cnuvk 0

u(n)v nu(n 1)v 3、微分：

n(n 1)(n 2)n(n 1)(n k 1)(n k)(k)

uv uv uv(n)

k!2!

f (x0) x f (x)dx; y f(x x) f(x) dy o( x);dy=

连续 极限存在 收敛 有界;可微 可导 左导=右导 连续；不连续 不可导

第三章

微分中值定理与微分的应用

1、基本定理

拉格朗日中值定理：f(b) f(a) f ( )(b a), (a,b)

f(b) f(a)f ( )

, (a,b)

F(b) F(a)F ( )当F(x) x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

2、

f (x0)f(n)(x0)2

(x x0) (x x0)n Rn(x)泰勒公式:f(x) f(x0) f (x0)(x x0)

2!n!

o((x x0)n)

Rn(x) f(n 1)( ); ( (x0,x), (0,1))余项: f(n 1)(x0 (x x0))n 1n 1

(xx)(xx) 00 (n 1)!(n1)!

f (0)2f(n)(0)nf(n 1)( x)n 1

麦克劳林公式: f(x) f(0) f (0)(x) (x) (x) x; ( (0,1))

2!n!(n 1)!

常用初等函数的展式：

x2xne x

e 1 x Rn(x);Rn(x) xn 1;( (0,1))

2!(n 1)!n!

x

sin[ x (2m 1)]xxxm 1x2m 1;( (0,1)) sinx x ( 1) R2m(x);R2m(x) 3!5!(2m 1)!(2m 1)!

3

5

2m 1

2mx2x4cos[ x (m 1) ]2m 2mxcosx 1 ( 1) R2m 1(x);R2m 1(x) x;( (0,1)) 2!4!(2m)!(2m 2)!

nnn 1

x2x4n 1xn 1xnxln(1 x) x ( 1) Rn(x) ( 1) ( 1)

2!3!1nnnn 1n 0

Rn(x)

( 1)

xn 1;( (0,1))n 1

(n 1)(1 x)

n

(1 x) 1 x

( 1)

n!2!

( 1)( n)

Rn(x) (1 x) n 1xn 1;( (0,1))

(n 1)!

x2

( 1)( n 1)

xn Rn(x);

12nn

ln (1 x) 1 x x ( 1)x ( 1)nx 1 xn 0

3、

弧微分公式：ds

.( :从M点到M 点，切线斜率的倾角变化量； s:MM 弧长) s

(t) (t) (t) (t)d

M点的曲率：K lim. s 0 sds222

[ (t) (t)]1

直线的曲率：K 0;半径为R的圆的曲率：

K

R

平均曲率：

1

曲线在点M处的曲率半径: =

K

第四章 不定积分

1、常用不定积分公式：

f(x)dx F(x) C;( f(x)dx) f(x); F (x)dx F(x) C

x 1

xdx 1 C( 1);

x

1

xdx lnx C;

axxx

adx lna C; edx e C;

sinxdx cosx C; cosxdx sinx C;

tanxdx lncosx C; cotxdx lnsinx C; secxdx lnsecx tanx C;

x

C lncscx cotx C;2

dxdx22

sectan; cscxdx x Cxdx cos2x sin2x cotx C;

cscxdx lncscx cotx C lntan

secx tanxdx secx C; cscx cotxdx cscx C;

shxdx chx C; chxdx shx C;

x

arcsinxCarccosxC; arcsin C;a

dxdx1x

arctanarccot; arctan x C …… 此处隐藏：4526字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……