医用高等数学定积分习题精讲

习 题 五

习 题 五

1. 由定积分的几何意义计算下列定积分 （1）

2π 0 0

sinxdx；

（2

）

R π

x；

（3） 3xdx；

1（4） cosxdx.

π 0

2π

1. 解：由定积分的几何意义 （1） （2

）

2π 0 R R 0

sinxdx

sinxdx

sinxdx A ( A) 0

dx

32

R R

x

12

2 R

（3） 3xdx

1 π

（4） cosxdx

π2

cosxdx

π2

cosxdx A ( A) 0

2. 用定积分的定义，计算由曲线y x2 1与直线x 1,x 4及x轴所围成的曲边梯形的面积.

解：因为被积函数f(x) x2 1在[1，4]上是连续的，故可积，从而积分值与区间[1，4]的分割及点 i的取法无关. 为了便于计算，把区间[1，4]分成n等份，每个小区间的长度都等于

3n

，分点仍记为

1 x0 x1 x2 xn 1 xn 4

并取 i xi(i 1，2， ，n)，得积分和

n

n

n

n

i 1

f( i) xi

i 1

( i 1) xi

27n

3

n

2

i 12

(xi 1) xi 18n

2

n

2

((

i 1

3in

+1) 1)

2

3n

i

i 1

i 6

i 1

19n

3

2

n(n 1)(2n 1)

181n2

2

n(n 1) 6

92

(1

1n

)(2

1n

) 9(1

1n

) 6

令n （此时各小区间的长度都趋于零，故 0），对上式取极限，由定积分的定义，得

n

41

(x+1)dx lim

2

0

(

i 1

2

i

1) xi lim[

n

92

(1

1n

)(2

1n

) 9(1

1n

) 6] 24

3. 判断下列式子是否一定正确 （1） f(x)dx≥0（其中f(x)≥0）；

a b

（2）

b a

f(x)dx≥

b a

f(x)dx

(a b).

3. 解：

（1）不一定正确，这是因为题中未指明a与b的大小关系. 当a b时，有 f(x)dx≥0；当a b时，有 f(x)dx 0.

a

a

b

b

（2）一定正确.

由定积分的性质，已知a b，f(x) f(x)，则 4. 试比较下列各组积分值的大小，并说明理由 （1） xdx， x2dx， x3dx；

1

1

1

b a

f(x)dx≥

b a

f(x)dx.

（2） lnxdx， (lnx)2dx，

3

3

4 4 4 3

1lnx

dx；

（3） xdx， ln(1 x)dx， exdx.

1 1 1

4. 解：

（1）当x [0,1]时，有x x2 x3，因此 xdx

0 1

1 0

xdx

2

1 0

xdx.

3

（2）当x [3,4]时，有lnx 1，(lnx)2 lnx 因此 (lnx)2dx

3 4

1lnx

，

3

4 3

lnxdx

4 3

1lnx

dx

5. 计算

（1）lim

x 0

x 0

(1 cost)dtx sinx

；

（2）lim

x 0

x 0

(1 cost)dttanx x

3

.

解：（1）根据洛必达法则和积分上限函数导数的性质

lim

x 0

x 0

(1 cost)dtx sinx

3

lim

1 cosx1 cosx

3

x 0

2

lim(1 cosx cosx) 3

x 0

（2）同理

lim

x 0

(1 cost)dttanx x

3

x 0

lim

1 cosxsecx 1

22

3

x 0

lim

3cosxsinx2tanx

4

lim

3cosxsinx2secxtanxsecx

1xx 0x 0

32

6.

求y

tdt(x 0)的导函数y (x).

2

2

1x

2

解：

y (x) [

1costdt

x

2

tdt] [

costdt

2

tdt]

2

cos

2

1x

(

1x

)

2

1x

2

cos

2

1x

x

7. 计算下列定积分 （1） (x2

1 3

1x

2

)dx

；

解： （1） (x2

1 3

13131 (x ) )dx92

x33x1

（2

） （3

）

4

4

1

dx

9 4

x)dx (

23

3

x2

12

x)

2

94

45

16

4 1

t 24

22

t,x ,dx

t2

dt

3

1

1

1

8

x

1t

t 2)dt [ 2t83

（4

）

x

2

t,x t 1,dx 2tdt

5

x

1 1π

1

2

20

t

2

2

t 1

0 1

2[t-arctant]

20

2 [1

2

1t 1

2

]dx 4 2arctan2

（5） xxdx x2dx （6）

2π 2e

1 0

xdx=0

2

sinxdx

1

0 π2

π

sinxdx 2sinxdx=2

（7） 1lnxdx 1lnxdx 1lnxdx [xlnx

e

e11e

e

1dx] xlnx

e

1

e1

e

1

dx 2-

1e

（8

）

x

3

xx 2

43

3x

x

xx

2cosx

43

cos2x2

ln20

（9）

ln2 0

e(1 e)dx

xx2

ln2 0

(e 2e

x2x

+e)dx (e e

2x

+

13

e)

3x

6

13

（10

）

1 x

1 1

x

0 1

0

10

x

2

1

2

(1 x)

1

2

(1 x)

2

13

3

(1 x)2|

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