习 题 五

习 题 五

1. 由定积分的几何意义计算下列定积分 （1）

2π 0 0

sinxdx；

（2

）

R π

x；

（3） 3xdx；

1（4） cosxdx.

π 0

2π

1. 解：由定积分的几何意义 （1） （2

）

2π 0 R R 0

sinxdx

sinxdx

sinxdx A ( A) 0

dx

32

R R

x

12

2 R

（3） 3xdx

1 π

（4） cosxdx

π2

cosxdx

π2

cosxdx A ( A) 0

2. 用定积分的定义，计算由曲线y x2 1与直线x 1,x 4及x轴所围成的曲边梯形的面积.

解：因为被积函数f(x) x2 1在[1，4]上是连续的，故可积，从而积分值与区间[1，4]的分割及点 i的取法无关. 为了便于计算，把区间[1，4]分成n等份，每个小区间的长度都等于

3n

，分点仍记为

1 x0 x1 x2 xn 1 xn 4

并取 i xi(i 1，2， ，n)，得积分和

n

n

n

n

i 1

f( i) xi

i 1

( i 1) xi

27n

3

n

2

i 12

(xi 1) xi 18n

2

n

2

((

i 1

3in

+1) 1)

2

3n

i

i 1

i 6

i 1

19n

3

2

n(n 1)(2n 1)

181n2

2

n(n 1) 6

92

(1

1n

)(2

1n

) 9(1

1n

) 6

令n （此时各小区间的长度都趋于零，故 0），对上式取极限，由定积分的定义，得

n

41

(x+1)dx lim

2

0

(

i 1

2

i

1) xi lim[

n

92

(1

1n

)(2

1n

) 9(1

1n

) 6] 24

3. 判断下列式子是否一定正确 （1） f(x)dx≥0（其中f(x)≥0）；

a b

（2）

b a

f(x)dx≥

b a

f(x)dx

(a b).

3. 解：

（1）不一定正确，这是因为题中未指明a与b的大小关系. 当a b时，有 f(x)dx≥0；当a b时，有 f(x)dx 0.

a

a

b

b

（2）一定正确.

由定积分的性质，已知a b，f(x) f(x)，则 4. 试比较下列各组积分值的大小，并说明理由 （1） xdx， x2dx， x3dx；

1

1

1

b a

f(x)dx≥

b a

f(x)dx.

（2） lnxdx， (lnx)2dx，

3

3

4 4 4 3

1lnx

dx；

（3） xdx， ln(1 x)dx， exdx.

1 1 1

4. 解：

（1）当x [0,1]时，有x x2 x3，因此 xdx

0 1

1 0

xdx

2

1 0

xdx.

3

（2）当x [3,4]时，有lnx 1，(lnx)2 lnx 因此 (lnx)2dx

3 4

1lnx

，

3

4 3

lnxdx

4 3

1lnx

dx

5. 计算

（1）lim

x 0

x 0

(1 cost)dtx sinx

；

（2）lim

x 0

x 0

(1 cost)dttanx x

3

.

解：（1）根据洛必达法则和积分上限函数导数的性质

lim

x 0

x 0

(1 cost)dtx sinx

3

lim

1 cosx1 cosx

3

x 0

2

lim(1 cosx cosx) 3

x 0

（2）同理

lim

x 0

(1 cost)dttanx x

3

x 0

lim

1 cosxsecx 1

22

3

x 0

lim

3cosxsinx2tanx

4

lim

3cosxsinx2secxtanxsecx

1xx 0x 0

32

6.

求y

tdt(x 0)的导函数y (x).

2

2

1x

2

解：

y (x) [

1costdt

x

2

tdt] [

costdt

2

tdt]

2

cos

2

1x

(

1x

)

2

1x

2

cos

2

1x

x

7. 计算下列定积分 （1） (x2

1 3

1x

2

)dx

；

解： （1） (x2

1 3

13131 (x ) )dx92

x33x1

（2

） （3

）

4

4

1

dx

9 4

x)dx (

23

3

x2

12

x)

2

94

45

16

4 1

t 24

22

t,x ,dx

t2

dt

3

1

1

1

8

x

1t

t 2)dt [ 2t83

（4

）

x

2

t,x t 1,dx 2tdt

5

x

1 1π

1

2

20

t

2

2

t 1

0 1

2[t-arctant]

20

2 [1

2

1t 1

2

]dx 4 2arctan2

（5） xxdx x2dx （6）

2π 2e

1 0

xdx=0

2

sinxdx

1

0 π2

π

sinxdx 2sinxdx=2

（7） 1lnxdx 1lnxdx 1lnxdx [xlnx

e

e11e

e

1dx] xlnx

e

1

e1

e

1

dx 2-

1e

（8

）

x

3

xx 2

43

3x

x

xx

2cosx

43

cos2x2

ln20

（9）

ln2 0

e(1 e)dx

xx2

ln2 0

(e 2e

x2x

+e)dx (e e

2x

+

13

e)

3x

6

13

（10

）

1 x

1 1

x

0 1

0

10

x

2

1

2

(1 x)

1

2

(1 x)

2

13

3

(1 x)2|

e 1

2

0 1

13

3

(1 x)2|0

21

23

12lnx

2

（11）

2 lnxx

dx

e 1

2 lnxdlnx 2lnx

e

52

（12

）

令

ln 0

ln 0

x

2

t,x ln(t 1),dx

l 0

2

2tt 1

2

dt

x 2

a

t

2

t 1

dt 2(t arctant) 2

π2

（13

） xx

令

x asint,dx acostdt x

0a

x

2222

= 2asint acostdt 0

=

a

2

8a

2

20

[1 cos4t]dt sin2tdt

2

=

4

a

2

20

=

8

[t

sin4t2

]2 =0

a

16

2

（14

）

2

10

x

t

2

2

1 t

t

2

101

t 1 1

t 1 t

11 t

]dt

2ln2-1

2 [t 1

2[

t

2

2

t ln(1 t)]

4

（15

）

令

t,dx 2tdt e

3

4 0

2

2 0

tdt1 t

2 2

2 0

(t 1 1)1 t

t 2 (1

2

11 t

)dt=2(t ln(1 t))

20

=4 2ln3

（16

） 1

e 1

3

3

2

（17

）

1x

x

2

costsint

2

2

4

t

2

1 sintsint

2

2

4

t

2

[

1sint

2

1]dt

4

[ cott t]

π

5

2

4

1

4

（18） 2cosxsin2xdx

20cosx2sinxdx 2 2cosxdcosx

66

27

2

（19）

π 0

e

xcosxdx

1

π 0

xdsinx xsinx

2

0

1

π 0

sinxdx cosx

e

0 e 1

（20） xlnxdx

1

2

1 0

e 1

lnxdx

x

12

xlnx

x1

2

e1

2

e

1

xdx

12

e

2

1

2

e

xdx

14

(e 1) 2e

2

（21） xe xdx

1

xd( e) xe

1 0

x

dx e

1

1 0

x

dx 1

（22）

2x

cosxde

2x

2x0

20

e

2x

sinxdx edcosx e

22x

cosx2

20

e

2x

cosx2 2 2e

cosxdx

e

2x

2

2x

2x

2x

2x0

cosx2 2 edsinx e

cosx2 2e

sinx2 4 2e

sinxdx

20

e

2x

sinxdx

15

[ e

2x

2x

cosx2 2e

sinx2]

25

e

15

（23） arctanxdx

1

xarctanx

00

10

x1 x

2

x

2

(x 1)

xarctanx

12

10

11 x12

2

xarctanx

3

ln(x 1)

2

4

12

ln2

（24

）

令

x

2

t,x t 1,dx 2tdt

30

x

2

2lntt

x 0

2

1

2tdt 4 lntdt 4[tlnt

1

2

2

2

1

dt] 4[tlnt

2 t

2] 8ln2 4

8. 求函数I(x)

3t 1t t 1

dt在区间[0，1]上的最大值与最小值.

解：被积函数f(t) I (x)

3x 1x x 1

2

3t 1t t 1

2

在[0，1]上连续，因此I(x)

x 0

2

3t 1t t 1

dt可导.

0，因此I(x)

x 0

2

3t 1t t 1

dt在[0，1]上为增函数.

将x 0,1代入求得最小值为I(0)

0，最大值为I(1) 9. 试证

（1） xm(1 x)ndx

1 0

1 0

2

3t 1t t 1

dt

.

1

1 0

x(1 x)dx

nm

证明：令x 1 t，则

x(1 x)dx (1 t)ntmdt

1

1 x

mn

1 0

(1 t)tdt

nm

1 0

(1 x)xdx

n

m

（2）

11 t

2

1

dt

x 1

11 t

2

dt

证明：令t

1u

，则

11

1u

2

1 x

11 t

2

dt

1 1x

(

1u

2

)du

1 1

1

2

x1 u

du

1x

11 u

2

1

du

1x

11 u

2

1

du

1x

11 t

2

1

dt

（3） sinxdx

2

n

π

π2

cosxdx.

n

证明：令x

π

2

t，则

2 0sinxdx πcosxdx

2

nn

π2

n

cosxdx

10. 判断下列广义积分的收敛性，若收敛，则算出广义积分的值 （1）

1

dxx

4

解：收敛.

1

dxx

4

13x

3

1

13

（2

） 1

解：发散. （3） e

dxx(lnx)

2

解：收敛.

e

dxx(lnx)

2

e

dlnx(lnx)

2

1lnx

e

1

（4）发散 （4

） e

x

解：发散 （5）

1

arctanxx

2

dx

解：收敛.

1

arctanxx

2

dx

1 1

arctanxd( arctanxd(

1

1x1x

) )

1

1x

arctanx

x

1

x1 x

1

2

dx

4

1

(

1x

1 x

2

)dx π4 12ln2

4

ln

+ -

2

（6）

dxx 2x 2

解：收敛.

+ -

2

dxx 2x 2

a 0

+ -

d(x 1)(x 1) 1

2

arctan(x 1)

+ -

（7

）

解：收敛

.

2 1

a 0

a 0

d(

x) arcsin

xa

a0

2

（8

）

解：收敛. 令x

sect，则 （9） 1

1

2 1

arcsec2 arcsec1

dt

3

dxx(x 2)

解：发散 （10

）

e 1

解：收敛

.

e 1

e 1

arcsin(lnx)

e1

2

11.

用抛物线线法计算

x的近似值（取n 10，计算到小数点后三位）.

解：简要步骤如下：

（1）用分点0 x0，x1，x2， xi， ，x9，x10 1，把区间[0，1]10等分，每个小区间的长度为 x

110

，并用yi表示函数y f(x)

在分点xi处的函数值，相应的曲线被分成10段，

曲线上的分点为Mi(xi,yi)(i 1，2， ，10).

（2）将通过相邻三点M0M1M2，M2M3M4， ，M8M9M10的曲线段，分别用过该三点的抛物线

2

y px qx r的弧段代替.

（3）计算各抛物线弧段下面的面积，设通过M0(x0，y0)，M1(x1，y1)，M2(x2，y2)三点的抛物线方程为

则曲线弧段下的面积为

S1

x2 x0

2

y px qx r

(px qx r)dx (

2

13

px

3

12

x2

qx rx)

x0

2

p3

(x2 x0)

33

q2

(x2 x0) r(x2 x0)

22

q p2 2

(x2 x0) (x2 x2x0 x0) (x2 x0) r

2 3

16

16

(x2 x0)[2px2 2px2x0 2px0 3qx2 3qx0 6r]

2

2

(x2 x0)[(px2 qx2 r) (px0 qx0 r) p(x2 x0) 2q(x2 x0) 4r]

222

因为

12

(x2 x0) x1

即 x0 x2 2x1

且M0，M1，M2都在抛物线上，故它们的坐标都满足方程（5 13），即

px2 qx2 r y2

222

将它们代入上式，化简便得

S1

x2 x0

6

px1 qx1 r y1px0 qx0 r y0

(y2 4y1 y0)

b a30

(y2 4y1 y0)

同理，可分别算出M2M3M4， ，Mn 2Mn 1Mn各抛物线弧段下面的面积为

S2 S3 S5

b a30

(y10 4y9 y8)b a30b a30

(y4 4y3 y2)(y6 4y5 y4)

（4）将S1，S2， ，S5加起来，就得曲线梯形面积的近似计算公式

x

130

[y0 4(y1 y3 y9) 2(y2 y4 y8) y10] 1.089

12. 求由抛物线y x2 4x 5，直线x 3，x 5及x轴所围成图形的面积. 解：所围成图形的面积A

53

x 4x 5dx

2

13

x 2x 5x

32

5

3

10

23

13. 求由抛物线y 3 2x x2与x轴所围成图形的面积. 解：先求抛物线y 3 2x x2与x轴交点，得x 3,1.

所围成图形的面积A

1 3

3 2x xdx 3x x

22

13

x

31

3

10

23

14. 求由曲线y ex，y e x及直线x 1所围成图形的面积.

解：先求曲线y ex，y e x及直线x 1所围图形的交点，得(0，1)，(1，e 1)与(1，e).

所围成图形的面积A

10

e e

x x

dx e e

x

x1

e

1e

2

15. 求由曲线y x2与直线y x,y 2x所围成图形的面积.

解：先求曲线y x2与直线y x,y 2x的交点，得(0，0)，(1，1)和(2，4)

所围成图形的面积分为两部分，图略.

A A1 A2

12 23 76

2x1

3

1

[2x x]dx

2

1

[2x x]dx

2

1

xdx

2

1

[2x x]dx

2

20

[x

2

x

3

]

2

16. 求由抛物线y x2 4x 3及其在点(0， 3)和点(3，0)处的切线所围成图形的面积.

解：先求抛物线在点(0， 3)和点(3，0)处的切线方程 y 2x 4，y (0) 4，y (3) 2，

从而两切线方程为y 4x 3和y 2x 6.

再求抛物线y x2 4x 3和两切线方程y 4x 3，y 2x 6的交点为(0， 3)，

3

3)，图略. (3，0)和(，2

将所围图形的面积分为两部分

3

A A1 A2

3

20

[4x 3 ( x 4x 3)]dx 3[ 2x 6 ( x2 4x 3)]dx

2

2

3

20

xdx 3x2 6x 9dx

2

2

3

98

98

94

17. 求下列曲线围成的图形绕指定轴旋转所产生的旋转体的体积. （1）y x2，x y2，绕x轴；

解：y x2与x y2所围的图形在第一象限，交点为(0，0)和(1，1).

所围图形绕x轴旋转而成的旋转体体积为

V

1

dx (x)dx=

2

2

2

1

310

.

（2）y x2，y x，绕x轴；

解：y x2与y x所围的图形在第一象限，交点为(0，0)和(1，1).

所围图形绕x轴旋转而成的旋转体体积为

V

10

xdx (x)dx=

2

2

2

1

215

.

（3）y

rh

x，x h

rhx

（r，h＞0）及x轴，绕x轴；

解：曲线y 与x h的交点为(h ，r).

所围图形绕x轴旋转而成的旋转体体积为

V

h0

(

x)dx ()hh

r

2

r

2

h0

xdx

2

hr

3

2

.

（4）x2 (y 5)2 16，绕x轴.

解：将圆x2 (y 5)2 16分成两部分，分别绕x轴旋转，然后作差. 则旋转体的体积为

V

4

2

4

4 42

5)dx

(5)dx

4

2

4

(41 x x (41 x x 10

4

4

24 x 160

18. 弹簧所受压力与所压缩距离x成正比，F k x（k为比例常数）. 今有一弹簧原长为1m，每压缩1cm需5g力，若弹簧自80cm压缩到60cm时，问做功多少？（取1kg 10N）.

解：由题意描述，0.01k 10 5/1000，计算比例常数k 50.

那么弹簧自80cm压缩到60cm时，压缩位移由20cm变为40cm，弹簧力做功为

W

0.4 0.2

0.4 0.2

0.4 0.2

Fds

f(x)dx

kxdx 3(J)

19. 计算函数y 2xe x在区间[0，2]上的平均值. 解：函数y 2xe x在区间[0，2]上的平均值为

1

2

2

20

2xedx xde

x

2

x

xe

x

2

20

e

x

dx xe

x

20

e

x

20

1 3e

2

20. 血液在长为L，半径为R的血管中流动，血管横截面上距中心处为r的流速

v

AL

(R r)(L，A，R均为常数)，求在单位时间内通过该截面的血流量.

2

解：单位时间内通过该横截面的血流量为

Q 2π

R0

AL

(R r)rdr

22

πL

A(Rr

22

12

R

r)

4

π2L

AR

4

21. 现有一名志愿受试者，口服一定剂量的某药后，测得血药浓度c与时间t的关系数据如习题表5-1.

习题表5.1 c-t关系数据

求在所测时间内的平均血药浓度（用梯形法）. 解：先用梯形法求解

50 0

f(x)dx，简要步骤如下：

（1）采用如上分点xi，并且计算每个小区间的长度 xi，同时用yi表示函数y f(x)在分点xi处的函数值.

（2）每个小曲边梯形的面积都用相应的小梯形面积来代替，这9个小梯形的面积分别为

y0 y1

2

x1y1 y2

2

x2， ，

yi 1 yi

2

x3， ，

y8 y9

2

x9

（3）曲边梯形的面积近似等于各个小梯形面积的和，即

50 0

f(x)dx

1212

(y0 y1) x1

12

(y1 y2) x2

12

(y8 y9) x9

(y0 2y1 2y2 2y8 y9) x9

509

(

12

y0 y1 y2 y8

12

y9)

所测时间内的平均血药浓度

150

500

f(x)dx

150

500

f(x)dx

509

(

12

y0 y1 y2 y8

12

y9) 2.29(μg/mL)

22. 在一次口服给药的情况下，血药浓度c与时间t的关系曲线常用如下函数表示，

c

kaFDV(ka k)

0

(e

kt

e

kat

其中k，ka，V，F，D)，

均为正的常数，试求该曲线下的总面积AUC.

解：该曲线下的总面积AUC为

c

kaFDV(ka k)

(e

kt

e

kat

)dt

kaFDV(ka k)

(

1k

e

kt

1ka

e

kat

)

FDVk