非参数统计部分课后习题参考答案

时间：2025-04-04

非参数统计

课后习题参考答案

第一章p23-25

2、（2）有两组学生，第一组八名学生的成绩分别为x1：100，99，99，100，99，100，99，99；第二组三名学生的成绩分别为x2：75,87,60。我们对这两组数据作同样水平a=0.05的ｔ检验（假设总体均值为u）：H0：u=100 H1：u<100。第一组数据的检验结果为：df=7，t值为3.4157，单边p值为0.0056，结论为“拒绝H0：u=100。”（注意：该组均值为99.3750）；第二组数据的检验结果为：df=2，t值为3.3290，单边ｐ值为0.0398;结论为“接受H0：u=100。”（注意：该组均值为74.000）。你认为该问题的结论合理吗？说出你的理由，并提出该如何解决这一类问题。答：这个结论不合理（6分）。因为，第一组数据的结论是由于ｐ－值太小拒绝零假设，这时可能犯第一类错误的概率较小，且我们容易把握；而第二组数据虽不能拒绝零假设，但要做出“在水平ａ时，接受零假设”的说法时，还必须涉及到犯第二类错误的概率。（4分）然而，在实践中，犯第二类错误的概率多不易得到，这时说接受零假设就容易产生误导。实际上不能拒绝零假设的原因很多，可能是证据不足（样本数据太少），也可能是检验效率低，换一个更有效的检验之后就可以拒绝了，当然也可能是零假设本身就是对的。本题第二组数据明显是由于证据不足，所以解决的方法只有增大样本容量。（4分）

第三章p68-71

3、在某保险种类中，一次关于1998年的索赔数额（单位：元）的随机抽样为（按升幂排列）： 4632，4728，5052，5064，5484，6972，7596，9480，14760，15012，18720，21240，22836，52788，67200。已知1997年的索赔数额的中位数为5064元。

（1）是否1998年索赔的中位数比前一年有所变化？能否用单边检验来回答这个问题？（4分）（2）利用符号检验来回答（1）的问题（利用精确的和正态近似两种方法）。（10分）（3）找出基于符号检验的95％的中位数的置信区间。（8分）

解：（1）1998年的索赔数额的中位数为9480元比1997年索赔数额的中位数5064元是有变化，但这只是从中位数的点估计值看。如果要从普遍意义上比较1998年与1997年的索赔数额是否有显著变化，还得进行假设检验，而且这个问题不能用单边检验来回答。（4分）

（2）符号检验（5分）

设假设组：H０：M＝M０＝5064

H１：M≠M０＝5064

符号检验：因为n+=11，n-=3，所以k=min(n+,n-)=3

精确检验：二项分布b(14,0.5)，

n 0

b(14,1/2) 0.0287

，双边ｐ－值为0.0576,大于ａ＝0.05，

所以在ａ水平下，样本数据还不足以拒绝零假设；但假若ａ＝0.1，则样本数据可拒绝零假设。查二项分布表得ａ＝0.05的临界值为（3，11），同样不足以拒绝零假设。

正态近似：（5分）

np=14/2=7,npq=14/4=3.5

z=(3+0.5-7)/.5≈-1.87>Za/2=-1.96

仍是在ａ＝0.05的水平上无法拒绝零假设。说明两年的中位数变化不大。（3）中位数95％的置信区间：（5064，21240）（8分）

7、一个监听装置收到如下的信号：0，1，0，1，1，1，0，0，1，1，0，0，0，0，1，1，1，1，1，1，1，1，1，0，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，0，1，0，0，0，0，0，0，0，0，1，0，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，0，0，0，1，0，0，1，0，1，0，1，0，0，0，0，0，0，0，0。能否说该信号是纯粹随机干扰？（10分）

非参数统计

解：建立假设组： H0：信号是纯粹的随机干扰

H1：信号不是纯粹的随机干扰（2分）

游程检验：因为n１=42，n２=34，r=37。（2分）根据正态近似公式得：

2 42 342 42 34(2 42 34 42 34)

1 38.58　　　 18.33（2分）Ｕ＝42 342

(42 34)(42 34 1)

37 38.58

0.08（62分）

18.33

取显著性水平ａ＝0.05，则Ｚａ/２＝-1.96,故接受零假设，可以认为信号是纯粹的随机干扰的。（2分）

第四章p91-94