非参数统计

课后习题参考答案

第一章p23-25

2、（2）有两组学生，第一组八名学生的成绩分别为x1：100，99，99，100，99，100，99，99；第二组三名学生的成绩分别为x2：75,87,60。我们对这两组数据作同样水平a=0.05的ｔ检验（假设总体均值为u）：H0：u=100 H1：u<100。第一组数据的检验结果为：df=7，t值为3.4157，单边p值为0.0056，结论为“拒绝H0：u=100。”（注意：该组均值为99.3750）；第二组数据的检验结果为：df=2，t值为3.3290，单边ｐ值为0.0398;结论为“接受H0：u=100。”（注意：该组均值为74.000）。你认为该问题的结论合理吗？说出你的理由，并提出该如何解决这一类问题。 答：这个结论不合理（6分）。因为，第一组数据的结论是由于ｐ－值太小拒绝零假设，这时可能犯第一类错误的概率较小，且我们容易把握；而第二组数据虽不能拒绝零假设，但要做出“在水平ａ时，接受零假设”的说法时，还必须涉及到犯第二类错误的概率。（4分）然而，在实践中，犯第二类错误的概率多不易得到，这时说接受零假设就容易产生误导。实际上不能拒绝零假设的原因很多，可能是证据不足（样本数据太少），也可能是检验效率低，换一个更有效的检验之后就可以拒绝了，当然也可能是零假设本身就是对的。本题第二组数据明显是由于证据不足，所以解决的方法只有增大样本容量。（4分）

第三章p68-71

3、在某保险种类中，一次关于1998年的索赔数额（单位：元）的随机抽样为（按升幂排列）： 4632，4728，5052，5064，5484，6972，7596，9480，14760，15012，18720，21240，22836，52788，67200。已知1997年的索赔数额的中位数为5064元。

（1）是否1998年索赔的中位数比前一年有所变化？能否用单边检验来回答这个问题？（4分） （2）利用符号检验来回答（1）的问题（利用精确的和正态近似两种方法）。（10分） （3）找出基于符号检验的95％的中位数的置信区间。（8分）

解：（1）1998年的索赔数额的中位数为9480元比1997年索赔数额的中位数5064元是有变化，但这只是从中位数的点估计值看。如果要从普遍意义上比较1998年与1997年的索赔数额是否有显著变化，还得进行假设检验，而且这个问题不能用单边检验来回答。（4分）

（2）符号检验（5分）

设假设组：H０：M＝M０＝5064

H１：M≠M０＝5064

符号检验：因为n+=11，n-=3，所以k=min(n+,n-)=3

精确检验：二项分布b(14,0.5)，

n 0

b(14,1/2) 0.0287

3

，双边ｐ－值为0.0576,大于ａ＝0.05，

所以在ａ水平下，样本数据还不足以拒绝零假设；但假若ａ＝0.1，则样本数据可拒绝零假设。查二项分布表得ａ＝0.05的临界值为（3，11），同样不足以拒绝零假设。

正态近似：（5分）

np=14/2=7,npq=14/4=3.5

z=(3+0.5-7)/.5≈-1.87>Za/2=-1.96

仍是在ａ＝0.05的水平上无法拒绝零假设。说明两年的中位数变化不大。 （3）中位数95％的置信区间：（5064，21240）（8分）

7、一个监听装置收到如下的信号：0，1，0，1，1，1，0，0，1，1，0，0，0，0，1，1，1，1，1，1，1，1，1，0，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，0，1，0，0，0，0，0，0，0，0，1，0，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，0，0，0，1，0，0，1，0，1，0，1，0，0，0，0，0，0，0，0。能否说该信号是纯粹随机干扰？（10分）

非参数统计

解：建立假设组： H0：信号是纯粹的随机干扰

H1：信号不是纯粹的随机干扰（2分）

游程检验：因为n１=42，n２=34，r=37。（2分）根据正态近似公式得：

2 42 342 42 34(2 42 34 42 34)

1 38.58　　　 18.33（2分）Ｕ＝42 342

(42 34)(42 34 1)

Z

37 38.58

0.08（62分）

18.33

取显著性水平ａ＝0.05，则Ｚａ/２＝-1.96,故接受零假设，可以认为信号是纯粹的随机干扰的。（2分）

第四章p91-94

1、在研究计算器是否影响学生手算能力的实验中，13个没有计算器的学生（Ａ组）和10个拥有计算器的学生（Ｂ组）对一些计算题进行了手算测试．这两组学生得到正确答案的时间（分钟）分别如下：

Ａ组：28， 20，20，27，3，29，25，19，16，24，29，16，29 Ｂ组：40，31， 25，29，30，25，16，30，39，25

能否说Ａ组学生比Ｂ组学生算得更快？利用所学的检验来得出你的结论．（12分）

解、利用Wilcoxon两个独立样本的秩和检验或Mann-Whitney U检验法进行检验。建立假设组：H0：两组学生的快慢一致；

H1：A组学生比B组学生算得快。（2分） 两组数据混合排序（在B组数据下划线）：

3，16，16，16，19，20，20，24，25，25，25，25，27，28，29， 29， 29， 29，30， 30，31，39，40（2分）

A组秩和RA＝1+3*2+5+6.5*2+8+10.5+13+14+16.5*3=120; B组秩和RB＝3+10.5*3+16.5+19.5*2+21+22+23=156（2分） A组逆转数和UA=120-(13*14)/2=29

B组逆转数和UB=156-(10*11)/2=101（2分）

当nA=13，nB=10时，样本量较大，超出了附表的范围，不能查表得Mann-Whitney秩和检验的临界值，所以用正态近似。计算

Z

UA nAnB/2nAnB(nA nB 1)/12260

29 13*10/2*10*(13 10 1)/12

（2分）

36

36

2.2326

16.1245

当显著性水平a取0.05时，正态分布的临界值Za/2＝-1.96（1分） 由于Z<Za/2，所以拒绝H0，说明A组学生比B组学生算得快。（1分）

4、在比较两种工艺（Ａ和Ｂ）所生产的产品性能时，利用超负荷破坏性实验。记下损坏前延迟的时间名次（数目越大越耐久）如下：

方法：A B B A B A B A A B A A A B A B A A A A 序： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

用Mann-Whitney秩和检验判断Ａ工艺是否比Ｂ工艺在提高耐用性方面更优良？（10分）

解、设假设组：H0：两种工艺在提高耐用性方面的优良性一致；

H1：A工艺比B工艺更优良（1分，假设也可用符号表达式）

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根据样本数据知nA=13；nB=7（1分），计算

A工艺的秩和RA＝1+4+6+8+9+11+12+13+15+17+18+19+20=153；（1分） B工艺的秩和RB＝2+3+5+7+10+14+16=57（1分）

A工艺的Mann-Whitney秩和UA=RA-nA(nA+1)/2=153-(13*14)/2=62（1分） B工艺的Mann-Whitney秩和UB=RB-nB(nB+1)/2=57-(7*8)/2=29（1分）

当nA=13，nB=7时，样本量较大，超出了附表的范围，不能查表得Mann-Whitney秩和检验的临界值，所以用正态近似。计算

Z

UA nAnB/2nAnB(nA nB 1)/1216.5.25

62 13*7/2*7*(13 7 1)/12

（2分）

16.5

1.3075

12.6194

当显著性水平a取0.05时，正态分布的临界值Za/2＝1.96（1分）

由于Z<Za/2，所以样本数据提供的信息不足以拒绝H0，可以说A、B两种工艺在提高耐用性方面的优良性一致，A工艺并不比B工艺更优良。（1分）

第五章p118-121

2

1、对5种含有不同百分比棉花的纤维分别做8次抗拉强度试验，试验结果如表4所示（单位：g/cm）：

表4

检验法。(14分) 解：建立假设组：

H0：不同百分比纤维的棉花其平均抗拉强度一样； H1：不同百分比纤维的棉花其平均抗拉强度不一样。（2分） 已知，k=5，n1= n2= n3= n4= n5=8（2分）。混合排序后各观察值的秩如表4所示：

表4

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根据表4计算得：（6分）

kR2

12j

H 3(N 1) N(N 1)j 1nj

1278.52 1662 250.52 253.52 71.52 3 4140 418 28.6857

由于自由度k-1=5-1=4，nj＝8>5，是大样本，所以根据水平a=0.05，查Ｘ分布表得临界值C=9.488，（2分）

因为Q>C，故以5%的显著水平拒绝H0假设，不同百分比纤维的棉花其平均抗拉强度不一样。（2分）

7、按照一项调查，15名顾客对三种电讯服务的态度（“满意”或“不满意”）为（15分）

2

解：建立假设组：H0：顾客对3种服务的态度无显著性差异；

H1：顾客对3种服务的态度有显著性差异。（2分）

本例中，k=3，n=15。（2分）又因

xi yj 23

2222X 13 8 2 169 64 4 257 i2y j 4 1 4 1 43

232 3(3 1) 257

3 18.6154

3 23 43

（5分）自由度k-1=3-1=2，（2分）取显著性水平a=0.05，查Ｘ分布表得临界值c=5.992，（2分）因为Q>C，故以5%的显著水平拒绝H0假设，即顾客对3种服务的态度有显著性差异。（

2分）

8、调查20个村民对3个候选人的评价，答案只有“同意”或“不同意”两种，结果见表1：

表1

2

试检验村民对这三个候选人的评价有没有区别？

解：建立假设组： H0：三个候选人在村民眼中没有区别

H1：三个候选人在村民眼中有差别（2分）

数据适合用Cochran Q检验（2分）。 而且已知n=20，k=3，∑xi=∑yj ＝28。（2分）

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计算结果见表3：

表3

根据表2计算得：

xi2 92 82 112 266

y2j 12 22 22 48（2分）

Q

k(k 1)[ x

2i

( xi)2

kyj y2j

2

28则3(3 1)(

266 （2分） )

0.7778

3 28 48

取显著性水平ａ＝0.05，查卡方分布表得卡方临界值C＝5.9915，由于Q<C，故无法拒绝零假设，可以认为三个候选人在村民眼中没有区别。（2分）

第八章P170-171

2.下面是某车间生产的一批轴的实际直径（单位：mm）：

9.967 10.001 9.994 10.023 9.969 10.013 9.992 9.954 9.934 9.965

能否表明该尺寸服从均值为10，标准差为0.022的正态分布？(分别用K-S拟合检验和卡方拟合检验)。当n=10，a=0.05时查表得K-S拟合检验的临界值为0.40925。（24分）

解：建立假设组：H0：该车间生产的轴直径服从均值为10，标准差为0.022的正态分布； H1：该车间生产的轴直径服从均值为10，标准差为0.022的正态分布（2分）

首先将样本数据按升序排列，并对数据进行标准化处理，即Zi=（xi-10）/0.022（1分），并列在计算表中。

（1）K-S正态拟合检验见表1：

非参数统计

n以无法拒绝零假设，即可以说该车间生产的轴直径服从均值为10，标准差为0.022的正态分布（2分）。

（2）卡方正态拟合检验见表2：

表2 卡方拟合检验计算表

频数（该步正确2分）。

从表2得卡方检验统计量Q=1.419（6分），自由度df=k-1=5-1=4（2分），查卡方分布表得a=0.05的临界值C=1.064（左尾），右尾临界值9.488（2分），说明检验统计量Q落在肯定域，不能拒绝零假设，即可以说该车间生产的轴直径服从均值为10，标准差为0.022的正态分布（2分）。

第九章p184-186

1、美国在1995年因几种违法而被捕的人数按照性别为：

表1

从这些罪行的组合看来，是否与性别无关？如果只考虑谋杀与抢劫罪，结论是否一样？（20分） 解：本题适合用独立性卡方检验。 建立假设组H０：犯罪类型与性别无关

H１：犯罪类型与性别有关

r=7,c=2.自由度df=(7-1)(2-1)=6

2

a=0.05,查表得X(0.95,6)=12.592

非参数统计

Eij=ni.。n.j/n

计算结果见下表：

108268.6

由于=108268.6>X(0.95,6)=12.592，所以拒绝零假设，说明罪行与性别有关。

如果只考虑谋杀与抢劫，则 0.168106

由于Ｘ=0.1681<X(0.95,1)=3.841，所以假设零假设，说明罪行与性别无关。（20分）