非参数统计部分课后习题参考答案

时间:2025-04-02

非参数统计

课后习题参考答案

第一章p23-25

2、(2)有两组学生,第一组八名学生的成绩分别为x1:100,99,99,100,99,100,99,99;第二组三名学生的成绩分别为x2:75,87,60。我们对这两组数据作同样水平a=0.05的t检验(假设总体均值为u):H0:u=100 H1:u<100。第一组数据的检验结果为:df=7,t值为3.4157,单边p值为0.0056,结论为“拒绝H0:u=100。”(注意:该组均值为99.3750);第二组数据的检验结果为:df=2,t值为3.3290,单边p值为0.0398;结论为“接受H0:u=100。”(注意:该组均值为74.000)。你认为该问题的结论合理吗?说出你的理由,并提出该如何解决这一类问题。 答:这个结论不合理(6分)。因为,第一组数据的结论是由于p-值太小拒绝零假设,这时可能犯第一类错误的概率较小,且我们容易把握;而第二组数据虽不能拒绝零假设,但要做出“在水平a时,接受零假设”的说法时,还必须涉及到犯第二类错误的概率。(4分)然而,在实践中,犯第二类错误的概率多不易得到,这时说接受零假设就容易产生误导。实际上不能拒绝零假设的原因很多,可能是证据不足(样本数据太少),也可能是检验效率低,换一个更有效的检验之后就可以拒绝了,当然也可能是零假设本身就是对的。本题第二组数据明显是由于证据不足,所以解决的方法只有增大样本容量。(4分)

第三章p68-71

3、在某保险种类中,一次关于1998年的索赔数额(单位:元)的随机抽样为(按升幂排列): 4632,4728,5052,5064,5484,6972,7596,9480,14760,15012,18720,21240,22836,52788,67200。已知1997年的索赔数额的中位数为5064元。

(1)是否1998年索赔的中位数比前一年有所变化?能否用单边检验来回答这个问题?(4分) (2)利用符号检验来回答(1)的问题(利用精确的和正态近似两种方法)。(10分) (3)找出基于符号检验的95%的中位数的置信区间。(8分)

解:(1)1998年的索赔数额的中位数为9480元比1997年索赔数额的中位数5064元是有变化,但这只是从中位数的点估计值看。如果要从普遍意义上比较1998年与1997年的索赔数额是否有显著变化,还得进行假设检验,而且这个问题不能用单边检验来回答。(4分)

(2)符号检验(5分)

设假设组:H0:M=M0=5064

H1:M≠M0=5064

符号检验:因为n+=11,n-=3,所以k=min(n+,n-)=3

精确检验:二项分布b(14,0.5),

n 0

b(14,1/2) 0.0287

3

,双边p-值为0.0576,大于a=0.05,

所以在a水平下,样本数据还不足以拒绝零假设;但假若a=0.1,则样本数据可拒绝零假设。查二项分布表得a=0.05的临界值为(3,11),同样不足以拒绝零假设。

正态近似:(5分)

np=14/2=7,npq=14/4=3.5

z=(3+0.5-7)/.5≈-1.87>Za/2=-1.96

仍是在a=0.05的水平上无法拒绝零假设。说明两年的中位数变化不大。 (3)中位数95%的置信区间:(5064,21240)(8分)

7、一个监听装置收到如下的信号:0,1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,0,0,0,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0。能否说该信号是纯粹随机干扰?(10分)

非参数统计

解:建立假设组: H0:信号是纯粹的随机干扰

H1:信号不是纯粹的随机干扰(2分)

游程检验:因为n1=42,n2=34,r=37。(2分)根据正态近似公式得:

2 42 342 42 34(2 42 34 42 34)

1 38.58    18.33(2分)U=42 342

(42 34)(42 34 1)

Z

37 38.58

0.08(62分)

18.33

取显著性水平a=0.05,则Za/2=-1.96,故接受零假设,可以认为信号是纯粹的随机干扰的。(2分)

第四章p91-94

1、在研究计算器是否影响学生手算能力的实验中,13个没有计算器的学生(A组)和10个拥有计算器的学生(B组)对一些计算题进行了手算测试.这两组学生得到正确答案的时间(分钟)分别如下:

A组:28, 20,20,27,3,29,25,19,16,24,29,16,29 B组:40,31, 25,29,30,25,16,30,39,25

能否说A组学生比B组学生算得更快?利用所学的检验来得出你的结论.(12分)

解、利用Wilcoxon两个独立样本的秩和检验或Mann-Whitney U检验法进行检验。建立假设组:H0:两组学生的快慢一致;

H1:A组学生比B组学生算得快。(2分) 两组数据混合排序(在B组数据下划线):

3,16,16,16,19,20,20,24,25,25,25,25,27,28,29, 29, 29, 29,30, 30,31,39,40(2分)

A组秩和RA=1+3*2+5+6.5*2+8+10.5+13+14+16.5*3=120; B组秩和RB=3+10.5*3+16.5+19.5*2+21+22+23=156(2分) A组逆转数和UA=120-(13*14)/2=29

B组逆转数和UB=156-(10*11)/2=101(2分)

当nA=13,nB=10时,样本量较大,超出了附表的范围,不能查表得Mann-Whitney秩和检验的临界值,所以用正态近似。计算

Z

UA nAnB/2nAnB(nA nB 1)/12260

29 13*10/2*10*(13 10 1)/12

(2分)

36

36

2.2326

16.1245

当显著性水平a取0.05时,正态分布的临界值Za/2=-1.96(1分) 由于Z<Za/2,所以拒绝H0,说明A组学生比B组学生算得快。(1分)

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