第三章 多维随机变量及其分布第一节 第二节 二维随机变量 边缘分布

第三节第四节

条件分布相互独立的随机变量

第五节

两个随机变量的函数的分布

第一节 二维随机变量二维随机变量的分布函数

二维离散型随机变量二维连续型随机变量

小结

从本讲起，我们开始第三章的学习. 它是第二章内容的推广.

一维随机变量及其分布

多维随机变量及其分布由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .

到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而 需要用几个随机变量来描述. 在打靶时,命中点的位置是由一 对r .v (两个坐标)(X,Y)来确定的. 飞机的重心在空中的位置是由三个 r .v (三个坐标)(X,Y,Z)来确定的等 等.

一般地, 设 E 是一个随机试验,它的样本空间是 S e , 设 X 1 X 1 e , X 2 X 2 e , , X n X n e

是定义在 S 上的随机变量, 由它们构成的一个 n 维向量 X1 , X 2 , 量.

, X n 叫做 n 维随机向量 或 n 维随机变

以下重点讨论二维随机变量. 请注意与一维情形的对照 .

一、二维随机变量的分布函数定义1 设 X ,Y 是二维 随机变量, 如果对于任意实数 一维随机变量 X的分布函数

x , y , 二元 函数F x, y P X x Y y P X x ,Y y

F ( x ) P( X x ) x

称为二维随机变量 X ,Y 的分布函数, 或者称为随机 变量 X 和 Y 的联合分布函数.

分布函数的函数值的几何解释将二维随机变量 X ,Y 看成是平面上随机点的 坐标, 那么,分布函数 F x , y 在点 x , y 处的函数值 就是随机点 X ,Y 落在下面左图所示的,以点 x , y 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率.y y

x, y x

Y O

X ,Y X

x

o

X x

x

随机点 X ,Y 落在矩形域 [ x1 x x2 , y1 y y2 ] 内的概率为

P x1 X x2 , y1 Y y2 F x2 , y2 F x2 , y1 F x1 , y2 F x1 , y1 y y2

X ,Y x1O

x2

x

y1

分布函数 F x , y 的性质 : 1 . F x , y 是关于变量 x 和 y 的不减函数 ; y 对任意固定的 y R x1 , y y 及 x1 , x2 R , 当 x1 x2 x2 , y 时 F x1 , y F x2 , y ; x1 O x2 x 对任意固定的 x R X ,Y 及 y1 , y2 R , 当 y1 y2 X ,Y 时 F x , y1 F x , y2 ;

2 . 0 F x, y 1 , 且 对任意固定的 y R , F , y 0 , 对任意固定的 x R , F x , 0 , F , 0 , F , 1 .

3 . F x , y F x 0, y , F x , y F x , y 0 .

二、二维离散型随机变量定义2 如果二维随机变量

X ,Y 全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无限多对,则称 X ,Y 是离散型随机变量. 设二维离散型随机变量

一维随机变量X 离散型 X 的分布律

P( X xk ) pk ,k=1,2, …

X ,Y 可能取的值是 xi , y j ,i , j 1,2,

k i , j 1,2, 称之为二维离散型随机变量 X ,Y 的分布律, 或随机变量X和Y 的联合分布律.

P( X xi ,Y y j ) pij,

,记

pk 0, k=1,2, … pk 1

二维离散型随机变量 X ,Y 的分布律具有性质

pij 0, i, j 1,2, pij 1 i j

也可用表格来表示随机变量X和Y 的联合分布律.

Y

Xy1 y2 yj

x1 p11 p12p1 j

x2 p21 p22p2 j

xi pi 1 pi 2pij

例1 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次 抛掷中正面出现的次数 ，而 Y 为正面出现次数与 反面出现次数之差的绝对值 , 求 (X ,Y) 的分布律 .解 ( X, Y ) 可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)32

P{X=0, Y=3} 1 2 1 8 3 1 1 P{X=1, Y=1} =3/8 1 2 2 2 3 1 1 P{X=2, Y=1} =3/8 2 2 2

P{X=3, Y=0} 1 2 1 8.3

X 0 1 2 3

Y

1

3

0 18 38 0 38 0 0 18

三、二维连续型随机变量定义3 对于二维随机变量

X ,Y 的分布函数 F x , y ,如果 存在非负的函数 f x , y , 使对于任意 x , y 有

一维随机变量X 连续型

F x

x

f t d t

F x, y

f u, v dudv y x

x X的概率密度函数

则称 X ,Y 是连续型的二维随 机变量 , 函数 f x , y 称为二维 随机变量 (X,Y )的概率密度 ,或 称为随机变量 X 和 Y 的联合概 率密度.

f x x R

f ( x) 0

f ( x)dx 1

(X,Y)的概率密度的性质1 . f x, y 0 ;2.

f x , y dxdy 1;

R2

f x , y dxdy 1 ;

3 . 设 G 是 xOy 平面上的区域 , 则有 P X ,Y G f x , y dxdy ;G

2 F ( x, y ) 4 . 在 f (x,y)的连续点 , f ( x, y ) x y