微分方程与差分方程_详解与例题(16)

时间:2025-03-09

【考点八十七】二阶常系数齐次线性微分方程:

1.标准形式:y py qy 0,p,q均为常数。

2.通解公式:①特征方程为r2

pr q 0

②若特征方程有互异实根r1 ry

cr2

,则通解为1

1e

cr2

2e

③若特征方程有相等实根r1 rr

,则通解为y

c crx

2 12x e;

④若特征根为共轭复根r i

( , 为常数, 0

),

则通解为y

e

x

c1cos x c2sin x

【例7.28】求下列微分方程的特解:

2y 3y 26y ,当x 0

时,y

0

,y 1。

【详解】对应的特征方程为

2r2

26r 3 0

,有二重特征实根

r66x

1 r2

2

. 所以微分方程的通解为y

c1 c2x e

rx

c1 c2x e

2

6求导得

x

y 66

2

c1 c2 c2x 2e

.

2

由已知,当x

0

时,y 0,y 1。

∴代入得,

c1 0 c 即 1 0 ,

1 6

c

21 c2 c2 1

6

故所求特解为x

y

xe

2

【例7.29】设二阶线性常系数齐次微分方程

y by y 0的每一个解y(x)都有在区间(0,

)

上有界,则实数b( )。

(A) 0, (B) ,0 (C) ,4 (D) , 解:应选(A)。 对应的特征方程为

r

2

br 1 0

r

b

b2

则 4

2

(1)当b 2

时,‘

特征根r1

rb2

2

,其通解为

的取值范围是

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