阶段检测 直线、圆及其位置关系 圆锥曲线与方程

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．到直线3x－4y＋1＝0的距离为3且与此直线平行的直线方程是( )． A．3x－4y＋4＝0 B．3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0 C．3x－4y＋16＝0 D．3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0

x2y2

2．设双曲线－1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )．

a9

A．4 B．3 C．2 D．1

3．过点A(0,3)，被圆(x－1)2＋y2＝4截得的弦长为3的直线的方程是( )．

444

A．y＝－x＋3 B．x＝0或y＝－x＋3 C．x＝0或y＝＋3 D．x＝0

333

22

4．直线x－y＋m＝0与圆x＋y－2x－1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件为( )．

A．m＜1 B．－3＜m＜1 C．－4＜m＜2 D．0＜m＜1

x2y2

PF2＝5．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点且PF1·

ab

c2，则此椭圆离心率的取值范围是( )．

113322， C． D． 0， A． ，1 B． 3222 3 3

2222xyyx

6．若曲线＝1与曲线＋＝1的离心率互为倒数，则a等于( )．

259a9

8181

A．16 B．－16 C．D．－1616

1

7．已知双曲线16y2－m2x2＝1(m＞0)m等

5

于( )．

A．1 B．2 C．3 D．4

x2y2

8－1(a＞0，b＞0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的距离为

ab

4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )．

A．23 B．5 C．43 D．5

9．(2012辽宁高考)将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是( )． A．x＋y－1＝0 B．x＋y＋3＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0

x2y2

10．设A1，A2是椭圆＋1的长轴的两个端点，P1，P2是垂直于A1A2的弦的端点，

94

则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( )．

x2y2y2x2x2y2y2x2

A．1 B．＝1 C．＝1 D．－1

94949494

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在题中横线上)

11．“直线ax＋2y＋1＝0和直线3x＋ (a－1)y＋1＝0平行”的充要条件是“a＝__________”．

x2y2

12．与双曲线1有共同的渐近线，并且过点A(6,8的双曲线的标准方程为

916

__________．

13．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，交其准线于C

CB点．若＝3BF，则直线l的斜率为__________．

14．已知抛物线C的方程为y2＝－8x，设过点N(2,0)的直线l的斜率为k，且与抛物线

C相交于点S，T，若S，T两点只在第二象限内运动，线段ST的垂直平分线交x轴于Q点，

则Q点横坐标的取值范围为__________．

2

x2y2

15．(2012浙江温州二模)抛物线y＝2px(p＞0)的焦点为F，其准线经过双曲线ab

1(a＞0，b＞0)的左顶点，点M为这两条曲线的一个交点，且|MF|＝2p，则双曲线的离心率为________．

三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(13分)已知三条直线l1：x－2y＝0，l2：y＋1＝0，l3：2x＋y－1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．

x2y252

17．(13分)(2012天津高考)＋＝1(a＞b＞0)，点P，a 在椭圆上．

ab2 5

(1)求椭圆的离心率；

(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ的斜率的值．

x2y2

18．(13分)设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线l

ab

与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为23.

(1)求椭圆C的焦距；

(2)如果AF2＝2F2B，求椭圆C的方程．

19．(12分)已知动点P到定点F2，0)的距离与点P到定直线l：x＝2的距离之比2为. 2

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)设M，N是直线l上的两个点，点E与点F关于原点O对称，若EM·求|MN|FN＝0，

的最小值．

x2y22

20．(12分)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率e＝F1，

ab2

F2，抛物线y2＝42x的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点．

(1)求椭圆C的方程；

2

(2)已知圆M：x2＋y2l与椭圆相交于A，B两点，那么以AB为直径的圆是否

3

经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由．

x2y2

21．(12分)已知中心在原点的椭圆C1的一个焦点为F1(0,3)，M(x,4)(x＞0)为

ab

3

椭圆C上一点，△MOF1的面积为.

2

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

参考答案

1．D 解析：设所求直线方程为3x－4y＋m＝0． |m－1|由3，解得m＝16或m＝－14．

5

即所求直线方程为3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝0．

x2y2

2．C 解析：∵双曲线1的渐近线方程为3x±ay＝0，∴a＝2．

a9

3．B 解析：当过点A(0,3)且斜率不存在的直线与圆的相交弦长为23，此时，弦所在直线方程为x＝0；

当弦所在的直线斜率存在时，设弦所在直线l的方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0． 因为弦长为3，圆的半径为2， 22－3)2＝1

|k＋3|4

由点到直线距离公式得＝1，解得k＝－3． k＋(－1)

4

综上，所求直线方程为x＝0或y＝－＋3．

3

y＝x＋m，

4．D 解析：由 22得x2＋(x＋m)2－2x－1＝0，

x＋y－2x－1＝0，

即2x2＋(2m－2)x＋m2－1＝0，令Δ＝(2m－2)2－4×2(m2－1)＝4m2－8m＋4－4×2m2＋8＝－4m2－8m＋12＞0，

则m2＋2m－3＜0，解得－3＜m＜1．

所以所求的一个充分不必要条件是集合{m|－3＜m＜1}的真子集，故D正确．

PF2＝(－c－x，－y)·5．C 解析：设P(x，y)，PF1·(c－x，－y)＝x2＋y2－c2＝c2，所以，

x2＋y2＝2c2．

2

x2y222b2

又＝1，可得x＋b－x＝2c2， aba

2243ca－a

整理得x2＝0≤x2≤a2， c

3c2a2－a4232故0≤a，解得e≤． c32

22xyc4

6．D 解析：∵曲线1的离心率为，

259a5

22yx5

∴曲线＋＝1的离心率为1，

a94

∴该曲线为双曲线，a＜0．

9－a581

∴ea＝－．

3416

π

7．D 解析：将已知圆的一般方程配方得(x－a)2＋(y－1)2＝1，由弦AB所对圆心角为，

2

2可得|AB|＝2R＝2，从而可得圆心(a,1)到y轴的距离为d＝R2－ ＝故a＝． 222

b

8．B 解析：双曲线左顶点A(－a,0)，渐近线方程y＝x(a＞0，b＞0)；抛物线焦点

a

p p

，0，准线方程：xp＞0)． F 2 2

p

由题意知|AF|＝4，∴a4．

2

又∵点(－2，－1)既在渐近线上又在抛物线的准线上，

p

∴2，∴p＝4，则a＝2．

2b

又－1＝·(－2)，

a

a＝2，∴b＝1，

∴在双曲线中，c＝a＋b＝5， ∴双曲线的焦距为25．

9．C 解析：圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0可化为标准方程

(x－1)2＋(y－2)2＝4，要使直线平分此圆，则直线需过圆心(1,2)． 因此可通过代入法，看哪一条直线过圆心(1,2)即可．经检验，选项C满足条件．故选C． 10．C 解析：设交点为P(x，y)，A1(－3,0)，A2(3,0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)．

y－y0y

∵A1，P1，P共线，∴＝．①

x－x0x＋3y＋y0y

∵A2，P2，P共线，∴＝．②

x－x0x－393y

由①②解得x0＝，y0＝

xx

22xy代入＋1，

94

x2y2

化简，得1．

94

a(a－1)－2×3＝0，

11．－2 解析：由 得a＝－2，

(a－1)×1≠2×1，

∴两直线平行的充要条件是“a＝－2”．

y2x2x2y23664×212．1 解析：设方程为－λ，将A点代入可得－＝λ．

6436916916

y2x2

∴λ＝－41．

6436

13．±22 解析：由抛物线定义，|BF|等于B到准线的距离|BB1|，在△CBB1中，sin∠BCB1|BF|1＝ |BC|3

故直线l的斜率为k＝±22．

14．(－∞，－6) 解析：设S(x1，y1)，T(x2，y2)，由题意得ST的方程为y＝k(x－2)(显然k≠0)，与y2＝－8x联立消元得ky2＋8y＋16k＝0，

8

则有y1＋y2＝－y1y2＝16．

k

因为直线l交抛物线C于两点， 则Δ＝64－64k2＞0，

8

再由y1＞0，y2＞0，则－0，

k

故－1＜k＜0，

44－2，－， 可求得线段ST的中点B的坐标为 k k

441

x＋－2 ， 所以线段ST的垂直平分线方程为y＋＝－ kkk4

令y＝0，得点Q的横坐标为xQ＝－2＜－6，

k

所以Q点横坐标的取值范围为(－∞，－6)．

p 10p，0，准线x＝－， 15 解析：由题意可得，抛物线焦点F 2 22

设点M坐标为(xM，yM)．

p

－＝2p， 由抛物线定义可得，xM－ 23p

∴xM＝．

23p

将xM＝代入抛物线方程得yM＝3p，

2

3p ∴点M坐标为 23p ．

又∵抛物线准线经过双曲线的左顶点，

－pp

∴－a＝，即a＝．

22

2

3pp23p 将点M 23p ，a＝代入双曲线方程得，b＝，

28

810

∴e1＋1．

ap2

4

16．解：由题意可知，l2平行于x轴，l1与l3互相垂直．

三交点A，B，C构成直角三角形，经过A，B，C三点的圆就是以AB为直径的圆．

x－2y＝0， x＝－2，

解方程组 得

y＋1＝0，y＝－1.

所以点A的坐标是(－2，－1)．

2x＋y－1＝0， x＝1，

解方程组 得

y＋1＝0，y＝－1.

所以点B的坐标是(1，－1)．

1

－，－1 ， 线段AB的中点坐标是 2

又|AB|＝(－2－1)＋(－1＋1)＝3，

19x＋2＋(y＋1)2＝． 所以所求圆的标准方程是 24

a2a2b252 17．解：(1)因为点P在椭圆上，故＋＝1＝ 5a2ba8 5，2

222a－bb36

于是e21－＝，所以椭圆的离心率e＝

aa84

(2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx，设点Q的坐标为(x0，y0)．

y＝kx， 0202

由条件得 xy消去y0并整理得

＝1， aba2b22

x0＝．①

ka＋b由|AQ|＝|AO|，A(－a,0)及y0＝kx0，

－2a

得(x0＋a)2＋k2x02＝a2，整理得(1＋k2)x02＋2ax0＝0，而x0≠0，故x0＝，代入①，

1＋k2

222a整理得(1＋k)＝4k4．

b

2

a832

由(1)知，故(1＋k2)22＋4，

b5542

即5k－22k－15＝0，可得k2＝5． 所以直线OQ的斜率k＝5．

18．解： (1)设焦距为2c，由已知可得F1到直线l3c＝3，故c＝2．所以椭圆C的焦距为4．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1＜0，y2＞0，直线l的方程为y＝3(x－2)．

y＝3(x－2)，联立 x2y2

1 ab

得(3a2＋b2)y2＋43b2y－3b4＝0． －b2(2＋2a)

解得y1

3a＋b－3b2(2－2a)y2＝

3a＋b

因为AF2＝2F2B，所以－y1＝2y2，

3b2(2＋2a)3b2(2－2a)即，

3a＋b3a＋b得a＝3．而a2－b2＝4，所以b＝5．

x2y2

故椭圆C的方程为＝1．

95

(x－2)2＋y22

19．解：(1)设点P(x，y)，依题意，有．

2|x－2|

x2y2

整理，得1．

42

x2y2

所以动点P的轨迹C的方程为＝1．

42

(2)∵点E与点F关于原点O对称， ∴点E的坐标为(－2，0)． ∵M，N是直线l上的两个点，

∴可设M2，y1)，N2，y2)(不妨设y1＞y2)．

FN＝0， ∵EM·

∴(32，y12，y2)＝0，

6

即6＋y1y2＝0，即y2＝－．

y1

由于y1＞y2，则y1＞0，y2＜0，

6

∴|MN|＝y1－y2＝y1＋

y1

≥y126．

y1

当且仅当y1＝6，y2＝－6时，等号成立． 故|MN|的最小值为6．

2

20．解：(1)∵椭圆C的离心率e＝，

2

c∴，即a＝2c． a2

∵抛物线y2＝2x的焦点F(，0)恰好是该椭圆的一个顶点，∴a2，∴c＝1，b＝1．

x22

∴椭圆C的方程为y＝1．

2

(2)①当直线l的斜率不存在时．

6

∵直线l与圆M相切，故其中的一条切线方程为x＝

3

x＝36，由 x

2＋y＝1，

2

2

得A

6666

，B ， 33 3 3

则以AB为直径的圆的方程为 x－

222

＋y＝．

33

6

3

②当直线l的斜率为零时．

∵直线l与圆M相切，故其中的一条切线方程为y＝－

y＝－36，由 x

2y＝1，

2

2

得A

6666

，B ， 33 3 3

则以AB为直径的圆的方程为x2＋ y＋

622

＝． 33

显然以上两圆的一个交点为O(0,0)． ③当直线l的斜率存在且不为零时． 设直线l的方程为y＝kx＋m．

x22 y＝1，由 2

y＝kx＋m

消去y得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0．

－4km2m2－2

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝x1·x2＝

2k＋12k＋1

22

22m－2k所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝kx1x2＋km(x1＋x2)＋m＝．

2k＋1

3m2－2k2－2

OB＝x1x2＋y1y2＝所以OA·①

2k＋1

|m|622因为直线l和圆M相切，所以圆心到直线l的距离d＝，整理得m＝(1＋

31＋k3

k2)．②

OB＝0，显然以AB为直径的圆经过定点O(0,0)． 将②式代入①式，得OA·

综上可知，以AB为直径的圆过定点(0,0)．

21．解：(1)因为椭圆C的一个焦点为F1(0,3)， 所以b2＝a2＋9．

x2y2

则椭圆C的方程为＋1．

aa＋9

13

因为x＞0，所以S MOF1＝×3×x＝x＝1．

22

故点M的坐标为(1,4)． 因为M(1,4)在椭圆上，

116所以1，得a4－8a2－9＝0，解得a2＝9或a2＝－1(不合题意，舍去)，

aa＋9

x2y22

则b＝9＋9＝18，所以椭圆C的方程为＝1．

918

(2)假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 其方程为y＝4x＋m(因为直线OM的斜率k＝4)．

y＝4x＋m， 22由 xy消去y化简得18x2＋8mx＋m2－18＝0． 918＝1，

m2－188m

进而得到x1＋x2，x1x2＝

1818

因为直线l与椭圆C相交于A，B两点， 所以Δ＝(8m)2－4×18×(m2－18)＞0， 化简得m2＜162，解得－92＜m＜9． 因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点，

OB＝0， 所以OA·

所以x1x2＋y1y2＝0．

又y1y2＝(4x1＋m)(4x2＋m)＝16x1x2＋4m(x1＋x2)＋m2，

17(m2－18)32m22

x1x2＋y1y2＝17x1x2＋4m(x1＋x2)＋m＝－m2＝0．

1818

解得m＝102．

由于102∈(－92，2)，

所以符合题意的直线l存在，且所求的直线l的方程为y＝4x或y＝4x．