一道不等式题的多种解法

张永强 魏春强

(陕西省安康市汉滨区安康学院数学系 725000) 【摘要】：由一道不等式例题谈起，给出了不同的解法，激发大家对数学学习的兴趣

【关键词】：不等式 证法 函数

225)2()2(1,y 0y 0,1.22≥

+++=+>>y x x x 求证：且已知

证法1：不等式法 ()2220,02

x y x y x y >>+≥+ 则()22252222222x y x y ∴+++≥+++=（）（）

2225

222x y ∴+++≥（）（）

证法2：三角函数法

0,0,1x y x y >>+= 且

01,01x y ∴<≤<≤

22sin ,cos [-,]22x y ππθθθ==∈令

2222222525(2)(2)(sin 2)(cos 2)22x y θθ+++-=+++-441=sin cos 2θθ+-

2221112sin cos sin 20222θθθ≥-

=-≥ 2225

(2)(2)2x y ∴+++≥

证法3：点到直线的距离法

(,)1(,)(2,2),P x y x y P x y Q S +=--设动点在直线上，动点到定点的距离为

(,)(2,2)(2,2)1P x y Q Q x y d ----+=动点到定点的最短距离即为定点到直线的距离

2(2)1

5

112d -+--∴==+ 22(2)(2)S x y =+++ 22min S d = 2225(2)(2)2x y ∴+++≥

证法4：构造函数法 ()()()2225212 2f x x x =++-+- 2

1=202x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭

2225222x y ∴+++≥（）（）

证法5：导数法 ()()()()2225212 0,12f x x x x =++-+-

∈

21 =22

2x x -+ ()1

420 2

f x x x '=-=∴=()()()()110,0,1022x f x f x x f x f x ⎛⎫⎛⎫''∈<∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

当时，单调递减；当，时，，单调递增；()102f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以的最小值为

2225

222x y +++≥则有：（）（）

6证法：朗格拉日数乘法

2

25

)2()2(),(22-+++=y x y x F 构造目标函数22 25(,,)(2)(2)(1)2f x y x y x y λλλ=+++-

++-令拉格朗日函数为（为拉格朗日乘数）042=++=∂∂λx x f 042=++=∂∂λy y f 01=-+=∂∂y x f λ

21

==y x 解得： d O -1 x+y=1

Q ＊(-2,-2) -2 -1 2

1 1

2 x y

-2

222=∂∂=x f A 令： 02=∂∂∂=y x f B 222=∂∂=y f C

0,02>>-A B AC

0)2

121(),(,2121),(==∴，）处取得最小值，在（F y x F y x F 225)2()2(22≥+++∴y x

参考文献：

[1] 聂文喜.一个不等式链的应用.中学生数理化(高二版) 2006年 第Z1期

[2] 华东师范大学数学系，数学分析（第3版），高等教育出版社/2003