7 有理数的乘法

1．有理数的乘法法则

(1)乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0. ①两个有理数相乘，积的符号是由两个因数的符号确定：同号(＋，＋或－，－)得正，异号(＋，－或－，＋)得负；②0与任何数相乘，积都是0；③1乘任何数得原数，－1乘任何数得原数的相反数．

(2)两个有理数相乘的步骤 ①先确定积的符号； ②再求出积的绝对值．

(3)多个有理数的乘法

①几个不等于0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．

②几个有理数相乘，有一个因数为0，结果就是0；反之，若几个数的积为0，则至少有一个因数为0.

释疑点 有理数相乘的方法

①几个有理数相乘，先确定积的符号，再把绝对值相乘；②当几个因数中有一个为0时，不用再判断符号，直接得0.

【例1】 计算：(1)(＋4)×(－5)；

(2)(－0.75)×(－1.2)；

(3)⎝⎛⎭

⎫－29×0.3； (4)0×⎝⎛⎭

⎫－17； (5)⎝⎛⎭⎫－112×113×⎝⎛⎭⎫－114×⎝⎛⎭⎫－115×116

. 分析：按照乘法法则运算，先确定符号，再将绝对值相乘．

解：(1)(＋4)×(－5)＝－(4×5)＝－20；

(2)(－0.75)×(－1.2)＝＋(0.75×1.2)＝0.9；

(3)⎝⎛⎭⎫－29×0.3＝－⎝⎛⎭⎫29×310＝－115

； (4)0×⎝⎛⎭

⎫－17＝0； (5)⎝⎛⎭⎫－112×113×⎝⎛⎭⎫－114×⎝⎛⎭⎫－115×116＝－⎝⎛⎭⎫32×43×54×65×76＝－72

. 2.倒数

如果两个有理数的乘积为1，那么称其中的一个数是另一个数的倒数，也称这两个数互为倒数．

若a ≠0，则a 的倒数是1a

. 谈重点 对倒数的理解

①0没有倒数；②互为倒数的两个数的符号相同，即正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；③若两个数互为倒数，则它们的乘积为1；④倒数等于它本身的数是1和－1.

【例2】 填空：(1)－76

的倒数是__________；0.2的倒数是__________；(2)倒数是4的数是__________．

解析：乘积是1的两个数互为倒数．

答案：(1)－67 5 (2)14

3．有理数的乘法运算律

(1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．

用字母表示为：a ×b ＝b ×a .

(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变． 用字母表示为：(a ×b )×c ＝a ×(b ×c )．

(3)乘法对加法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．

用字母表示为：a ×(b ＋c )＝a ×b ＋a ×c .

谈重点 乘法运算律的运用方法

①交换因数的位置时，要连同符号一起交换；②公式中的字母a ，b ，c 可以是正数，也可以是负数和0；③乘法的交换律和结合律对多个因数的乘法也适用；④为了能简便运算，也可以逆用乘法对加法的分配律，即a ×b ＋a ×c ＝a ×(b ＋c )．

【例3】 计算：(1)(－8)×9×(－1.25)×⎝⎛⎭

⎫－19； (2)⎝⎛⎭

⎫114－56＋12×(－12)； (3)－5.372×(－3)＋5.372×(－17)＋5.372×4；

(4)⎝

⎛⎭⎫－243435×2.5×(－8)； (5)⎝⎛⎭

⎫1112－79－518×36－6×1.43＋3.93×6. 分析：运用乘法的运算律进行简化计算．(1)用乘法交换律和结合律；(2)用乘法对加法的分配律；(3)因各乘积中都有因数5.372，故可逆用乘法对加法的分配律进行简便计算；(4)将带分数拆成整数与分数的和或差，再运用乘法结合律和乘法对加法的分配律；(5)算式的前半部分可直接正向运用乘法对加法的分配律，后半部分可逆用乘法对加法的分配律，从而可省去通分和繁杂的计算．

解：(1)(－8)×9×(－1.25)×⎝⎛⎭

⎫－19 ＝[(－8)×(－1.25)]×⎣⎡⎦

⎤9×⎝⎛⎭⎫－19 ＝10×(－1)＝－10；

(2)⎝⎛⎭

⎫114－56＋12×(－12) ＝114×(－12)＋⎝⎛⎭⎫－56×(－12)＋12

×(－12) ＝－15＋10＋(－6)＝－11；

(3)－5.372×(－3)＋5.372×(－17)＋5.372×4[来源学科网]

＝5.372×3＋5.372×(－17)＋5.372×4

＝5.372×[3＋(－17)＋4]

＝5.372×(－10)＝－53.72；

(4)⎝⎛⎭

⎫－243435×2.5×(－8) ＝243435

×2.5×8＝⎝⎛⎭⎫25－135×20 ＝25×20－135×20＝500－47

＝49937

. (5)⎝⎛⎭⎫1112－79－518×36－6×1.43＋3.93×6

＝1112×36－79×36－518

×36＋6×(－1.43＋3.93) ＝33－28－10＋6×2.5

＝－5＋15＝10.