第一节

平面向量的概念及其线性运算

[知识能否忆起]

一、向量的有关概念

1 2．零向量：长度等于 3．单位向量：长度等于

40与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6 二、向量的线性运算

1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；

②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：

①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λ a＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb. 四、共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.

[小题能否全取]

1．下列命题正确的是( ) A．不平行的向量一定不相等 B．平面内的单位向量有且仅有一个

C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量 D．若a与b平行，则b与a方向相同或相反

解析：选A 对于B，单位向量不是仅有一个，故B错；对于C，a与c的方向也可能相反，故C错；对于D，若b＝0，则b的方向是任意的，故D错，综上可知选A.

2.如右图所示，向量a－b等于( ) A．－4e1－2e2 C．e1－3e2

B．－2e1－4e2 D．3e1－e2

解析：选C 由题图可得a－b＝BA＝e1－3e2.

3．(教材习题改编)设a，b为不共线向量，AB＝a＋2b，BC

＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则下列关系式中正确的是( )

A．AD＝BC B．AD＝2BC

C．AD＝－BC D．AD＝－2BC

解析：选B AD＝AB＋BC＋CD＝a＋2b＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝

2(－4a－b)＝2BC.

4．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________.

解析：|AB－CB＋CD|＝|AB＋BC＋CD|＝|AD|＝2.

答案：2

5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________. 解析：由题意知a＋λb＝k[－(b－3a)]，

λ＝－k，所以 解得

1＝3k，

1 λ＝－3.

1k3

1

答案：－

3

共线向量定理应用时的注意点

(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区

别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所

在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

典题导入

[例1] 给出下列命题：

①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充

要条件；

③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； ④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中假命题的个数为( )

A．1 B．2 C．3

D．4

[自主解答] ①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．

②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC.

又∵A，B，C，D是不共线的四点， ∴四边形ABCD是平行四边形．

反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC且AB与DC方向相同，因此AB ＝DC.

③不正确．两向量不能比较大小．

④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b

可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线． [答案] C

由题悟法

1．平面向量的概念辨析题的解题方法

准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．

2．几个重要结论

(1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； (2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量； (3)向量平行与起点的位置无关

.

以题试法

1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( )

A．0 C．2

B．1 D．3

解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.

典题导入

[例2] (1)(2011·四川高考)如图，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋

EF＝( )

A．0

C．AD

B．BE

D．CF

1

(2)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ

3

等于( )

2 3

132D．－

3

1C．－

3

[自主解答] (1)如图，∵在正六边形ABCDEF中，CD＝AF，BF＝ CE，

∴BA＋CD＋EF＝BA＋AF＋EF＝BF＋EF＝CE＋EF

＝CF―→.

(2)∵CD＝CA＋AD，CD＝CB＋BD，

∴2CD＝CA＋CB＋AD＋BD.

又∵AD＝2DB，

1 ∴2CD＝CA＋CBAB

3

1 ＝CA＋CB＋(CB－CA)

3 4 2

＝CA＋CB. 33

1 2 2∴CDCA＋CB，即λ＝.

333

[答案] (1)D

(2)A

若(2)中的条件作如下改变：若点D是AB边延长线上一点且|BD|＝|BA|，若CD＝

λCB＋μCA，则λ－μ的值为________．

解析：∵CD＝CA＋AD＝CA＋2AB＝CA＋2(CB－CA)＝2CB－CA＝λCB ＋μCA.

∴λ＝2，μ＝－1.∴λ－μ＝3. 答案：

3

由题悟法

在进行向量的线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则求解，并注意利用平面几何的性质，如三角形中位线、相似三角形等知识．

以题试法

2．(2012·汉阳调研)若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：

①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；

③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有( )

A．0个 C．2个

B．1个 D．3个

解析：选C ①式的等价式是AB－BC＝DA－CD，左边＝AB＋CB，右边＝DA ＋DC，不一定相等；②式的等价式是AC－BC＝AD－BD，AC＋CB＝AD＋DB

＝AB成立；③式的等价式是AC－DC＝AB＋BD，AD＝AD成立．

典题导入

[例3] 设两个非零向量a与b不共线．

(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；

(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

[自主解答] (1)证明：∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，

CD＝3(a－b)，

∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)

＝2a＋8b＋3a－3b

＝5(a＋b)＝5AB.

∴AB，BD共线，

又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．

(2)∵ka＋b与a＋kb共线，BC

∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb. ∴(k－λ)a＝(λk－1)b.

∵a，b是不共线的两个非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，即k2－1＝0. ∴k＝±1.

由题悟法

1．当两向量共线时，只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，解决向量共线问题要注意待定系数法和方程思想的运用．

2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．

以题试法

3．已知a，b不共线，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OB＝e，设t∈R，如

果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由．

解：由题设知，CD＝d－c＝2b－3a，CE＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条

直线上的充要条件是存在实数k，使得CE＝kCD，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，

整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.

t－3＋3k＝0，

因为a，b不共线，所以有

t－2k＝0，

6

解之得t＝5

6

故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．

5

1．下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)．正确的个数是( )

A．2 C．4

B．3 D．5

解析：选C a＋(－a)＝0，故③错．

2．(2012·福州模拟)若a＋b＋c＝0，则a，b，c( ) A．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形 B．一定不可能构成三角形 C．都是非零向量时能构成三角形 D．一定可构成三角形

解析：选A 当a，b，c为非零向量且不共线时可构成三角形，而当a，b，c为非零向量共线时不能构成三角形．

|BC|

3．(2012·威海质检)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若OA＋2OC＝3OB，|AB|

的值为( )

1 21 4

1316

解析：选A 由OA＋2OC＝3OB，得OA－OB＝2OB－2 OC，即BA＝2CB， |BC|1＝. 所以|AB|2

4．(2012·海淀期末)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F

是BC的一个三等分点(靠近B)，那么EF＝( )

1 1

1 1 ABAD AB＋AD 2342

1 1

ABDA 32

2 1

ABAD 23

解析：选D 在△CEF中，有EF＝EC＋CF，因为点E为DC的中点，所以EC＝ 2 1 1 2 1

所以CF＝CB.所以EF＝DC＋CB＝ABDC.因为点F为BC的一个三等分点，

23232

1 2 2

＋DAAB－AD. 323

5．(2013·揭阳模拟)已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA＋OB＋CO＝0，则△

ABC的内角A等于( )

A．30° C．90°

B．60° D．120°

解析：选A 由OA＋OB＋CO＝0得OA＋OB＝OC，由O为△ABC外接圆的圆

心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故A＝30°.

6．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足PA＋PB＋PC＝AB，则

点P与△ABC的关系为( )

A．P在△ABC内部 B．P在△ABC外部 C．P在AB边所在直线上 D．P是AC边的一个三等分点

解析：选D ∵PA＋PB＋PC＝AB，

∴PA＋PB＋PC＝PB－PA，∴PC＝－2PA＝2AP，

∴P是AC边的一个三等分点．

2

7．(2012·郑州五校联考)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC＝16，|AB

＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝________.

解析：由|AB＋AC|＝|AB－AC|可知，AB⊥AC，则AM为Rt△ABC斜边BC

1

上的中线，因此，|AM|＝|BC|＝2.

2

答案：2

8．(2013·大庆模拟)已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量OA，OB，OC，

OD满足等式OA＋OC＝OB＋OD，则四边形ABCD的形状为________．

解析：∵OA＋OC＝OB＋OD，∴OA－OB＝OD－OC，

∴BA＝CD.∴四边形ABCD为平行四边形．

答案：平行四边形

9．设向量e1，e2不共线，AB＝3(e1＋e2)，CB＝e2－e1，CD＝2e1＋e2，给出下列结

论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为________．

解析：由AC＝AB－CB＝4e1＋2e2＝2CD，且AB与CB不共线，可得A，C，D

共线，且B不在此直线上．

答案：④

10．设i，j分别是平面直角坐标系Ox，Oy正方向上的单位向量，且OA＝－2i＋mj，

OB＝n i＋j，OC＝5i－j，若点A，B，C在同一条直线上，且m＝2n，求实数m，n的值．

解：AB＝OB－OA＝(n＋2)i＋(1－m)j，

BC＝OC－OB＝(5－n)i－2j.

∵点A，B，C在同一条直线上，

∴AB∥BC，即AB＝λBC.

∴(n＋2)i＋(1－m)j＝λ[(5－n)i－2j]． n＋2＝λ 5－n ，

∴ 1－m＝－2λ， m＝2n，

m＝6，

解得 或 3

n＝3， n＝.

m＝3，

2

11.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE

2

＝AD，AB＝a，AC＝b. 3

(1)用a，b表示向量AD，AE，AF，BE，BF；

(2)求证：B，E，F三点共线． 解：(1)延长AD到G，

1 使ADAG，

2

连接BG，CG，得到 ABGC，

所以AG＝a＋b， 1 1

AD＝2AG＝2a＋b)， 2 1

AE＝3AD3a＋b)，

1 1

AF＝2AC＝2，

11

BE＝AE－AB＝3a＋b)－a3(b－2a)，

11

BF＝AF－AB＝2b－a＝2(b－2a)．

2

(2)证明：由(1)可知BE＝BF，又因为

3

BE，BF有公共点B，

所以B，E，F三点共线．

12．设e1，e2是两个不共线向量，已知AB＝2e1－8e2，

CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.

(1)求证：A，B，D三点共线；

(2)若BF＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．

解：(1)证明：由已知得BD＝CD－CB＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2 ∵AB＝2e1－8e2，∴AB＝2BD，

又∵AB与BD有公共点B， ∴A，B，D三点共线．

(2)由(1)可知BD＝e1－4e2，且BF＝3e1－ke2，

∵B，D，F三点共线，得BF＝λBD，

即3e1－ke2＝λe1－4λe2，

λ＝3， 得 解得k＝12， －k＝－4λ，

∴k＝

12.

1.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两

x·y边分别交于M，N两点，且AM＝xAB，AN＝yAC，则的值为

x＋y

( )

A．3 C．2

1

312

x·y1

解析：选B (特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底面BC的直线，易得.

x＋y3

2．(2012·吉林四平质检)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM＝AB＋

3AC，则△ABM与△ABC的面积比为( )

1 5

25

3 5

45

解析：选C 设AB的中点为D，

由5AM＝AB＋3AC，

得3AM－3AC＝2AD－2AM，

即3CM＝2MD，如图所示，

3

故C，M，D三点共线，且MD＝CD，也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之

5

33比为，则△ABM与△ABC的面积比为55

3．已知O，A，B三点不共线，且OP＝mOA＋nOB，(m，n∈R)．

(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线； (2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1. 证明：(1)∵m，n∈R，且m＋n＝1，

∴OP＝mOA＋nOB＝mOA＋(1－m) OB， ∴OP－OB＝m(OA－OB)．

∴BP＝mBA，而BA≠0，且m∈R.

∴BP与BA共线，

又BP，BA有公共点B.

∴A，P，B三点共线．

(2)∵A，P，B三点共线，∴BP与BA共线，∴存在实数λ，使BP＝λBA， ∴OP－OB＝λ(OA－OB)． ∴OP＝λOA＋(1－λ) OB.

又∵OP＝mOA＋nOB，

∴mOA＋nOB＝λOA＋(1－λ) OB.

又∵O，A，B不共线，∴OA，OB不共线．

m＝λ，

由平面向量基本定理得

n＝1－λ.

∴m＋n＝

1.

1．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，则a与b共线的条件是( ) A．λ＝0

B．e2＝

C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0

解析：选D 若e1与e2共线，则e2＝λ′e1. 因此a＝(1＋λλ′)e1，此时a∥b. 若e1与e2不共线，设a＝μb，则 e1＋λe2＝μ·2e1，因此λ＝0,1－2μ＝0.

2.如图，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用a，b表示AD，

则AD等于( )

3

A．a＋b

411

＋b 44

13＋b 4431＋b 44

3 313

解析：选B AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝a(b－a)＝a＋b.

4444