第一节

平面向量的概念及其线性运算

[知识能否忆起]

一、向量的有关概念

1 2．零向量：长度等于 3．单位向量：长度等于

40与任一向量共线． 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6 二、向量的线性运算

1．定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；

②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

2．运算律：设λ，μ是两个实数，则：

①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λ a＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb. 四、共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.

[小题能否全取]

1．下列命题正确的是( ) A．不平行的向量一定不相等 B．平面内的单位向量有且仅有一个

C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则a与c是方向相同的向量 D．若a与b平行，则b与a方向相同或相反

解析：选A 对于B，单位向量不是仅有一个，故B错；对于C，a与c的方向也可能相反，故C错；对于D，若b＝0，则b的方向是任意的，故D错，综上可知选A.

2.如右图所示，向量a－b等于( ) A．－4e1－2e2 C．e1－3e2

B．－2e1－4e2 D．3e1－e2

解析：选C 由题图可得a－b＝BA＝e1－3e2.

3．(教材习题改编)设a，b为不共线向量，AB＝a＋2b，BC

＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则下列关系式中正确的是( )

A．AD＝BC B．AD＝2BC

C．AD＝－BC D．AD＝－2BC

解析：选B AD＝AB＋BC＋CD＝a＋2b＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝

2(－4a－b)＝2BC.

4．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________.

解析：|AB－CB＋CD|＝|AB＋BC＋CD|＝|AD|＝2.

答案：2

5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________. 解析：由题意知a＋λb＝k[－(b－3a)]，

λ＝－k，所以 解得

1＝3k，

1 λ＝－3.

1k3

1

答案：－

3

共线向量定理应用时的注意点

(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区

别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所

在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

典题导入

[例1] 给出下列命题：

①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充

要条件；

③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b； ④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中假命题的个数为( )

A．1 B．2 C．3

D．4

[自主解答] ①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线．

②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC.

又∵A，B，C，D是不共线的四点， ∴四边形ABCD是平行四边形．

反之，若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC且AB与DC方向相同，因此AB ＝DC.

③不正确．两向量不能比较大小．

④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b

可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线． [答案] C

由题悟法

1．平面向量的概念辨析题的解题方法

准确理解向量的基本概念是解决该类问题的关键，特别是对相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例进行否定也是行之有效的方法．

2．几个重要结论

(1)向量相等具有传递性，非零向量的平行具有传递性； (2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量； (3)向量平行与起点的位置无关

.

以题试法

1．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( )

A．0 C．2

B．1 D．3

解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.

典题导入

[例2] (1)(2011·四川高考)如图，正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋

EF＝( )

A．0

C．AD

B．BE

D．CF

1

(2)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ

3

等于( )

2 3

132D．－

3

1C．－

3

[自主解答] (1)如图，∵在正六边形ABCDEF中，CD＝AF，BF＝ CE，

∴BA＋CD＋EF＝BA＋AF＋EF＝BF＋EF＝CE＋EF

＝CF―→.

(2)∵CD＝CA＋AD，CD＝CB＋BD，

∴2CD＝CA＋CB＋AD＋BD.

又∵AD＝2DB，

1 ∴2C …… 此处隐藏：4651字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……