时域分析法

第三章 控制系统的时域分析法3.1线性系统的稳定性分析 3.1线性系统的稳定性分析 3.2 线性系统的稳态误差 3.3线性系统的暂态响应 3.3线性系统的暂态响应 3.4一阶系统的暂态响应 3.4一阶系统的暂态响应 3.5二阶系统的暂态响应 3.6 小结

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3.1线性系统的稳定性分析 3.1线性系统的稳定性分析 时域分析法就是对系统外施一个给定输入信号, 通过 时域分析法就是对系统外施一个给定输入信号, 就是对系统外施一个给定输入信号 研究控制系统的时间响应来评价系统的性能. 研究控制系统的时间响应来评价系统的性能. 3.1.1 稳定性的基本概念 稳定性:是指系统在扰动作用消失后, 经过一段过渡过程 稳定性:是指系统在扰动作用消失后, 后能否回复到原来的平衡状态或足够准确地回复到原来的 平衡状态的性能.若系统能恢复到原来的平衡状态, 平衡状态的性能.若系统能恢复到原来的平衡状态, 则称 系统是稳定的; 系统是稳定的;

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系统的稳定性又分两种情况: 系统的稳定性又分两种情况: 一是大范围内的稳定, 即起始偏差可以很大, 一是大范围内的稳定 , 即起始偏差可以很大 , 但 系统仍稳定. 系统仍稳定. 一种是小范围内的稳定 , 即起始偏差必须在一定 一种 是小范围内的稳定, 是小范围内的稳定 限度内系统才稳定, 超出了这个限定值则不稳定. 限度内系统才稳定, 超出了这个限定值则不稳定.

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系统的稳定性表现为其时域响应的收敛性, 系统的稳定性表现为其时域响应的收敛性, 线性定常系统的稳定性是通过系统响应的稳定性来表达的 3.1.2 线性系统的稳定性 线性微分方程→ 线性微分方程→线性系统的特性或状态 微分方程的解→ 微分方程的解→ 稳态分量和瞬态分量 研究系统的稳定性, 研究系统的稳定性, 就是研究系统输出量中的瞬态分量 的运动形式. 的运动形式.

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单输入单输出线性系统的传递函数一般表示为

C ( s ) b0 s m + b1s m 1 + L + bm 1s + bm G(s) = = R ( s) a0 s n + a1s n 1 + L + an 1s + an系统的特征方程式为

( n > m)

a0 s n + a1s n 1 + L + an 1s + an = 0

此方程的根称为特征根.它是由系统本身的参数和结构所决定的. 此方程的根称为特征根.它是由系统本身的参数和结构所决定的. 称为特征根 设方程特征根为s α±j 设方程特征根为si=α±jω,则 c(t ) = c1e s1t + c2 e s2t + L + cn e sntjω S α y(t) t

=0时 当ω=0时，cieαt

α<0 α>0

单调递减 单调递增

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3.1.3 线性系统稳定的充分必要条件α±j (cosωt+φ 当ω≠0时，cie(α±jω)t = cieαt (cosωt+φ) ω≠0 jω S α

α<0 α>0

单调收敛 单调发散

y(t) t

线性系统稳定的充分必要条件： 线性系统稳定的充分必要条件：特征方程式的所有根均为负实根或 其

实部为负的复数根, 其实部为负的复数根, 即特征方程式的根均在复数平面的左半部分 亦即系统的极点均在 平面的左半部分. .亦即系统的极点均在 S 平面的左半部分. 如果特征方程在复平面的右半平面上没有根, 但在虚轴上有根 虚轴上有根, 如果特征方程在复平面的右半平面上没有根, 但在虚轴上有根, 则 可以说该线性系统是临界稳定的 系统将出现等幅振荡. 系统是临界稳定的, 可以说该线性系统是临界稳定的, 系统将出现等幅振荡.

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3.1.4劳斯 (Routh3.1.4劳斯 -赫尔维茨 (Routh-Hurwitz) 稳定判据 1.系统稳定性的初步判别 a 0 s n + a 1 s n 1 + L + a n 1 s + a n = 0 特征方程为 特征方程为 式中所有系数均为实数, 式中所有系数均为实数 , 且 a0〉0, 则 系统稳定的必要条件是上述 特征方程所有系数均为正数·如果有任何一项系数为负数或等于零 如果有任何一项系数为负数或等于零( 特征方程所有系数均为正数 如果有任何一项系数为负数或等于零( 即缺项), 则系统是不稳定的或临界稳定的. 即缺项), 则系统是不稳定的或临界稳定的. 将特征方程写成用特征根表达的形式 :

a 0 ∏ ( s + σ i ) ∏ [( s + α k ) 2 + ω k2 ] = 0i =1 k =1

q

l

(3(3-1)

例1:(1) 5s 3 + 6 s 2 + 3s 5 = 0

一项为负， 一项为负， 不稳定 缺项， 缺项， 不稳定

(2) 5s 3 + 6 s 2 + 5 = 0

满足必要条件， (3) 2 s 4 + 2 s 3 + 8 s 2 + 3s + 2 = 0 满足必要条件， 可能稳定

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2. 劳斯判据 (Routh) 根据特征方程的系数判断特征根是否为负实部， 根据特征方程的系数判断特征根是否为负实部，从而判定 系统是否稳定，不需要解微分方程。 系统是否稳定，不需要解微分方程。特征根位于虚轴和右半平 面系统视为不稳定。 面系统视为不稳定。 劳斯表及其列写规律 表3-1 劳斯表及其列写规律

sn sn-1 sn-2 sn-3 … s0

a0 a1a1a2 a0 a3 b1 = a1b1a3 a1b2 c1 = b1

a2 a3

a4 a5

a6 … a7 … b4 … c4 … … …

a1a6 a0 a7 a1a4 a0 a5 b3 = b2 = a1 a1b1 a 5 a1b3 b1a7 a1b4 c2 = c3 = b1 b1

… an

…

…

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2.Routh稳定判据： 2.Routh稳定判据： 稳定判据 系统稳定的充要条件是方程的各项系数全为正值，Routh表 系统稳定的充要条件是方程的各项系数全为正值，Routh表 中第一列各项元素均为正。 中第一列各项元素均为正。 特征方程具有正实部根 系统极点的实部)的个数等于Routh 正实部根( 特征方程具有正实部根(系统极点的实部)的个数等于Routh 表第一列中系数改变符号的次数。 表第一列中系数改变符号的次数。 例1:(3)

2 s 4 + 2 s 3 + 8s 2 + 3s + 2 = 0S4 S3 S2 S1 S0 2 8 2 3 2×8 2×3 2× 2 2× 0 =5 =2 2 2 5 × 3 2 × 2 11 0 = 5 5 2 0 2 0 0 0 0

Routh表 Routh表

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例1:(4) s 4 + 5s 3 + 8 s 2 + 16 s + 20 = 0

Routh表 Routh表 S4 1 S3 5 5 × 8 1× 16 24 = = 4 .8 S2 4.8 5 5 S1 –4.83 4.8 × 16 5 × 20 = 4.83 4 .8 0 20 S 8 16 20 0 0 20 0 0 0 0

第一列符号改变两次，说明有两个根在右半平面，系统不稳定。 第一列符号改变两次，说明有两个根在右半平面，系统不稳定。

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两种特殊情况：1,Routh表第一列出现零元素 两种特殊情况： Routh表第一列出现零元素 如果某行的第一列的数值等于零 某行的第一列的数值等于零, 如果某行的第一列的数值等于零, 而其余项中的某些项不等于 那么可以用一有限小的数值ε 零, 那么可以用一有限小的数值ε来代替为零的那一项 , 然后按 照通常方法计算阵列中的其余各项.如果零 照通常方法计算阵列中的其余各项.如果零(ε)上面的系数符号与 下面的系数符号相反, 零(ε)下面的系数符号相反, 表明这里有一个符号变化 . 例2

s5 + 2s4 + 2s3 + 4s 2 + s + 1 = 02 4 1 1 0 0 0 0

S5 1 S4 2 S3 0 ≈ δ + 2 4 1 = 1 S δ+ δ+ S1 1 2 0 0 S

1 2

1 0 0

第一列元素两次变号，有两个正根在右半平面 系统不稳定. 第一列元素两次变号，有两个正根在右半平面, 系统不稳定 2.Routh表中某一行全为零 2.Routh表中某一行全为零

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如果劳斯表中某一行的各项均为零, 或只有等于零的一项,这 如果劳斯表中某一行的各项均为零, 只有等于零的一项, 表示在s平面内存在一些大小相等符号相反的实极点和 大小相等符号相反的实极点和( 表示在s平面内存在一些大小相等符号相反的实极点和(或)一些共 虚数极点或对称于原点的共轭复数根 或对称于原点的共轭复数根。 轭虚数极点或对称于原点的共轭复数根。 将不为零的最后一行的各项组成一个S 均为偶次的 辅助方程, 将不为零的最后一行的各项组成一个 S 均为偶次 的 辅助方程 , 由该方程对s 求导数, 用求导得到的各项系数来代替为零的各项, 由该方程对 s 求导数 , 用求导得到的各项系数来代替为零的各项 , 然后继续按照劳斯表的列写方法, 写出以下各行. 然后继续按照劳斯表的列写方法 , 写出以下各行 . 至于这些根 , 可以通过解辅助方程得到. 可以通过解辅助方程得到. 例3 s 6 + s 5 + 6 s 4 + 5 s 3 + 9 s 2 + 4 s + 4 = 0

S6 S5 S4 S3 S2 S1 S0

1 1 1 0 4 2.5 3.6 4

6 5 5 0 10 4 0 0

9 4 4 0 0 0 0 0

s + 5s + 4 = 0 4 0 4 s 3 + 10 s = 0 0 0 虚数极点为： 0 虚数极点为： 0 0 s1, 2 = ± j 2 s3, 4 = ± j1 04 2

某一行全为零，说明存在对称于原点的根。 某一行全为零，说明存在对称于原点的根。系统不稳定

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3.Routh判据的应用 3.Routh判据的应用 分析系统参数变化对系统稳定性的影响, 从而给出使系统稳定 分析系统参数变化对系统稳定性的影响, 的参数范围. 的参数范围. 1.估计稳定裕量 1.估计稳定裕量

jω jω’ 3 2 例4 s + 7 s + 17 s + 11 = 0

S3 S2 S1 S0

108 7

1 7

11

17 11 0 0

o’ σ0

o

σ

=1,用 设 S=S´-σ0 ,若σ0 =1,用S=S´-1代入

( s' 1 )3 + 7( s' 1 )2 + 17( s' 1 ) + 11 = 0 s' 3 +4 s' 2 +6 s' = 0此时有一个特征根在原点，其余在左半平面。 此时有一个特征根在原点，其余在左半平面。

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所有系数全为正，稳定. 对于二阶系统 a0s2+a1s+a2=0 所有系数全为正，稳定. =0只要 则系统稳定. 对于三阶系统a0s3+a1s2+a2s+a3=0只要 a1a2 > a0a3 则系统稳定. 2.确定参数范围 2.确定参数范围 设反馈控制系统如图3 所示，求满足稳定要求时K 例5 设反馈控制系统如图3-1所示，求满足稳定要求时K、T1 的值. 、T2的值. R(s)+

-

k s( T1s + 1 )( T2 s + 1 )

C(s)

k G (s) = s (T1 s + 1)(T2 s + 1) k 闭环传递函数为： ( s ) = 闭环传递函数为：G T1T2 s 3 + (T1 + T2 ) s 2 + s + k开环传递函数为： 开环传递函数为：

图3-1反馈控制系统

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特征方程 劳斯表 S3 S2 S1 S0 T1T2 T1+T2

T1T2 s 3 + ( T1 + T2 )s 2 + s + k = 0

1

Qk 0 0

T1 + T2 > kT1T2 k>0

( T1 + T2 ) kT1T2 T1 + T2

1 1 ∴ + > k > 0 为稳定条件 T1 T2对于三阶系统 a0s3+a1s2+a2s+a3=0 只要 a1a2 > a0a3 则系统稳定. 则系统稳定.

k

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例6 设反馈控制系统如图3-2所示，求满足稳定要求时K的临界值. 设反馈控制系统如图3 所示，求满足稳定要求时K的临界值. R(s)+

-

k s(s + 1)(s + 5)图3-2反馈控制系统

C(s)

k 系统闭环传递函数为： 解：系统闭环传递函数为： G ( s ) = s ( s + 1)( s + 5) + k 其特征方程为： 其特征方程为： D ( s ) = s ( s + 1)( s + 5) + k = 0列出劳斯表： 列出劳斯表： S3 S2 S1 S0 1 6 5 k 0 0 Routh表中第一列各项元素均为正。 Routh表中第一列各项元素均为正。 表中第一列各项元素均为正 K〉0,30-k〉0 30则有 0<k<30 满足稳定的临界值为k 满足稳定的临界值为kc=30

30 k 6

k