离散数学(修订版)课后习题答案

离散数学的课后习题答案 修订版的,作者 耿素云 屈婉玲 的那版

第一章部分课后习题参考答案

16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r) 0∨(0∧1) 0

（2）（p r）∧(﹁q∨s) （0 1）∧(1∨1) 0∧1 0.

（3）（ p∧ q∧r） (p∧q∧﹁r) （1∧1∧1） (0∧0∧0) 0 (4)（ r∧s）→(p∧ q) （0∧1）→(1∧0) 0→0 1

17．判断下面一段论述是否为真：“ 是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。”

答：p: 是无理数 1 q: 3是无理数 0 r:

2是无理数 1

s: 6能被2整除 1

t: 6能被4整除 0

命题符号化为： p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →( q→ p) （5）(p∧r) ( p∧ q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)

答： （4）

p q p→q q p q→ p (p→q)→( q→ p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式

（5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例）

第二章部分课后习题参考答案

3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.

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(1) (p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r)

答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r) ( p∨(p∨q))∨( p∨r) p∨p∨q∨r 1

所以公式类型为永真式

(3) P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)

0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1

所以公式类型为可满足式

4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r) (p→(q∧r))

(4)(p∧ q)∨( p∧q) (p∨q) ∧ (p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r)

( p∨q)∧( p∨r) p∨(q∧r))

p→(q∧r)

（4）(p∧ q)∨( p∧q) (p∨( p∧q)) ∧( q∨( p∧q)

(p∨ p)∧(p∨q)∧( q∨ p) ∧( q∨q) 1∧(p∨q)∧ (p∧q)∧1

(p∨q)∧ (p∧q)

5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值

(1)( p→q)→( q∨p) (2) (p→q)∧q∧r

(3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解：

（1）主析取范式

( p→q)→( q p)

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(p q) ( q p)

( p q) ( q p)

( p q) ( q p) ( q p) (p q) (p q) ( p q) (p q) (p q)

m0 m2 m3

∑(0,2,3)

主合取范式：

( p→q)→( q p)

(p q) ( q p)

( p q) ( q p)

( p ( q p)) ( q ( q p)) 1 (p q) (p q) M1 ∏(1) (2) 主合取范式为：

(p→q) q r ( p q) q r (p q) q r 0 所以该式为矛盾式.

主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7)

矛盾式的主析取范式为 0 (3)主合取范式为：

(p (q r))→(p q r)

(p (q r))→(p q r)

( p ( q r)) (p q r)

( p (p q r)) (( q r)) (p q r))

1 1 1

所以该式为永真式.

永真式的主合取范式为 1

主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)

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第三章部分课后习题参考答案

14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： (2)前提：p q, (q r),r

结论： p

(4)前提：q p,q s,s t,t r 结论：p q

证明：（2）

① (q r) 前提引入 ② q r ①置换 ③q r ②蕴含等值式 ④r 前提引入 ⑤ q ③④拒取式 ⑥p q 前提引入 ⑦￢p（3） ⑤⑥拒取式

证明（4）：

①t r 前提引入 ②t ①化简律 ③q s 前提引入 ④s t 前提引入

⑤q t ③④等价三段论 ⑥（q t） (t q) ⑤ 置换 ⑦（q t） ⑥化简 ⑧q ②⑥ 假言推理 ⑨q p 前提引入 ⑩p ⑧⑨假言推理 (11)p q ⑧⑩合取

15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：

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(1)前提：p (q r),s p,q

结论：s r 证明

①s 附加前提引入 ②s p 前提引入 ③p ①②假言推理 ④p (q r) 前提引入 ⑤q r ③④假言推理 ⑥q 前提引入 ⑦r ⑤⑥假言推理

16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：

(1)前提：p q, r q,r s

结论： p 证明：

①p 结论的否定引入 ②p ﹁q 前提引入 ③﹁q ①②假言推理 ④￢r q 前提引入 ⑤￢r ④化简律 ⑥r ￢s 前提引入 ⑦r ⑥化简律 ⑧r ﹁r ⑤⑦ 合取

由于最后一步r ﹁r 是矛盾式,所以推理正确.

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