正弦定理

在Rt△ABC中,各角与其对边的关系:

b a sin B sin A c c c sin C 1 c不难得到:b

A

c

a b c sin A sin B sin C

C

a

B

在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?C

bA c

a

B

(1)若三角形是锐角三角形, 如图1,过点A作AD⊥BC于D,AD , sin C 此时有 sin B AD c bB图1

A c b C

b c 所以AD=csinB=bsinC, 即 sin B sin C ,

D

a b c a c 同理可得 , 即： sin A sin B sin C sin A sin C

(2) 若三角形是钝角三角形呢？ 自己证下！

正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.

a b c 即 sin A sin B sin C即正弦定理寻找的是各边和它的对角的关系！

剖析定理、加深理解正弦定理可以解决三角形中哪类问题：

a b c sin A sin B sin C① 已知两边和其中一边的对角，求另一边

的对角，进而可求其他的边和角.

② 已知两角和一边，求其他角和边.

定理的应用

(1)已知两角和任一边， 求其他两边和一角。 。C

例 1:在△ABC 中，已知c = 10,A = 45 , C = 30 ,

解三角形.(即求出其它边和角)根据三角形内角和定理， B 180 (A C) 105 解：

bc

由正弦定理

a c sin A sin C

aB

A

c sin A 10 sin 45 10 2 得a = sin 30 sin Cb c 由正弦定理 sin B sin C

c sin B 10 sin 105 5( 6 2 ) 得 b= = sin C sin 30

已知两角和任一边，求其他两边和一角. 练习： (1)在△ABC中，已知 A=30°,B=120°,b=12。解三角形.

C 30 , a c 4 3(2)在△ABC中，已知 A=75°,B= 45°,c= 3 2 求C,a , b.

C 60 , a 3 3, b 2 3

例2:在 ABC中，a= 3, b 2, B 45 , 求A, C, c0

解：

2 3 a sin B 3 2 sin A b 2 (三角形中大边对大角) 20 0

a b, A B, 且0 A 180

A 600 或A 1200

(1)当A 600 , C 1800 ( A B) 750 b sin C 2 6 2 6 2 c sin B 4 2 2 2 (2)当A 1200 , C 1800 ( A B) 150b sin C c sin B 2 6 2 6 2 4 2 2 2

(2)已知两边和 其中一边的对 角,求其他边和 角.

(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.

练习：在 ABC中，a=2, b 2, A 45 , 求B, C, c0

2 2 b sin A 1 2 解：由正弦定理得 sin B a 2 2 a b, A B, 且00 B 1800

B 30 , C 1050

(三角形中大边对大角)

a sin C 2 6 2 c 3 1 sin A 4 2 2

课堂小结(1)三角形常用公式： A B C

a b c 正弦定理： sin A sin B sin C

(2)正弦定理应用范围：① ②

已知两角和任意边，求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角。(注意解的情况)

正弦定理推广一:a b c 2R R是 ABC外接圆

半径 sinA sinB sinC

证明：作外接圆O, 过B作直径BC/,连AC/,

B

' BAC 90 , C C

a b 同理 2 R, 2R sin A sin B a b c 2R sin A sin B sin C

c sin C sin C 2R c 2R sin C'

c O b

a C

A

C/

公式的应用a b c 正弦定理： sin A sin B sin C应用正弦定理化边为角：=

2R

a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin Ca b c 或化角为边：sin A ,sin B ,sin C 2R 2R 2R

课堂练习：1.已知 ABC的三个内角之比为A : B : C 3: 2 :1,

2:31 : 那么对应的三边之比a : b : c等于 ____________2.已知 ABC中a 2, B 75 ,C 45 ,则 a b c 4 3 ______ . sin A sin B sin C0 0

3、已知三角形 ABC 中，acosA=bcosB, 判断三角形的形状。 直角或等腰三角形

3

正弦定理推广二:正弦面积公式: 1 1 1 1 S ABC ah ab sinC acsinB bc sinA 2 2 2 2练习：

1.在 ABC中, a 6,b 8,C 45 .则S ABC

12 2 ______.

2.已知三角形 ABC 中，a=50,B=450,C=1050,求 S ABC .

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