28.2

解直角三角形第2课时

1、了解仰角、俯角的概念，能应用锐角三角函数的知识解决有关实际问题； 2、培养学生分析问题、解决问题的能力.

A

(1)三边之间的关系

a b c2 2

2b

c

(2)两锐角之间的关系 ∠A+∠B=90°(3)边角之间的关系 A的对边 a sin A 斜边 c

C

a

B

B的对边 b sin B 斜边 c

A的邻边 b cos A 斜边 c

B的邻边 a cos B 斜边 c

A的对边 a tan A A的邻边 b

B的对边 b tan B B的邻边 a

【例1】2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成 功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道 上运行.如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时， 从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的

最远点与P点的距离是多少？(地球半径约为6 400km,结果精确到0.1km) 【分析】从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是 视线与地球相切时的切点.

如图，⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点.弧PQ 的长就是地面 上P、Q两点间的距离，为计算弧PQ的长需先求出∠POQ (即a).FP α O· Q

【解析】在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形. cos a OQ 6400 0.95 OF 6400 350

a 18

F P α · O Q

∴PQ的长为

18 6400 3.14 640 2009.6(km) 180离P点约2009.6km.

当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距

在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角 叫做仰角；从上向下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 视线 铅 直 线

仰角 俯角

水平线

视线

【例2】热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的 仰角为30°,看这栋高楼底部的俯 角为60°,热气球与高

楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高(结果精确到0.1m). 【分析】我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此， 在图中，ɑ =30°,β=60°.

Rt△ABC中，a=30°,AD=120,所以利用解直角三角形 的知识求出BD;类似地可以求出CD,进而求出BC. 仰角 水平线

BAα D β

俯角

C

【解析】如图，a = 30°,β= 60°,AD=120. tan a BD CD , tan AD AD

BD AD tan a 120 tan 303 120 40 3(m) 3 CD AD tan 120 tan 60

B α A β D

120 3 120 3(m)

BC BD CD 40 3 120 3 160 3 277.1(m)C

答：这栋楼高约为277.1m.

如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰 角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°, 那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精

确到1m). 要解决这问题,我们仍需将其数学化.

30°

60°

【解析】如图,根据题意可知,∠A=30°,∠DBC=60°, AB=50m.设CD=x,则∠ADC=60°,∠BDC=30°, AC BC tan ADC , tan BDC , x x x tan 60 x tan 30 50.50 x tan 60 tan 30 50 3 3 3 25 3 43 m .

AC x tan 60 , BC x tan 30 .

D

答:该塔约有43m高. A

30° 50m

60° ┌ B C

1.(青海中考)如图，从热气球C上测定建筑物A、B 底部的俯角分别为30°和60°,如果这时气球的高度CD为 150米，且点A、D、B在同一直线上，建筑物A、B间的距离 为( C ) A.150 3 米 C.200 3 米 B.180 3 米 D.220 3 米

2.(株洲中考)如图，孔明同学背着一桶水，从山脚出发， 沿与地面成角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱 缺水的王奶奶家(B处),AB=80米，则孔明从到上升的高

度是

米.

【解析】依题意得，∠ACB=90°.所以sin∠ACB=sin30°= BC BC 1 . 所以BC=40(米). 【答案】40AB 80 2

3. 建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC40m的D处观察旗杆顶 部A的仰角54°,观察底部B的仰角为45°,求旗杆的高度 (精确到0.1m) 【解析】在等腰三角形BCD中∠ACD=90°,BC=DC=40m, 在Rt△ACD中：tan ADC AC DCA B

AC tan ADC DC

tan 54 40 1.38 40 55.2m所以AB=AC-BC=55.2-40=15.2m 答：棋杆的高度为15.2m.D 45° 54° 40m

C

4. 如图，沿AC方向开山修路.为了加快施工进度，要在小山 的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°,BD = 520m,∠D=50°,那么开挖点E离D多远正好能使A,C,E成一 直线(精确到0.1m) 【解析】要使A、C、E在同一直线上，则 ∠ABD是

△BDE 的一个外角，∴∠BED=∠ABD-∠D=90° DE cos BDE BD

A

B

C

E

140°

DE COS BDE BD

cos50 520 0.64 520 332.8m答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A,C,E成一直线.

50°D