随机信号分析Random Signals Analysis

郭成安信息与通信工程学院信息技术研究所创新园大厦 A530室Tel: 84706006(O) Email: cguo@http://

Ch.1绪论 为什么学习随机信号分析？ 随机现象、随机信号举例

(1)通信系统

--典型的通信系统框图噪声

信源

编码器

发射器

信道

接收器

解码器

用户

l噪声：典型的随机信号 l数字通信信号 S(t)经 A/D变换，转化成数字信号： S(t) 采样为 S(t0), S(t1),…, S(tn); 量化为 Sq(t0), Sq (t1),…, Sq (tn); 用2进制表示 Sq (ti):101011

l为什么数字通信信号质量比模拟通信好？ l主要原因：通信中有噪声干扰，而数字通信抗干扰能力强.处理器(比较器)

(2)电子测量：测量误差 随机误差；实测值: r(t)=V(t)+ n(t),其中 V(t)为理想值, n(t)为噪声。 l如何提高测量精度？ 应用随机信号分析知识。

(3)雷达(或声纳)问题有目标时：X(t)= a S(t-t0)+ n(t);无目标时：X(t)= n(t);

如何从中判断出是否有目标？ 如何判断是什么目标？ 如何判断目标的距离？

(4)计算机网络、网络通信问题问题1:大工校园网域名为“http://”信箱服务器每分钟接收和发送多少 email? 服务器容量构置、信箱大小的设置等;

网络交换机示意图

问题2:该网络中某主干链路上的交换机各时刻的数据流量是多少？ 交换机容量、速度的设计等问题.

本课程从信号与系统角度学习如何分析随机信号，学习和掌握线性系统在随机信号作用下的分析方法与基础理论，为后续课程(例如通信原理、信息论、信号检测与估计、纠错编码理论等)奠定理论基础.

二、本课程内容1. 2. 3. 4. 5. 6.概率论基础知识(简要复习);随机信号、随机过程基础理论；随机信号作用于线性系统、随机信号分析方法；线性系统对随机信号的响应(系统输入—输出)分析方法；窄带随机信号分析及其线性变换(Hilbert Transform);随机信号通过非线性系统的分析方法(简介).

重点强调的内容：

本课程中的基本概念；—哪些概念？ 本课程中所涉及和研究的基本问题；

—哪些问题？ 用于解决这些问题的基本方法；—什么方法？—与原来所学的有什么不同？

课程学时分布 (2015秋季): 40学时， 1--16周： 1 - 16周:星期二 5、6节，教室:综109; 1、3、5、7周:星期五 1、2节，教室:综109。

成绩分布：(1)平时作业与平时提问及测验： 30%; (作业要求必做，禁止抄袭，平时测验时间不定，缺考以零分计); (2)期末考试: 70% (考试形式:一纸开卷)。 研究生入学复试内容之一

:“信号与信息处理”等专业研究生入学考试(复试)课程 本课程要求的前期基础知识：高等数学、概率论基础、信号与系统。 课件:通过各班学委发给其他同学.

三、教材和主要参考书[1]《随机信号分析》.赵淑清，哈尔滨工业大学出版社，(教材)[2]《随机过程》,吴祈耀，国防工业出版社，1984[3]《随机信号分析》,章潜五，西安电子科技大学出版社， 1990

[4] Probabilities, Random Variables and Stochastic Processes, A. Papoulis, McGraw-Hill, 1984[5]其他有关随机过程,随机信号分析方面的教材或书籍.

四、概率论基础知识(简要复习)1.概率简述 概率(Probability):用数值表示某事件出现的可能性，记为 P(A),称为事件 A的概率。P(A)处于[0,1]之间，

0 P( A) 1

在一般随机试验中有很多可能的结果.在一次试验中不能准确预言哪个结果是否一定出现。然而大量重复试验会发现，各种结果出现的可能性是有不同的大小，而这个可能性是确定的，不是随机变化的。该可能性即是概率。

相对频率(Relative frequency):--其中 nA为 A在试验中出现的次数, 概率与相对频率的关系：

nA fA nn为全部试验次数.nA P( A) n n lim

概率的公理化定义：--现代概率论是建立在结构性公理基础上，从更一般性、抽象角度研究问题；设 S是某随机试验的样本空间,对于试验中的每一个事件A赋予一个实数,记为 P(A),如果满足下列条件,则称为事件 A的概率: 对于每一个事件A,有 P(S)= 1

0 P( A) 1

(结果必然会落在 S中，或 S中至少有一个结果出现)

对于两两互不相容的事件 Ak (k=1,2,…,n),有

P( A1 A2 An ) P( A1) P( A2 ) P( An )

2.条件概率、统计独立 条件概率：设 A, B为随机试验中的两个事件，则事件 B出现下，事件A的条件概率为

P( A| B)

P( AB ), ( P( B) 0) P( B)P( B| A) P( AB ), ( P( A 0)) P( A)

相应地事件A出现下事件B的条件概率为：

乘法定理：

P( A B) P( A| B) P( B) P( B| A) P( A)

统计独立性:设A, B为随机试验的两个事件，当

P( A) P( A| B),或 P( B) P( B| A) P( A B) P( A) P( B)称事件A与事件B是统计独立的，因此这时有：该式也为统计独立的条件。

一般情况下：

P( B| A) P( B),

P( A| B) P( A)

即 A的出现对于B出现的概率有影响，只有两者独立时，才不存在影响。

3.随机变量与概率分布 随机变量定义：设随机试验的样本空间 S={

},

如果对于每一个 S

称 X ( )为随机变量。 概率分布

有一个实数与它对应,这样就得到一个定义在 S上的实值单值函数 X ( )

,

随机变量X的各可能取值与其相应概率之间的(各种不同形式的)对应关系，统称为随机变量的分布率。 (1)离散变量：若 X的所有可能取值为 Xi ( i=1,…,n), X取各相应 Xi的概率为 pi,则 X的分布特性为： X pi X1 p1 X2 p2…n

Xn pn

i 1

pi 1

(2)连续型随机变量 X:其取值不能一一列举出来，不能用分布列表来描述，而随机变量的取值落在某一个区间内的概率来表达：

x1 概率分布函数定义：

x2

x

P( x1 X x2 ) P( X x2 ) P( X x1)随机变量 X取值不超过 x的概率，称为 X的分布函数，记为 FX ( x),即

FX ( x) P( X x )

分布函数的特性:①单调,非减,最大值为 1;

②非负;FX ( x)

③右连续.

P( X xi )

1

x1

x2

x3

xn

x

x1

x2

x3

xn

x

(3)两个随机变量(二维分布)或多个随机变量(多维分布)的情况：

FXY ( x, y) P( X x, Y y)

概率密度设随变量 X的分布函数为 FX ( x),存在非负的函数 p X ( x),x

使得对于任意 x有

FX ( x) p X (u )du

称 p X ( x)为 X的概率密度函数。也可写为：dFX ( x) p X ( x) dx

--概率密度函数是分布函数的导数。

对离散型随机变量,概率密度函数如何表达？分布函数

FX ( x) pi u ( x xi )i

--其中 u(x)为单位阶跃函数。

其概率密度函数可表示为

p X ( x)

dFX ( x) pi ( x xi ) dx i

其中

( x)

为单位冲激函数。

二维概率密度函数p XY ( x, y) FXY ( x, y) y x, FXY ( x, y) p XY (u, v)dudv x y

两个变量独立的概念：若满足

FXY ( x, y) FX ( x) FY ( y)

或

pXY ( x, y) pX ( x) pY ( y)

则称 X, Y相互独立.

条件分布:

在条件 B下随机变量 Y的条件分布函数为：

FY ( y| B) P(Y y| B) --如果条件事件B为 --对于条件B为

P(Y y, B) P( B)FY ( y| X x)

X x

P( X x, Y y) FXY ( x, y) P( X x) FX ( x) FXY ( x, y)/ x dFX ( x)/ dx

X x

FY ( y| X x) FX ( y| x)

多维情况：

FX ( x1, x2, , xn ) P( X1 x1, X 2 x2, , X n xn )

4.常用的概率分布(1)贝努利分布 (Bernoulli):随机变量X只取两个值：X= 0或 1,

S X {0, 1},(2)二项式分布 (Binomial):

p1 p,

p0 q (1 p1)

n次相互独立的贝努利试验，在这 n次试验中事件A发生m次的概率m m n m Pn (m) P( X m) Cn p q

0, x 0 FX ( x) Pn (m), 0 x n m x 1, x n

(3)泊松分布 (Poisson):

S X {0, 1, 2, }, X 0, 1, 2, x 0 0, m P( X m) e, FX ( x) m m! m! e, x 0 m x