习题

7-1用积分法求图示各悬臂梁自由端的挠度和转角，梁的抗弯刚度EI为常量。

7－1

（a）M(x)=M0

∴EJy''=M0

1

EJy'=M0x+CEJy=M0x2+Cx+D

2

边界条件:x=0时y=0；y'=0

代入上面方程可求得：C=D=0

11

M0x2θ=y'=M0x2EJEJ11θB=M0lyB=M0l2

EJ2EJq(l x)212qx2

（b）M(x)== ql+qlx

22212qx2''

∴EJy= ql+qlx

221212qx3'

EJy= qlx+qlx +C

22612213qx4

EJy= qlx+qlx +Cx+D

4624

y=0；y'=0边界条件：x=0时

∴y=

代入上面方程可求得：C=D=0

112213qx4

∴y=( qlx+

qlx EJ4624

11211(-qlx+qlx2 qx3)EJ226-13-14

θB=qlyB=ql

6EJ8EJ

θ=y'=

（c）

l x

q0l

q013 l x

M(x)= q(x)(l x) = l x()

26l 8 q3

∴EJy''=0(l x)

6lq4

EJy'= 0(l x)+C

24lq5

EJy=0(l x)+Cx+D

120l

y=0；y'=0边界条件：x=0时q(x)=

q0l4q0l5

代入上面方程可求得：C=D=

24l120l

q0q0l4q0l55

∴y= x+(l x)

120lEJ24lEJ120lEJ q0x2=(10l3 10l2+5lx2 x3)120lEJ

q0l3q0l4

θB= yB=

24EJ30EJ

(d)

M(x)=Pa Px

EJy''=Pa Px

1

EJy'=Pax Px2+C

211

EJy=Pax2 Px3+Cx+D

26边界条件：x=0时y=0；y'=0

代入上面方程可求得：C=D=0

∴y=

13 12

Pax Px 26 1 12

θ=y'=Pax Px

EJ 2

1EJ

Pa3Pa25Pa3

yB=yC+θCia=+ia=

3EJ2EJ6EJ

Pa2

θB=

2EJ

(e)

3a2

M(x)1= qi+qax(0≤x≤a)

2q2

M(x)2= (2a x)(a≤x≤2a)

23a2''

EJy1= qi+qax

23a1

EJy1'= qa(x+x2)+C1

223a1

EJy1= qa(x2+x3)+C1x+D1

46

边界条件：x=0时y=0；y'=0

代入上面方程可求得：C=D=0

qax2qax2∴y1= (18a 4x)= (9a 2x)(0≤x≤a)

24EJ12EJ1

EJy2''= q((2a)2 4ax+x2)

21x3'22

EJy2= q(4ax 2ax++C2

23123x422

EJy2= q(2ax ax+)+C2x+D2

2312

边界条件：x=a时y1=y2；θ1=θ2

9a2qa4代入上面方程可求得：C2=D2=

624

qy2=16x4 128ax3+384a2x2 64a3+16a4)(a≤x≤2a)(384EJ

41qa4

yB=

24EJ7qa3

θB=

6EJ

(f)

5qa2qx2

M(x)1= +2qax (0≤x≤a)

225qa2qa a

M(x)2= +2qax x (a≤x≤2a)

25 2 5a212

EJy= q 2ax+x

22 5a21 '

EJy1= q x ax2+x3 +C1

6 2

''

1

5a221314

EJy1= q x ax+x +C1x+D1

324 4

边界条件：x=0时y=0；y'=0

代入上面方程可求得：C1=D1=0

EJy2''= q(2a2 ax)

1

EJy2'= q(2a2x ax2)+C2

21

EJy2= q(a2x2 ax3)+C2x+D2

6

边界条件：x=a时y1=y2；y1''=y2''9a3C2=

671qa4

yB=

24EJ13qa3

θB=

6EJ

a4

D2=

24

7-2用积分法求图示各梁的挠曲线方程，端截面转角θA和θB，跨度中点的挠度和最大挠度，梁的抗弯刚度EI为常量。

7-2

(a)解：

M(x)=

M0

l

xEJy''=M(x)=M0

l

xEJy'=

M02lx2

+CEJy=M

06l

x3+Cx+D

边界条件：x=0y=0

∴D=0

x=l

y=0∴C=

M0l

6

M3∴y= 0l2 xx

6EJ l l3

∴θ=y'

= M0l2 6EJ 1 l 3x2

l3

当y

'

=0时，可得x

=；此时挠度最大f=

2中点挠度y l M2

2 0l

=

16EJθ= M0lEJθ=M0

lA6B3EJ

（b）解：

设中点为C点，则分析CB段

M(x)1=

''

M0

xl

M0

xl

EJy1=M(x)=EJy1=

'

M02

x+C2lM

EJy1=0x3+Cx+D

6l

边界条件：x=0y=0

x=∴D=0

y=0∴C=

M0l

24

M0 x3lx

∴y1=

6EJ l4 M0 3x2l '

∴θ=y=

6EJ l4

2

可得最大挠度f=

M0lθA=

24EJ

（c）解：

M0lθB=

24EJ

（

x=

q0

xlq0x2'''

EJy=+C

2lq0x3''

EJy=+Cx+D

6l

q0x4Cx2'

EJy=++Dx+A

24l2

q0x5Cx3Dx2'

EJy=+++Ax+B

120l62

y=0 y=0

边界条件：x=0 ''x=l ''

y=0 y=0qlD=0∴C= 067q0l3A=B=0

360

EJy''''=

∴y=

q0x

3x4 7l4 10l2x2)(360lEJq0

θ=y'= 15x4 30l2x2)(360lEJ

q0l4

最大挠度：f= （x=0.5193l）

153EJ

7q0l3q0l3

θA= θB=

360EJ45EJ

3qlxqx2 M(x)1= 0≤x≤

82

（d）解：

l

2

M(x)2=

''1

ql ll x() ≤x≤l 8 2

3qlxqx2

EJy=

823qlx2qx3'

EJy1= +C1

1663qlx3qx4

EJy1= +C1x+D1

4824ql

EJy2''=(l x)

8ql x2 '

EJy2= lx +C2

8 2

ql x2x3

EJy2= l +C2x+D2

8 26

y2=0x=0x=0y1=0

边界条件：;'

x=l2y1'=y2y1=y2x=l2

C1= 9ql384D1=0

3

17ql3

C2=

384ql4

D1=

384

y1=y2=

qx

9l3 24lx2+16x3) 0≤x≤(384EJ l

2

ql 3223 l l+17lx 24lx+8x() ≤x≤l 384EJ 2

41ql4

f=(x=0.25l)

1536EJ

5ql4 l

y =

768EJ 2 3ql3

θA=

128EJ7ql3

θB=

384EJ

7-3已知下列各梁的抗弯刚度EI为常量，试用初参数法求各梁的挠曲线方程，并计算θC、yC、及θD、yD。

7-4计算下列铰接梁在C处的挠度，设梁的抗弯刚度EI为常量。

(a)

解：

M0a

M0

A

C

M0

yM0a23c=3EJ×a=

3EJ

(b)解：

1qay24qa4c=3EJ×(2a)= 3EJ

(c)解：

A

P

PB

P

D

y'

C=yD+θBi

a+yC

= Pa3 Pa3 3EJ+ 3EJ + Pa3 3EJ = Pa3EJ

yθC=yE+Bia+yC

P(2a)3

Pa3 Pa3=3EJ 3EJ

3EJ 10Pa3=

3EJ

7-5门式起重机横梁由4根36a工字钢组成如图所示，梁的两端均可视为铰支，钢的弹性模量E=210Gpa。试计算当集中载荷P＝176kN作用在跨中并考虑钢梁自重时，跨中截面C的挠度yC。

解：查自重得：

q=587.02N/m

J=15760cm4

Pl35ql4

f=

48EJ384EJ 176×103×113

=

48×210×109×15760×10 8×4

587.02×5×114

+

385×210×109×15760×10 8×4=0.0377m=3.77cm

7-6松木桁条的横截面为圆形，跨长为l=4m，两端可视为简支，全跨上作用有集度为q＝1.8kN/m的均布载荷。已知松木的许用应力[σ]＝10MPa，弹性模量E=1.0×103Mpa。此桁条的容许挠度[y]=l/200，试求此桁条横截面所需的直径。

5ql4

解：此松木条的最大挠度为

384EJ5ql4l

所以：=

384EJ200

51.82×103×43×64×200d=×=

0.006179

3841×

10×πMql232σ==2=1.689

MPa<[σ]W所以取d==0.28m

7-7试用虚梁法求图示悬臂梁自由端B的θB和yB。

(a)解：

2lPl3

(-)2Pl3

2PlPl

1 22 1 11

θB= Pl×l+Pl×l

3 2EJ 33 2EJ 3

5Pl2=

18EJ

1 122 14 111 22

yB= ×Pl×l×+l+×Pl×l × + l

EJ 23339233 39 18Pl3

=

81EJ

(b)解：

9qa3 1112

θB= ××qa×a =

EJ326EJ

31 1qa21 qa4qa3b

yB= ×a × a+b = +

EJ 324EJ86

7-8试用虚梁法求图示简支梁跨中挠度yC。解：

(+)

3

QAf= Pa2

2 3 1 a a 1yC= Pa2i(2a)+ Paia × +(Paia)×

2 3 2 EJ 2

14P3= a6EJ

7-9图示简支梁中段受均布载荷q作用，试用叠加法计算梁跨度中点C的挠度yC，梁的抗弯刚度EI为常数。解：

qb(b+a)qb3qb4

fC= a

3EJ6EJ8EJ5qb4qa2b2qa3b5qab3=

24EJEJ3EJ6EJ

7-10用叠加法求图示外伸梁外伸端的挠度和转角，设EI为常量。

3

(a)解：

12

qa (2a)qa(2a)qa4 5q42 yC=×a ×a =a

16EJ3EJ8EJ24EJ

12 qa (2a)2

qa(2a) qa3qa32 θC= = 16EJ3EJ6EJ4EJ

ql3qa3lqa4qayC=×a = 3a3 4a2l l3)(24EJ6EJ8EJ24EJ

(b)解：12

ql3qa3qalqaθC= =

4a2l+4a3 l3)(24EJ6EJ3EJ24EJ

2

7-11用叠加法求图示悬臂梁中点处的挠度yC，和自由端的挠度yB，EI为常量。

解：

3l 3l qq lql42399ql444yC= ×= 3EJ8EJ6EJ46144EJ l 3ql l 172 l q ql 97ql4242 322 θC= = 8EJ3EJ2EJ768EJ

7-12外伸梁受力及尺寸如图示，欲使集中力P作用点处D的挠度为零，试求P与ql间的关系。解：

4

3

2

43

ql2 2

2l()3 P(2l) 2 yD= + =0

48EJ16EJ3∴P=ql

4

7-13若图示梁截面A的转角θA

=

0，试求比值

a。b

解：

PalPbl

=03EJ6EJa1∴=b2θA=

7-14悬臂梁的固定端为弹性转动约束，该处截面转角θ=kM，其中k为已知常数，M为该梁面上的弯矩，已知梁的抗弯刚度为EI。试求梁自由端的挠度和转角。

解：

ql4kql3

y=

8EJ2ql3kql2

θ=+

6EJ2

7-15简支梁AB，承受集中力P如图示，A端为固定铰支座，B端为弹性支座，弹簧

常数为k(N/m)，梁的抗弯刚度为EI，求C处的挠度。解：

2l l P 22

P332 l 2l yC= l 9k6lEJ 3 3

P4Pl3

=

9k243EJ

7-16图示梁的右端为一滑块约束，它可自由上下滑动，但不能转动和左右移动，若EI为已知，试求滑块向下的位移。

解：

M(x)=Pl Px

EJy''=Pl Px

P

EJy'=Plx x2+C

21P

EJy=Plx2 x3+Cx+D

26边界条件：x=0时y'=0

x=l时y=0

∴C=0

Pl3

D=

3

Pl3

yA=

3EJ

7-17已知在梁的挠曲线方程为y=截面（x=况。

解：M=EJy=

q0x

(3x4 10l2x2+7l4)。试求（1）梁中间

360EIl

l

）上的弯矩；（2）最大弯矩值；（3）分布载荷的变化规律；（4）梁的支承情2

''

q0

60x3 60l2x)(360l

l1当x=时M= q0l2

216

q0'

最大弯矩时：M=0即180x2 60l

2)=0(360lMmax=0.064q0l2

qx''

分布荷载为：q=M=0

l'

根据：x=0时y=0,y=0

x=

l时y=0,y'≠0

∴xm=

支承情况为：梁的左端为固定端，右端为铰支端。

7-18梁的轴线应弯成什么样的曲线，才能使载荷P在梁上移动时其左段梁恰好为水平线（写出该曲线方程式）。

题7-18图

解：

M(x)=PxEJy''=Px

1

EJy'=Px2+C

2Px2

即：θ=+C

2EJx=0时θ=0∴C=0

Px2

∴θ=

2EJ

Px3

∴y=∫θdx=

06EJ

x

Px3

即：若使P在梁上移动时左端保持水平则：y=

6EJ

7-19图示等截面梁的抗弯刚度EI。设梁下有一曲面y= Ax3，欲使梁变形后恰好与该曲面密合，且曲面不受压力．试问梁上应加什么载荷？并确定载荷的大小和方向。解：

y= Ax3y'= 3Ax2y''= 6Axy(3)= 6Ay(4)=0∵y(4)=0

∴q(x)=0即不受分布荷载。

设右端受集中力

P