凸函数 Banach空间中

四川大学

硕士学位论文

Banach空间中的一类广义凸函数及其优化问题

姓名：陈胜兰

申请学位级别：硕士

专业：运筹学与控制论

指导教师：黄南京

20060407

凸函数 Banach空间中

Ｂａｎａｃｈ空间中的一类广义凸函数

及其优化问题

专业 运筹学与控制论

研究生，陈胜兰导师一黄南京教授

在这篇文章中，我们将实值日．半预不变凸函数及向量型预不变凸函数推广到ＢⅡ８ｃｈ空间中的Ｂ半预不变凸函数．文中研究了涉及Ｂ半预不变凸函数的向量优化问题的弱有效解，得到了一些类似于凸函数性质的结果．同时。我们也讨论了带约束条件的向量型Ｌｉｌｍｅｈｉｔｚ非光滑规划，利用Ｒａｌｐｈ向量次微分，我们得到了关于此类规划的广义Ｋｕｌｍ－Ｔｕｃｋｅｒ型最优解的充分条件及鞍点条件．最后，我们建立了原非光滑规划的广义Ｍｏｎｄ－Ｗ西ｒ型对偶及Ｗｏｌｆ型对偶。在Ｂ半预不变凸性及正则性的假定下。分别证明了弱对偶定理、强对偶定理及逆对偶定理，推广了已有的工作．

关键词ｔＢ半预不变凸函数；半连通集；弱有效解；向量优化Ｉ闭凸锥

凸函数 Banach空间中

ＡＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＣｏｎｖｅｘＦｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｄＶｅｃｔｏｒＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ

ＰｒｏｂｌｅｍｓｉｎＢａｎａｃｈＳｐａｃｅｓ

Ｍａｊｏｒ：ＯｐｅｒａｔｉｏｎｓＲｅｓｅａｒｃｈａｎｄＣｏｎｔｒｏｌＴｈｅｏｒｙ

Ｐｏｓｔｇｒａｄｕａｔｅ：Ｓｈｅｎｇ－ｌａｎＣｈｅｎＡｄｖｉｓｏｒ：Ｐｒｏｆ．Ｎａｎ－ｊｉｎｇＨｕａｎｇＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｅｅｘｔｅｎｄｔｈｅｓｃａｌａｒ－ｖａｌｕｅｄＢ－ｓｅｍｉｐｒｅｉｎｖｅｘｆｉｍｃｔｉｏｎｓａｎｄｖｅｃｔｏｒ－ｖａｌｕｅｄｐｒｅｉｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓｔ０ｔｈｅｃａ嘲ｏｆｖｅｃｔｏｒ－ｖａｌｕｅｄＢ－ｓｅｍｉｐｒｅｉｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓｉｎＢａｎａｃｈｓｐａｃｅｓ．ＷｅｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｔｈｅｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓｏｌｕｔｉｏｎｓｉｎｖｏｌｖｉｎｇＢ－ｓｅｍｉｐｒｅｉｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏｎｓｆｏｒｖｅｃｔｏｒｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓ，ａｎｄｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｏｂ－ｔａｉｎｅｄａｒｅｓｉｍｉｌｉａｒｔｏｓｏｍｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｃｏｎｖｅｘｆｕｎｃｔｉｏ瑚．Ａｔｔｈｅｓａｍｅｔｉｍｅ．ｗｅａｌｓｏｃｏｎｓｉｄｅｒａｃｌａｓｓｏｆＬｉｐｓｃｈｉｔｚｖｅｃｔｏｒ－ｖａｌｕｅｄｎｏｎｓｍｏｏｔｈｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓ（ｃｖｏＰ）ｉｎｗｈｉｃｈａｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｑｕａｌｉｆｉｃａｔｉｏｎｉｓｒｅｑｕｉｒｅｄ．ＩｎｔｅｒｍｓｏｆｔｈｅＲ柚ｐｈｖｅｃｔｏｒｓｕｂ－ｇｒａｄｉｅｎｔ，ｗｅｏｂｔａｉｎｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＫｕｌｍ－Ｔｕｃｋｅｒｔｙｐｅｓｕｉｆｉｃｉｅｎｔｏｐｔｉｍａｌｉｔｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓａｎｄｓａｄｄｌｅｐｏｉｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｆｏｒ（ＣＶＯＰ）．Ｆｉ－ｎａｌｌｙ，ｗｅｆｏｒｍｕｌａｔｅａｃｌａｓｓｏｆｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＭｏｎｄ－ＷｅｉｒｔｙｐｅｄｕａｌａｎｄＷｏｌｆｔｙｐｅｄｕａｌａｎｄｅｓｔａｂｌｉｓｈｓｃｍｅｄｕａｌｉｔｙｔｈｅｏｒｅｍｓｆｏｒｔｈｅｐａｉｒｏｆｐｒｉｍａｌａｎｄｄｕａｌｐｒｏ－ｇｒａｍｓｕｎｄｅｒｒｅｇｕｌａｒＢ－ｓｅｍｉｐｒｅｉｎｖｅｘｉｔｙａｓｓｕｍｐｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔ８ｐｒｅｓｅｎｔｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｓｏｍｅｍａｉｎｒｅｓｕｌｔｓｏｆｔｈｅｅｘｉｔｉｎｇｗｏｒｋ．

ＫｅｙＷｏｒｄｓ：Ｂ—ｓｅｍｉｐｒｅｉｎｖｅｘＦｕｎｃｔｉｏｎｓ；ｓｅｍｉ－ｅｏｎｎｅｃｔｅｄｓｅｔ；ｗｅａｋｌｙｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓｏｌｕｔｉｏｎｓ；ｖｅｃｔｏｒｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓ；ｃｌｏｓｅｄａｎｄｃｏｎｖｅｘｃｏ嘲

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婴删盎堂塑圭堂焦堡塞１

１引言

由于具有丰富的实际意义及广泛的应用背景，向量优化问题逐渐为人们所重视．此问题可简述为 在给定条件下，求多目标函数的极值点．由此可知，证明在某一给定条件下目标函数是否存在极值点以及存在时如何求出极值点的问题便成了最优化理论的中心内容．而解决最优化问题的主要手段有，

（ｉ）探索目标函数极值点存在的必要条件和充分条件．这些条件为判断目标函数极值点存在与否及研究极值点的算法提供了重要的理论依据；

＠）探索最优化问题的对偶阃题，对偶问题的研究对最优性条件的揭示和最优化问题的求解均有着重要作用．对偶理论的任务是ｔ给出某种系统的方法。构造出与原问题相关联的对偶问题，使得在一定条件下可以证明弱对偶性．强对偶性或其它更强的对偶理论．这类结论使得问题之间的研究能相互转化。从而为求最优解提供更多的途径．

近年来，许多学者对向量优化问题（包括高维空间及无穷维空间）进行了研究．例如。在有限维空间中，Ｃｌａｒｋｅ【１】，Ｃｒａｖｅｎ１２】等人研究了目标函数及约束函数均是局部Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ的向量优化问题。在各种可微性的假定下。得出了相应的优化条件．１９９２年。Ｅ１Ａｂｄｏｕｎｉ和Ｔｈｉｌｂａｕｌｔ【３】研究了无穷维空间中的非光滑规划问题，利用Ｃｌａｒｋｅ【ｌ】中以Ｅｋｅｌａｎｄ变分原理为基础的非光滑优化理论，证明了关于此类规划的Ｆｒｉｔｚ－Ｊｏｈｎ型最优必要性条件．其后。有大量文章讨论了向量优化问题的最优性条件及对偶理论，有关结果可参考文献【４】一【９】．

另—方面，凸性概念在最优化理论中起着重要作用，许多有意义的主要结果大都建立在凸性概念基础之上．但是，很多情况下，许多性质的成立不一定要讨论的函数为凸函数，可将其放宽到更广义的凸函数，以使最优化理论中的许多结果适合于更多类型的问题，鉴于此，探索和研究凸性概念的拓广成了最优化理论的重要内容之一．

下面我们简要回顾一下与本文有关的非凸函数的研究工作．

１９９１年，ＢｅｃｔｏｒａｎｄＳｈ［１９ｈ【１０］引入了Ｂ凸函数。它是凸函数概念的推

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广；其后，Ｂ凸函数的概念又被推广至Ｂ不变凸函数ｆ１２１以及Ｂ预不变凸函数【１３】，并在这些广义凸性假设上，建立了相应的优化理论（可参考文献

【ｎ－１２１）．在文献【１４】中，杨和陈介绍并研究了一类较为广泛的广义凸函数一半预不变凸函数，利用弧方向可微。对半预不变凸规划得到了Ｆｒｉｔｚ－Ｊｏｈｎ型最优性必要条件．２００４年。旷【１５】又给出了Ｂ半预不变凸函数的定义。它比上述绘出的所有函数更为广泛．在局部ＬｉｐｓｃＭｔｚＢ－半预不变凸性及正则性的假设下，文中建立了Ｂ半顶不变非光滑规划Ｋｕｈｎ－Ｔｕｃｋｅｒ型最优性充要条件，并考虑了此类规划的Ｍｏｎｄ－Ｗｅｉｒ型对偶。给出了相应的强对偶定理．

受到上述文章的启发。在这篇文章里，我们将上述实值Ｂ半预不变凸函数【１５】及文献【９１中的向量值预不变凸函数推广至Ｂａｎａｃｈ空间．我们研究了Ｂａｎａｃｈ空间中涉及Ｂ半预不变凸函数的向量优化问题的弱有效解，．得到了与凸函数某些性质相类似的结果．同时，我们也讨论了带约束条件的向量型Ｌｉｐ∞ｈｉｔｚ非光滑规划，利用Ｒａｌｐｈ向量次微分，我们得到了关于此类规划的广义Ｋｕｈｎ－Ｔｕｃｋｅｒ型最优解的充分条件及鞍点条件．最后，我们建立了原非光滑规划的广义Ｍｏｎｄ－Ｗｅｉｒ型对偶及Ｗｏｌｆ型对偶，在Ｂ半预不变凸性及正则性的假定下，分别证明了弱对偶定理，强对偶定理及逆对偶定理，推广了已有的工作．．

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２预备知识

本文始终假设ｘ，Ｋｚ为实Ｂａｎａｃｈ空间．设Ｑ是ｘ的非空闭子集。若Ｑ满足下列条件。

（ｉ）Ｑ＋Ｑ∈Ｑ，（ｉｉ）ＡＱ∈Ｑ，ＶＡ≥０，（ｉｉｉ）Ｑｎ（－ｑ）＝０．

则称口为尖闭凸锥．

设Ｐｃｙ和ＱｃＺ是内部非空的尖闭凸锥，ｙ和Ｚ分别是由Ｐ和Ｏ确定的序Ｂａｎａｃｈ空间．设ｙ‘是ｙ的对偶空间，Ｐ＋ｃｙ’是Ｐ的对偶锥。其中Ｐ＋＝杪∈ｙ‘：（ｐ．，∥）≥ｏ，Ｖ暑，∈Ｐ，．。

现在我们考虑如下向量优化同题ｔ

（ＶＯＰ）ｍｉｎｆ（ｘ）

８．ｔ．茹∈Ｋ．

其中，ＫｃＸ非空，ｆ：Ｋ—ｙ和９：Ｋ—Ｚ是给定函数．

定义２．１（【９】）可行解粕称为问题（ＶＯＰ）的弱有效解。若不存在霉∈Ｋ使得ｆ（Ｗｏ）一，（ｚ）∈ｉｎｔＰ．

定义２．２（【１４】）设Ｋｃｘ非空，若对任意的霉，｜，∈Ｋ及Ａ∈【０，１】，存在函数ｑ：ｘ×Ｘ×【０，１１一ｘ，使得善，＋Ａｑ（ｚ，Ｙ，Ａ）∈Ｋ则称ｘ是关于叩（。，玑Ａ）的半连通集．

定义２．３（【１５】）给定函数叼：ｊｐ×ｊｐ×【０，ｌ】，ｂ：Ｋ×Ｋ×【０’１】一兄｝（非负实数集）及ｆ：Ｋ—Ｒ，其中Ｋｃｊｐ是关于目的半连通集．称ｆ（ｘ）为Ｋ上关于町和ｂ的实Ｂ半预不变凸函数，若对比，Ｆ∈Ｋ及Ａ∈【０ｔ１１，有

ｆ（Ｙ＋Ａ口（￡，Ⅳ，Ａ））≤Ａｂ（ｘ，｜，，Ａ）ｆ（ｗ）＋（１一Ａｂ（ｘ，Ｆ，Ａ），（”），

’

且满足ｈｌｉｒａ。，ＡＴ／（ｘ，Ⅳ，Ａ）＝０及Ａｂ（ｘ，ｇ，Ａ）∈【０，１】

下面我们借助闭凸锥来引进Ｂａｎａｃｈ空间中的Ｂ半预不变凸函数的概念，以推广上述定义．

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巴删盎堂要圭堂堡丝塞４

，

定义２．４给定函数，，：ＫｘＫ×【０，ｌ】一ｘ和ｂ：ＫｘＫｘ【０，１】一珥（非负实数集），设ＫｃＸ是关于”的非空半连通集。ＰｃＹ是闭凸锥，，：Ｋ—ｙ是■向量函数，若对任意的￥∈Ｋ，和一切入∈ｌｏ，ｌ】，有

Ａ６（￡，口，Ａ），和）＋（１一Ａ６（￥，Ｙ，Ａ），（”）一Ｉ（Ｙ＋Ａ”（ｚ，Ｙ，Ａ））∈Ｐ，

其中鲰Ａｑ（￥，Ｙ，＂＝ｏ且Ｘｂ（ｚ，｜，，”∈【０，１１，则称，在ｇ∈Ｋ处关于，，和ｂ是Ｐ－Ｂ半预不变凸函数，或称函数，在点Ｙ关于竹和ｂ是Ｐ－Ｂ半预不变的．以下我们简称为ＰＢＳ函数．

若，在Ｋ上任一点关于’７和ｂ均是ＰＢＳ函数，则称，是Ｋ上的ＰＢ８函数．

以下是相应集合上的ＰＢＳ函数ｔ

例２．１设Ｋ＝（（卫１，勋）Ｉ（Ｘｌ，茹２）∈【０，１】×【０，ｌ】），考察函数，：Ｋ一月２。其中－

＾（￥１，ｚ２）＝一《，，２（ｚｌ，勋）＝一遥＋１

定义琅（ｚ，Ｙ，Ａ）＝ｖ佩一ｙｉａ＝１，２）及ｂ（ｚ，Ｙ，Ａ）＝Ａ．若取Ｐ＝衅，则易知，在点（０，ｏ）是关于”和ｂ的ＰＢ８函数．

例２．２设ｘ为Ｂａｎａｃｈ空间。函数，：Ｘ—Ｒ定义为 ，（￡）＝一ＩＮＩ，则，关于叩和ｂ在其定义域上是ＰＢＳ函数．其中 Ｐ＝Ｒ４－且定义６ｐ，Ｙ，Ａ）＝１及’

‘咖ｍ¨｛ｙ毛竺

注２．１在定义２．４中，若取Ｘ＝舻，Ｙ＝Ｒ和Ｐ；风．，则为定义２．３．注２．２若对Ｖ￥，９∈Ｋ，取目（ｚ，Ⅳ，Ａ）＝叶（ｚ，掣）和ｂ（ｘ，Ｙ，Ａ）＝１，则定义２．４为【９】中所讨论的向量值预不变凸函数．

引理２．１（【１７Ｊ）设ｘ为序Ｂａｎａｃｈ空间，ＱｃＸ为闭凸锥，口．是Ｑ的对偶锥（ｉ）若存在￥∈ｘ，使得对一切矿∈驴均有 （矿，。）≥０，则ｚ∈口；

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（ｉｉ）若￡∈ｉｎｔＰ，则对任意矿∈驴＼｛ｏ）有ｔ扣’，。）＞０．

引理２．２函数，：Ｋ—ｙ关于目和ｂ是ＰＢＳ的当且仅当对任意ｐ．∈Ｐ，复合函数ｐ＋，关于口和ｂ是实Ｂ半预不变凸函数，这里Ｐ是户的对偶锥．

证明．必要性显然成立，下面证明其充分性．

令ｂ：＝ｂ（ｘ，∥，Ａ），由题设 对任意。，｜，∈Ｋ，＾∈（０，１）及矿∈Ｐ．有矿Ｉ（Ｖ＋Ａ”（ｚ，掣，Ａ）≤Ａｂ（ｘ，掣，Ａ功’，（ｚ）＋（１一Ａｂ（ｘ，｜，，Ａｋ，，（Ⅳ），

而上式又等价于

ｐ＋（Ａｂｆ（ｘ）＋（１一Ａｂ）ｆ（ｖ）一，白＋韧（茹，∥，Ａ）））≥０，坳’∈Ｐ．。

由引理２．１（ｉ）知‘‘

Ａｂｆ（功＋（１一Ａｂ）ｆＣｖ）一ｆ（ｖ＋Ａｑ（ｚ，Ｆ，Ａ））∈Ｐ．

证毕．

下面我们回忆一下‘可参见【１】１）局部Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数的定义．设ｓ∈ｘ，，：ｓ—Ｒ是实值函数，若对任意￥，可∈Ｓ有

Ｉｆ（ｖ）一，（ｚ）Ｉ≤ＬｌｌＵ—ｚ玑

则称函数，（ｚ）在ｓ上满足Ｌｉｐｓｅｈｉｔｚ条件，其中工是一常数．现定义广义球

Ｂ（ｚ，８）＝｛引¨茹一譬ＨＳｓ｝．

对任给的牙∈Ｘ，如果存在￡＞０，使得，（ｚ）在Ｂ（ｘ，￡）上满足Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件。则称，（ｚ）在ｉ满足局部Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件．函数，（。）在ｓ（或在某点善附近）满足Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件也可称为其是Ｌｉｌｍｃｈｉｔｚ的．

如果，（。）在毒∈Ｘ是局部Ｌｉｌｍｅｈｉｔｚ的，则对任意ｔ，∈Ｘ，，（￡）在点ｚ处沿方向口的Ｃｌａｒｋｅ产义方向导数定义如下ｔ

八掣）＝曾ｔｕ，ｐｏ塑竿型，，－ ￡，‘

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巴删盔堂塑主堂丝堡塞６

其中ｔｌ０代表ｔ单调下降趋于０一严

若，（ｚ）在点霉处是局部Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ的，则，在卫处的Ｃｌａｒｋｅ广义次微分（１１１）可表示为

ｐ，（￡）＝｛ｆ∈Ｘ‘：，。（￥；口）≥（ｆ，口），Ｖ＂∈．ｘ｝

．设，（ｚ）在点善处是局部Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ的，若对任意口∈Ｘ，有ｆ＇Ｃｘ；口）＝

，ｏ（巧＂），则称函数，（功在点。是正则的．

定义２．５“１５】）设，：Ｘ—Ｒ，假如下面的极限存在。且记此极限为，．（罨口），即

他；垆躲堑拦学塑．

则称，在点￥处沿弧方向Ｈ（ｔ）：（０，１）一ｘ可微，其中Ｈ（ｔ）＝。＋幻（ｔ），ｈｌｉｍ，ｖ（ｔ）＝口

引理２．３（１１５１）若ｚ∈Ｘ。设，：Ｘ－．Ｒ在ｚ是正则的局部Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数，则，在点￥处关于Ｈ（ｔ）是弧可微的，且有

，‘（霉；口）＝：ｉｏ（￥；口）＝，（ｚ；口）

定义２．６设，：Ｘ—ｙ为一向量函数，若，．（ｚ；ｔ，）存在，则称，在点ｚ∈Ｘ处沿弧方向Ｈ（ｔ）可微，以下简称，沿弧方向可微．其中，．（掣口）和Ｈ（ｔ）如定义２．５所述．

定义２．７（［１６，１７］）设，：Ｘ—ｙ是一向量函数，ｚ∈Ｘ，若存在ｚ的邻域矿（￥）及常数Ｌ＞０，使得对Ｖｚｌ，勘∈Ｕ（￥）有

Ｉｌ，０－）一，（勋）０≤ＬＩＩｘｌ一勋叭

则称，（ｚ）在点￥处是局部Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ的．若，（茹）在ｘ的每一点都是局部Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ的，则称，（ｚ）是Ｘ上的Ｌｉｐ８ｃｈｉｔｚ函数．

引理２．４（【１７】）设卫∈Ｘ为某一点，，：Ｘ—ｙ在ｚ处连续Ｇａｔｅａｕｚ可微，则对任意Ａ∈Ｙ’，Ａ，在点￥是正则的；而且，（￥）在霉是局部Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ的，且有ａ，（功＝｛，，（ｚ）），其中，，（￥）表示，在。的Ｇｆｉｔｅａｕｘ导数．

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定义２．８（【１８】）设善∈Ｘ，，：Ｘ—ｙ是Ｘ上的Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数，定义，在ｚ处的Ｒａｌｐｈ向量次梯度如下

ａ，（￥）：＝｛Ａ∈Ｌ（Ｘ，Ｙ）Ｉ（＂，Ａ）∈Ｘ×Ｙ’，（Ａ／）。（ｚ；ｔ，）≥ＡＡ＂｝，

其中三（墨ｙ）是ｘ到ｙ的所有线性连续算子组成的空间，

局部Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数Ａ，在茁∈Ｘ的Ｃｌａｒｋｅ广义方向导数．（Ａ，）。（茁； ）表示‘

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璺删盔堂塑主至丝堡茎８

３（ＶＯＰ）的弱有效解

定理３．１设Ｋ是ｘ的半连通子集，ＰＣＹ是具有非空内部的尖闭凸锥。，：Ｋ—ｙ是关于ｑ和６的ＰＢ８函数．又设当０＜Ａ＜Ｅ时（其中ｓ充分小），对任意ｚ，，∈Ｋ，有ｂ（ｘ，玑Ａ）＞０．则（ｖｏＰ）的任何局部弱有效解是总体弱有效解．

证明．设蜃∈Ｋ是（ＶＯＰ）的局部弱有效解。则存在孟的邻域矿使得

，（牙）一ｆ（Ｖ）聋ｉｎｔＰ’Ⅶ∈￡，ｎ皿，（３．１）

若量不是总体解，则存在知∈Ｋ使得

，（孟）一ｆ（ｘｏ）∈ｉｎｔＰ．（３．２）

由于，是ＰＢ８函数且Ｋ是半连通的，所以对任意的Ａ∈（０，１）有孟＋Ａｑ（蜘，孟，Ａ）∈Ｋ及

）Ｌｂｆ（ｘｏ）＋（１一心，（孟）一，＠＋Ａｎ（ｚｏ，聋，Ａ）∈Ｐｔ

即对任意Ａ∈（０，１），有

，（孟）一，（雪＋Ａ目（ｚｏ，孟，Ａ）＋Ａｂ（，（知）一，（牙））∈Ｐ，（３．３）

其中６．＿ｂ（ｘｏ，孟，＾） 又曼祭蛔（知，牙，Ａ）＝０，所以当天充分小时，有

牙＋Ｘｎ（ｚｏ，量，Ｘ）∈ｕｎＫ，结合（３．１）知

，（牙）一，（牙＋五目（ａ句，牙，天））隹ｉｍＰ．

又由（３．２）和（３．３）得

，（牙）一，（ｉ＋Ｘ野（。ｏ，２，Ｘ））∈Ｐ＋天ｂ（ｚｏ，岔，－）（，（ｉ）一，（ｚｏ））

ＣＰ＋砒Ｐ

ＣｉｎｔＰ，

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ｌ与（３．１）矛盾．获证．定理３．２设ｙ是自反Ｂａｎａｃｈ空间，Ｐ是闭凸锥且尸≠Ｙ，ｉｎｔＰ≠０，。为Ⅳ中某一点．又设，：Ｋ—ｙ在ｚ处关于目和５是局部Ｌｉｐ的尸ＢＳ函数，其中ＫＣＸ是关于，７的半连通子集．若（ｉ）对ｖｐ‘∈Ｐ‘，ｐ．，在点茁是正则的，其中Ｐ’是Ｐ的对偶锥；（ｉｉ）对—切Ｙ∈Ｋ有‘拦器札孔Ａ）＝弛￥），尝器№，￡，Ａ）＝地ｚ）则对任意的∥∈Ｋ和Ａ∈Ⅳ（ｚ）有５（玑ｚ）（，（Ｆ）一，（ｚ））一（Ａ，＿ｉ７（Ⅳ，ｚ））∈Ｐ．（３．４）证明．因为ｙ是自反的，由（【１８１）中的结果知ａ，（。）≠０．而对任意的矿∈ｐ．，由题设和引理２．２知矿，在ｚ处是局部Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ的，Ｂ．半预不变及正则的．所以对一切Ｆ∈Ｋ和Ａ∈甜０），有．矿，（ｚ＋蛔国，￥，Ａ））一矿，（￡）ＳＡ６白＋／（ｕ）一矿，０））其中ｂ．＝６国，霉，Ａ），Ａ∈（ｏ，１１．对上式两端同时除以Ａ，且令Ａ一０＋，则由引理２．３可得到．５（∥，。）ｐ＋／（ｙ）一矿，（。））≥（矿，）＋（（ｚ；亓（∥，ｚ））＝∞‘，）。（（卫；厅（暑，，ｚ））≥矿Ａ目（玑功再由引理２．１知５（Ｆ，￥）（，（Ｆ）一，（ｚ））一《Ａ，厅（Ｆ，￥））∈尸．证毕．对可微的情形。由上述定理我们有下面的推论

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堕塑！盔堂塑主兰丝堡皇１０

推论３．１设ｙ是实Ｂａｎａｃｈ空间，霉∈Ｋ是给定点，函数ｆ：Ｋ—ｙ在点￥关于’７和ｂ是ＰＢ８的．若，在￥处是连续Ｇａｔｅａｕｘ可微的。且对任意Ｙ∈Ｋ，定理３．２中条件（ｉｉ）仍成立，则

５（口，￥）（，（∥）一，（￥））一（，，（功，ｆ７（Ｆ，茹））∈尸，Ｖｙ∈Ｋ

其中，，（ｚ）是，在ｇ的Ｇｈｔｅａｕｚ导数．

证明．直接利用引理２．４和定理３．２即可．

推论３．２设ｙ为实Ｂａｎａｅｈ空间，Ｋ为关于，，的半连通集，ＳｃＫ是开集，ｆ：Ｋ—ｙ在Ｓ上牙处关于，７和ｂ是局部Ｌｉｐ的ＰＢＳ函数。又设，在ｚ沿弧方向可微．着对Ｖ￥∈只有

ＭＨｍｂ（ｘ，牙，Ａ）＝６（ｚ，牙）＞０，尘器讹孟，Ａ）２讹孟）

则对于问题（ＶＯＰ），孟是．，在Ｓ上的弱有效解当且仅当

０，．，）’（牙，亓（ｚ，孟））≥０，～ｂ∈墨Ｖ矿∈Ｐ．．

证明．首先证明充分性成立．若孟不是Ｓ上的弱有效解，则存在ｚ∈Ｓ使得，＠）一ｆ（ｘ）∈ｉｎｔＰ．取ｐ．∈Ｐ＋＼｛ｏ），则

ｐ．，（ｚ）一ｐ＋，（牙）＜０．

由定理３．２，我们得到

０。，）＋（ｐ；厅ｐ，牙））≤５（￥，叠）（矿，（∞一ｐ．，＠））＜０．

下面证明必要性．若否，即存在孟∈Ｓ及矿∈Ｐ，使得

（矿，）．（牙，ｊｉ（童，牙））＜０．（３．５）

由于Ｓ是开集，且孟∈Ｓ，故当Ａ＞０充分小时，有牙＋Ａｑ（孟，五Ａ）∈＆

由（３．５），我们得到．．胁盟坠型垩！圣盟＝芝趔＜０．

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所以当Ａ＞０充分小时。可得到

ｐ．（，（雪＋Ａｑ（矛，牙，Ａ））一，（牙））＜０．

又矿∈尸．，ｐ．≠０，故有

，（孟）一，（牙＋Ａ町（孟，牙，Ａ））∈ｉｎｔＰ，

而这与牙是，的弱有效解矛盾．证毕．

定理３．３设＇，是自反Ｂａｎａｃｈ空间，孟∈Ｋ，ＰＣＹ是具有非空内部的尖闭凸锥．又设ｆ：Ｋ＿ｙ在牙处是关于砑和ｂ的局部ＬｉｐｓｃｈｉｔｚＰＢＳ函数．若在定理３．２中。我们进一假设对Ｖｚ∈Ｋ，有５（ｚ，牙）＞０，则对Ａ∈ｏｆ（牙），《Ａ，日（卫，牙））簪－ｉｎｔＰ蕴含蜃是问题（ＶＯＰ）的弱有效解．

证明．若牙∈Ｋ不是（ＶＯＰ）的弱有效解。则存在矿∈Ｋ使得

‘

ｆ（ｘ‘）一，（牙）∈－ｉｎｔＰ．（３．６）

因，是ＰＢＳ的，由定理３．２知，对任意的霉∈Ｋ和Ａ∈ａｆ（牙）有

（Ａ，ｆ７（ｚ，童））＋５（￥，牙）（，（牙）一，（ｚ））∈一Ｐ．（３．７）

又由（３．６）和（３．７）知，对任意Ａ∈ａ，（孟），

（Ａ，日（ｚ。，牙））∈５（ｚ‘，牙）（，（ｚ’）一，（雪））＿Ｐ

Ｃ—ｉｎｔＰ—Ｐ

Ｃ—ｉｎｔｊ，．矛盾．证毕．

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４（ＣＶＯＰ）的最优性充分条件

本节我们讨论如下带约束条件的向量优化问题。

（ＣＶＯＰ）皿ｎ，（卫）

ｓ．ｔ．－ｇ（ｚ）∈ｎ，

’霉∈ＫＣ咒

其中，：Ｋ—ｙ，ｇ：Ｋ—ｚ，耳和Ｑ分别是Ｘ和Ｚ的子集．我们假设ｌ，和Ｚ分别是由锥ＰＣＹ和ｎＣｚ确定的序Ｂａｎａｃｈ空间，且户和Ｑ是具有非空内部的闭凸锥．

下面我们用Ｋｏ＝伽∈ＫＩ一９（功∈ｎ）表示（ＣＶＯＰ）的可行域．

在本节中。我们假设所有函数（除非特别说明）。均是Ｋ上的Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数，其中Ｋ是ｘ的关于映射”：Ｋ×Ｋ×【０，１Ｉ—ｘ的半连通子集．

定理４．１（充分条件）设牙是（ＧＶＯＰ）的可行点。，：Ｋ—ｙ在点孟处关于目和ｂ是ＰＢＳ函数。ｇ：Ｋ—Ｚ在雪处关于目和６，是ｆｉＢＳ函数．若存在（０≠”，矿）∈Ｐ×彤使得

０∈ａ（Ａ’，＋ｐ’９）（雪），（４．７）

矿ｇ（牙）＝０（４．８）

及对任意的￥∈Ｋｏ有

Ｍｌｉｍｐ（。，蜃，Ａ）＝地孟）＞０，（４．９）

’上骧矿∽牙，Ａ）＝矽（甄孟），（４．１０）

＾ｌⅧｉｒａ，，７（ｚ，孟，Ａ）２＿ｉ『（￥，孟） （４．ｔ１）

若进一步假设Ａ‘．，和ｐ’夕在牙是正则的，则孟是（ＣＶＯＰ）的弱有效解．

证明．由（４．７）和次微分的次可加性得

０∈ａ（＾’ｆ＋ｐ’ｇ）（孟）Ｃａ（Ａ＋，）（牙）＋ａ（矿９）（孟）

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故对任意的ｚ∈ｊｂ有

（Ａ。，）。（意；每（￥，孟））＋（ｐ’９）。（牙；亓（茁，孟））２０．

又由假设（４．９）一（４．１１）及定理３．２知，对任意ｚ∈Ｋｏ，有

５（。，牙）（Ａ＋，（ｚ）一Ａ’，（孟））≥（Ａ‘，）。（牙；露（ｚ，牙））（４．１２）

及

Ｆ＠，孟）（矿ｇ（ｚ）一矿ｇ婶））≥（∥ｇ）。（茁；日０，霉））．（４．１３）

将（４．１２）与（４．１３）相加，结合（４．８） （４．１０）及－ｇ（ｘ）ＥＱ知

５（ｚ，牙）（Ａ’，（￥）一Ａ＋，（孟））≥０一矽（ｚ，牙）卢’ｇ（ｚ）≥０

即

Ａ’（，（ｚ）一，（牙））≥０．

从而，，（￡）一，（２）譬一ｉｍＰ。即牙是（ＣＶＯＰ）的弱有效解．证毕．

由定理４．１，我们能得到下述关于可微向量优化问题的推论．

．推论４．１设ｙ为实Ｂａｎａｃｈ空间，，和ｇ如定理４．１所述．若，和ｇ均在牙连续Ｇａｔｅａｕｘ可微，则条件“．７）可简化为如下形式

Ａ。，，＠）＋矿ｇ’（牙）＝０，

其中，’（牙）和，（牙）分别是，和ｇ在牙的Ｃａｔｅａｕｘ导数．

推论４．２（充分条件）设孟∈Ｋｏ，ｆ和ｇ如定理４．１所述，又设，和ｇ在孟沿弧方向可微．若存在（０≠”，ｐ＋）∈Ｐ‘×孵使得

（Ａ’，）＋（孟，ｑ（ｘ，牙））＋（ｐ＋９）＋（孟，＿ｉ７（ｚ，孟））≥０，Ｖｚ∈Ｋｏ

ｐ’ｇ（动＝ｏ

且对比∈ｊ矗，条件（４．９） （４．１１）成立。则牙是（ＣＶＯＰ）的弱有效解．

注４．１我们称条件（４．７）和（４．８）为问题（ＣＶＯＰ）的广义Ｋｕｈｎ－Ｔｕｃｋｅｒ条件，满足广义Ｋｕｈｎ－Ｔｕｃｋｅｒ条件的点称为广义Ｋ－Ｔ点．